数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.2 导数的概念 课件（共27张ppt)

(共27张PPT)
5.1.2　导数的概念及其几何意义
第一课时　导数的概念

在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化
率，例如
(1)摩托车的运动方程为s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表
示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛；
(2)冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准；
(3)净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本.
问题　上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学意义上，这些实际上是某个量的函数的瞬时变化率，它在数学上称为什么？
提示　函数的导数.
1.平均变化率
2.导数
导数是函数的平均变化率，当自变量的增量趋于0时的极限
[判断]
1.函数在x＝x0处的导数反映了函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢程度.( )
提示　导数反映的是函数在某一点处的变化的快慢程度，非在某区间上的.
2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关.( )
×
√
√
[训练]
1.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为(　　)
A.2.1 B.1.1 C.2 D.0
答案　A
2.设f(x)＝2x＋1，则f′(1)＝________.
答案　2
[思考]
1.导数或瞬时变化率可以反映函数变化的什么特征？
提示　导数或瞬时变化率可以反映函数在某一点处变化的快慢程度.
2.函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？
提示　(1)平均变化率与瞬时变化率的区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x＝x0处变化的快慢.
题型一　求函数的平均变化率
【例1】　已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解　(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，
(2)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
【训练1】　求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值.
解　函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
题型三　导数概念的应用
【例3】　已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：
答案　(1)C　(2)B
一、素养落地
1.在学习导数定义的过程中，培养了学生的数学抽象素养，在应用导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算素养.
2.在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种形式，Δy也必须选择相应的形式，利用函数f(x)在点x0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式.
二、素养训练
1.函数y＝1在[2，2＋Δx]上的平均变化率是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.Δx
答案　A
A.4 B.4x C.4＋2Δx D.4＋2(Δx)2
答案　C
3.设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于________.
又f′(1)＝3，∴a＝3.
答案　3