2022年秋季湘教版数学九年级上册第二章 《一元二次方程》单元检测A
一、单选题
1．（2022·东营）一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·怀化）下列一元二次方程有实数解的是（ ）
A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0
3．（2022·贵港）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，-2 B．0，0 C．-2，-2 D．-2，0
4．（2022·巴中）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B．
C．且 D．且
5．（2022·泸州）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．-3或3 D．-1或3
6．（2022·乐山）关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．
7．（2021·眉山）已知一元二次方程 的两根为 ， ，则 的值为（ ）
A．-7 B．-3 C．2 D．5
8．（2020·南京）关于x的方程 （ 为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
9．（2022·河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x.则所列方程为（ ）
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
10．（2021·黑龙江）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
二、填空题
11．（2022·东营）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
12．（2022·梧州）一元二次方程 的根是 .
13．（2022·巴中）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ．
14．（2022·内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 .
15．（2020·大连）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步。”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为 。
16．（2018·通辽）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 ．
三、解答题
17．（2022·齐齐哈尔）解方程：
18．（2019·呼和浩特）用配方法求一元二次方程 的实数根．
19．（2018·齐齐哈尔）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
20．（2022·十堰）已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值.
21．（2022·随州）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，.
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值.
22．（2019·安顺）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0（1）求y与x之间的函数关系式;
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
23．（2021·荆门）已知关于x的一元二次方程 有 ， 两实数根.
（1）若 ，求 及 的值；
（2）是否存在实数 ，满足 ？若存在，求出求实数 的值；若不存在，请说明理由.
24．（2022·宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨.
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加 .5月份每吨再生纸的利润比上月增加 ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元.求 的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了 .求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
25．（2020·赤峰）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为 ， ，则有 ， ．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若 ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根， 是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：D．
【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A选项中，，故方程无实数根；
B选项中，，故方程无实数根；
C选项中，，故方程有两个不相等的实数根；
D选项中，，故方程无实数根；
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，故只需要算出各个方程的判别式的值，即可判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，
∵是一元二次方程的一个根，
把代入，则
，
解得：；
∴，
∴，
∴，，
∴方程的另一个根是；
故答案为：B.
【分析】将x=-2代入方程中可得m的值，则方程可化为x2+2x=0，利用因式分解法可得方程的解，据此解答.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可得x2-x-k=0，根据方程有两个不相等的实数根可得△>0，代入求解可得k的范围.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：，且
∵，
∴，解得：或，
∵，即，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=2m-1，x1·x2=m2，△=(2m-1)2-4m2≥0，根据△≥0可求出m的范围，根据已知条件可得m的值，据此解答
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，
设另一根为，则，
，
.
故答案为：D.
【分析】设另一根为x2，根据根与系数的关系可得1+x2==，求出x2，然后根据有理数的乘法法则进行计算.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根为 ， ，
∴ ，即： ， + =3，
∴ = -2( + )=-1-2×3=-7.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与，然后将其代入变形后的代数式求值即可.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ，
整理得： ，
∴ ，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为 、 ，
∵ ，
∴两个异号，而且负根的绝对值大.
故答案为：C.
【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：A.
【分析】由题意可得： 二月份的口罩产量是30(1+x)万个，三月份的口罩产量是30(1+x)2万个，然后结合三月份的口罩产量是50万个就可列出方程.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得： （舍去），
故答案为：B．
【分析】根据经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，列方程求解即可。
11．【答案】k＜2且k≠1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴且，
∴k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
12．【答案】 或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可知： 或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】由两个因式的积等于0，则至少有一个因式等于0，得x-2=0或x+7=0，求解即可.
13．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是方程的根
∴，
∴
∴k=-4
故答案为：-4.
【分析】根据方程解的概念可得α2-α+k-1=0，根据根与系数的关系可得α+β=1，根据α2-2α-β=α2 -α-(α+β)=4可得k的值.
14．【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1 x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2.
故答案为：2.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1 x2＝k-1，根据方程解的概念可得x12＝2x1-k+1，对已知中的等式进行变形可得＝2(x1+x2)-k，代入求解可得k的值，然后代入原方程中可得关于x的一元二次方程，求出判别式的值，进而可得k的值.
15．【答案】x（x+12）＝864
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】 设矩形的宽为x步， 则长为：(x+12)步，
∴x（x+12）=864.
故答案为：x（x+12）=864.
【分析】设矩形的宽为x步， 则长为(x+12)步，然后根据矩形面积等于864平方步列方程即可.
16．【答案】 x（x﹣1）=21
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21，
故答案为： x（x﹣1）=21．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），由比赛总场数为=21列方程。
17．【答案】解：∵
∴或
解得，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可。
18．【答案】解：原方程化为一般形式为 ，
，
，
，
，
所以
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】将原方程化为一般形式 。等式两边同时除以2，化简二次项的系数。再进行配方法。配方法：将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式，或几个完全平方式的和。
19．【答案】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：x1=3或x2=
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将方程的右边整体移到方程的左边，再利用提公因式法将左边分解因式，根据两个因式的积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次，解降次后的方程，即可得出原方程的解，
20．【答案】（1）证明： ，
∵ ，
∴ ，
该方程总有两个不相等的实数根
（2）解： 方程的两个实数根 ， ，
由根与系数关系可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ，即
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式的值恒大于零即可；
（2） 由根与系数关系可知① ， ②，由③，联立①③可求出α，β的值，再代入②求出m值即可.
21．【答案】（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根，
此方程根的判别式，
解得.
（2）解：由题意得：，
解得或，
由（1）已得：，
则的值为2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用已知方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，可得到关于k的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用一元二次方程根与系数，可得关于k的方程，解方程求出k的值，利用k的取值范围，可得到k的值.
22．【答案】（1）解：设一次函数解析式为：y＝kx+b
当x＝2,y＝120
当x＝4,y＝140
∴
∴
∴y＝10x+100
（2）解：由题意得：
（60－40－x）(10x+100)＝2090(或（20－x）(10x+100)＝2090)
x2－10x+9＝0
解得：x1＝1.x2＝9
∵让顾客得到更大的实惠
∴x＝9
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息，利用待定系数法即可求出 这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0（2）根据每千克的利润乘以销售数量等于总利润，列出方程，求解并检验即可。
23．【答案】（1）解：由题意：Δ=( 6)2 4×1×(2m 1)>0，
∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，
又∵x1 x2=2m 1=5，
∴x2=5，m=3
（2）解：设存在实数m，满足 ，那么
有 ，
即 ，
整理得： ，
解得 或 .
由（1）可知 ，
∴ 舍去，从而 ，
综上所述：存在 符合题意
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得△≥0，据从求出m≤5，再将x1=1代入原方程得m=3，利用根与系数的关系可得x1 x2=2m 1=5，从而求出；
（2）利用根与系数的关系可得x1+x2=6，x1 x2=2m 1，代入可得 ，解出m值并检验即可.
24．【答案】（1）解：设3月份再生纸产量为 吨，则4月份的再生纸产量为 吨，
由题意得： ，
解得： ，
∴ ，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
（2）解：由题意得： ，
解得： 或 （不合题意，舍去）
∴ ，
∴ 的值20；
（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸的产量为 吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设3月份再生纸产量为x吨，则4月份的再生纸产量为(2x-100)吨，根据3，4月份共生产再生纸800吨可列出关于x的方程，求解即可；
（2）根据4月份再生纸的产量×(1+m%)可得5月份再生纸的产量，根据4月份每吨再生纸的利润×(1+%)可得5月份每吨再生纸的利润，然后根据产量×每吨的利润=总利润可得关于m的方程，求解即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，则6月份每吨再生纸的利润为100(1+y)2，6月份再生纸的产量为a(1+y)吨，根据6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%可得6月份再生纸项目月利润为1200(1+y)(1+25%)a，然后根据月利润可列出关于y的方程，求解即可.
25．【答案】（1） ，2，3
（2）证明：∵ ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，
∴ ，∴ ，
∴ = ，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）解：∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数 的图象上，
∴ ， ， ，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴ 或 或 ，
即 或 或 ，
解得：m=﹣4或﹣2或2．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，2，3是“和谐三数组”；
故答案为： ，2，3（答案不唯一）；
【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出 ，然后再求出 ，只要满足 = 即可；（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
1 / 12022年秋季湘教版数学九年级上册第二章 《一元二次方程》单元检测A
一、单选题
1．（2022·东营）一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：D．
【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。
2．（2022·怀化）下列一元二次方程有实数解的是（ ）
A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A选项中，，故方程无实数根；
B选项中，，故方程无实数根；
C选项中，，故方程有两个不相等的实数根；
D选项中，，故方程无实数根；
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，故只需要算出各个方程的判别式的值，即可判断得出答案.
3．（2022·贵港）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，-2 B．0，0 C．-2，-2 D．-2，0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，
∵是一元二次方程的一个根，
把代入，则
，
解得：；
∴，
∴，
∴，，
∴方程的另一个根是；
故答案为：B.
【分析】将x=-2代入方程中可得m的值，则方程可化为x2+2x=0，利用因式分解法可得方程的解，据此解答.
4．（2022·巴中）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可得x2-x-k=0，根据方程有两个不相等的实数根可得△>0，代入求解可得k的范围.
5．（2022·泸州）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．-3或3 D．-1或3
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：，且
∵，
∴，解得：或，
∵，即，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=2m-1，x1·x2=m2，△=(2m-1)2-4m2≥0，根据△≥0可求出m的范围，根据已知条件可得m的值，据此解答
6．（2022·乐山）关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，
设另一根为，则，
，
.
故答案为：D.
【分析】设另一根为x2，根据根与系数的关系可得1+x2==，求出x2，然后根据有理数的乘法法则进行计算.
7．（2021·眉山）已知一元二次方程 的两根为 ， ，则 的值为（ ）
A．-7 B．-3 C．2 D．5
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根为 ， ，
∴ ，即： ， + =3，
∴ = -2( + )=-1-2×3=-7.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与，然后将其代入变形后的代数式求值即可.
8．（2020·南京）关于x的方程 （ 为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ，
整理得： ，
∴ ，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为 、 ，
∵ ，
∴两个异号，而且负根的绝对值大.
故答案为：C.
【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可.
9．（2022·河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x.则所列方程为（ ）
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：A.
【分析】由题意可得： 二月份的口罩产量是30(1+x)万个，三月份的口罩产量是30(1+x)2万个，然后结合三月份的口罩产量是50万个就可列出方程.
10．（2021·黑龙江）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得： （舍去），
故答案为：B．
【分析】根据经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，列方程求解即可。
二、填空题
11．（2022·东营）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k＜2且k≠1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴且，
∴k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
12．（2022·梧州）一元二次方程 的根是 .
【答案】 或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可知： 或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】由两个因式的积等于0，则至少有一个因式等于0，得x-2=0或x+7=0，求解即可.
13．（2022·巴中）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ．
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是方程的根
∴，
∴
∴k=-4
故答案为：-4.
【分析】根据方程解的概念可得α2-α+k-1=0，根据根与系数的关系可得α+β=1，根据α2-2α-β=α2 -α-(α+β)=4可得k的值.
14．（2022·内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 .
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1 x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2.
故答案为：2.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1 x2＝k-1，根据方程解的概念可得x12＝2x1-k+1，对已知中的等式进行变形可得＝2(x1+x2)-k，代入求解可得k的值，然后代入原方程中可得关于x的一元二次方程，求出判别式的值，进而可得k的值.
15．（2020·大连）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步。”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为 。
【答案】x（x+12）＝864
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】 设矩形的宽为x步， 则长为：(x+12)步，
∴x（x+12）=864.
故答案为：x（x+12）=864.
【分析】设矩形的宽为x步， 则长为(x+12)步，然后根据矩形面积等于864平方步列方程即可.
16．（2018·通辽）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 ．
【答案】 x（x﹣1）=21
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21，
故答案为： x（x﹣1）=21．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），由比赛总场数为=21列方程。
三、解答题
17．（2022·齐齐哈尔）解方程：
【答案】解：∵
∴或
解得，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可。
18．（2019·呼和浩特）用配方法求一元二次方程 的实数根．
【答案】解：原方程化为一般形式为 ，
，
，
，
，
所以
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】将原方程化为一般形式 。等式两边同时除以2，化简二次项的系数。再进行配方法。配方法：将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式，或几个完全平方式的和。
19．（2018·齐齐哈尔）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
【答案】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：x1=3或x2=
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将方程的右边整体移到方程的左边，再利用提公因式法将左边分解因式，根据两个因式的积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次，解降次后的方程，即可得出原方程的解，
20．（2022·十堰）已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值.
【答案】（1）证明： ，
∵ ，
∴ ，
该方程总有两个不相等的实数根
（2）解： 方程的两个实数根 ， ，
由根与系数关系可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ，即
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式的值恒大于零即可；
（2） 由根与系数关系可知① ， ②，由③，联立①③可求出α，β的值，再代入②求出m值即可.
21．（2022·随州）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，.
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值.
【答案】（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根，
此方程根的判别式，
解得.
（2）解：由题意得：，
解得或，
由（1）已得：，
则的值为2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用已知方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，可得到关于k的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用一元二次方程根与系数，可得关于k的方程，解方程求出k的值，利用k的取值范围，可得到k的值.
22．（2019·安顺）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0（1）求y与x之间的函数关系式;
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
【答案】（1）解：设一次函数解析式为：y＝kx+b
当x＝2,y＝120
当x＝4,y＝140
∴
∴
∴y＝10x+100
（2）解：由题意得：
（60－40－x）(10x+100)＝2090(或（20－x）(10x+100)＝2090)
x2－10x+9＝0
解得：x1＝1.x2＝9
∵让顾客得到更大的实惠
∴x＝9
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息，利用待定系数法即可求出 这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0（2）根据每千克的利润乘以销售数量等于总利润，列出方程，求解并检验即可。
23．（2021·荆门）已知关于x的一元二次方程 有 ， 两实数根.
（1）若 ，求 及 的值；
（2）是否存在实数 ，满足 ？若存在，求出求实数 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意：Δ=( 6)2 4×1×(2m 1)>0，
∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，
又∵x1 x2=2m 1=5，
∴x2=5，m=3
（2）解：设存在实数m，满足 ，那么
有 ，
即 ，
整理得： ，
解得 或 .
由（1）可知 ，
∴ 舍去，从而 ，
综上所述：存在 符合题意
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得△≥0，据从求出m≤5，再将x1=1代入原方程得m=3，利用根与系数的关系可得x1 x2=2m 1=5，从而求出；
（2）利用根与系数的关系可得x1+x2=6，x1 x2=2m 1，代入可得 ，解出m值并检验即可.
24．（2022·宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨.
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加 .5月份每吨再生纸的利润比上月增加 ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元.求 的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了 .求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
【答案】（1）解：设3月份再生纸产量为 吨，则4月份的再生纸产量为 吨，
由题意得： ，
解得： ，
∴ ，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
（2）解：由题意得： ，
解得： 或 （不合题意，舍去）
∴ ，
∴ 的值20；
（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸的产量为 吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设3月份再生纸产量为x吨，则4月份的再生纸产量为(2x-100)吨，根据3，4月份共生产再生纸800吨可列出关于x的方程，求解即可；
（2）根据4月份再生纸的产量×(1+m%)可得5月份再生纸的产量，根据4月份每吨再生纸的利润×(1+%)可得5月份每吨再生纸的利润，然后根据产量×每吨的利润=总利润可得关于m的方程，求解即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，则6月份每吨再生纸的利润为100(1+y)2，6月份再生纸的产量为a(1+y)吨，根据6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%可得6月份再生纸项目月利润为1200(1+y)(1+25%)a，然后根据月利润可列出关于y的方程，求解即可.
25．（2020·赤峰）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为 ， ，则有 ， ．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若 ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根， 是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【答案】（1） ，2，3
（2）证明：∵ ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，
∴ ，∴ ，
∴ = ，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）解：∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数 的图象上，
∴ ， ， ，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴ 或 或 ，
即 或 或 ，
解得：m=﹣4或﹣2或2．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，2，3是“和谐三数组”；
故答案为： ，2，3（答案不唯一）；
【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出 ，然后再求出 ，只要满足 = 即可；（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
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