2022年秋季湘教版数学九年级上册第二章 《一元二次方程》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·郴州）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（2021·贵州）若关于 的一元二次方程 的一个根是2，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022·西藏）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
4．（2022·安顺）定义新运算：对于任意实数，满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如．若（为实数）是关于的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
5．（2022·鄂尔多斯）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
6．（2022·哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·台湾）已知一元二次方程式的两根为、，且，求之值为何？（ ）
A．9 B．-3 C． D．
8．（2022·宜宾）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．-10 C．3 D．10
9．（2021·烟台）已知关于x的一元二次方程 ，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
10．（2021·邵阳）在平面直角坐标系中，若直线 不经过第一象限，则关于 的方程 的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·黄冈）若一元二次方程的两个根是，，则的值是 .
12．（2022·资阳）若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
13．（2021·南通）若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 .
14．（2021·随县）已知关于 的方程 （ ）的两实数根为 ， ，若 ，则 .
15．（2021·枣庄）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则 的值为 ．
16．（2020·大庆）已知关于 的一元二次方程 ，有下列结论：
①当 时，方程有两个不相等的实根；
②当 时，方程不可能有两个异号的实根；
③当 时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当 时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为 ．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2018·齐齐哈尔）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
18．（2018·兰州）解方程： ．
19．（2022·遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”.例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”.
（1）求双曲线y＝ 上的“黎点”；
（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围.
20．（2021·十堰）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值.
21．（2021·北京）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．
22．（2019·玉林）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同.
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg.如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
23．（2018·盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
24．（2020·南充）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式 成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
25．（2019·黔东南）某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产,为实现脱贫奔小康,某村组织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x(元)与该士特产的日销售量y(袋)之间的关系如下表:
X(元) 15 20 30 …
y(袋) 25 20 10 …
若日销售量y是销售价x的一次函数,试求:
（1）日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式;
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同,要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为多少元 每日销售的最大利润是多少元
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ， ， ，
，
一元二次方程 有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根，故确定a，b，c的值，代入判别式公式判断出△的符号即可得出结论.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】 解： 的一个根为2，设另一根为
，解得
又
故答案为：D
【分析】设另一根为，利用根与系数关系可得，据此求出a值.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴ ，
解得：m≥且m≠1.
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可得m-1≠0且△≥0，代入求解可得m的范围.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；偶次幂的非负性；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∴x2-k2-1=2x，
∴x2-2x-k2-1=0，
∴△=4+4(k2+1)=4k2+8>0，
∴该方程有两个不相等的实数根 ，
故答案为：B.
【分析】根据定义新运算法则将原方程化为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac，结合非负数的性质，进行判断即可.
5．【答案】B
【知识点】平方根；估算无理数的大小；二次根式有意义的条件；一元二次方程根的判别式及应用；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①若二次根式 有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1．
故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．
②8＜ ＜9，故题干的说法是错误的．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．
④ ＝4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．
⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式有意义的条件，多边形的内角和，平方根，实数根等对每个说法一一判断即可。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故答案为：C．
【分析】根据某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元， 列方程即可。
7．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
或，
所以，，
即，，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用直接开平方法解出方程，即得a、b ，再代入2a+b计算即可.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：、是一元二次方程的两个根，
∴，
是的一个根，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得mn=-5，根据方程解的概念可得m2+2m=5，然后代入计算即可.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由数轴可知， 且 ，则 ，
∵△= ， ，
∴△＞0，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，判断得到根的情况即可。
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线 不经过第一象限，
∴m=0或m＜0，
当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；
当m＜0时，方程 是一元二次方程，且△= ，
∵m＜0，
∴-4m＞0，
∴1-4m＞1＞0，
∴△＞0，
故方程有两个不相等的实数根，
综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，
故答案为：D.
【分析】由于直线 不经过第一象限，可得m=0或m＜0，分两种情况判断方程根的情况即可.
11．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：，是一元二次方程的两个根，
.
故答案为：3.
【分析】根据根与系数的关系可得x1·x2=，据此解答.
12．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6.
【分析】根据方程解的概念，将x=a代入方程中可得a2+2a=3，待求式可变形为2(a2+2a)，然后代入计算即可.
13．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴ ，
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数关系，可得m2+3m-1=0，m+n=-3，然后整体代入计算即可.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题意， ， ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
解得： ，
故答案为： .
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，分别求出x1+x2，x1x2的值；再将已知方程组转化为 ，然后整体代入，建立关于k的方程，解方程求出k的值.
15．【答案】8或9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于 的方程 的一个根，
因此有 ，
解得 ，
则方程为 ，解得另一个根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于 的方程 有两个相等的实数根，
因此，根的判别式 ，
解得n=9，
则方程为 ，解得方程的根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理；
综上， 的值为8或9，
故答案为：8或9．
【分析】当4为等腰三角形的腰长时，将x=4代入原一元一次方程可求出n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=4符合题意；当4为等腰三角形的底边长时，利用等腰三角形的性质可得出的判别式 ，解之可得n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=9符合题意。
16．【答案】①③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，∵一元二次方程 ，
∴ ；
∴当 ，即 时，方程有两个不相等的实根；故①符合题意；
当 ，解得： ，方程有两个同号的实数根，则当 时，方程可能有两个异号的实根；故②不符合题意；
抛物线的对称轴为： ，则当 时，方程的两个实根不可能都小于1；故③符合题意；
由 ，则 ，解得： 或 ；故④符合题意；
∴正确的结论有①③④；
故答案为：①③④．
【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
17．【答案】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：x1=3或x2=
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将方程的右边整体移到方程的左边，再利用提公因式法将左边分解因式，根据两个因式的积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次，解降次后的方程，即可得出原方程的解，
18．【答案】 a=3，b=-2，c=-2，
b2-4ac=（-2）2-4×3×（-2）=28>0，
∴x= = ，
， .
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】观察此方程的特点，利用一元二次方程的求根公式计算，可解答。
19．【答案】（1）解：设双曲线y＝ 上的“黎点”为（m，﹣m），
则有﹣m＝ ，
∴m＝±3，
∴双曲线y＝ 上的“黎点”为（3，﹣3）或（﹣3，3）
（2）解：∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，
∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，
即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，
∴ac9，
∴a＝ ，
∵a＞1，
∴0＜c＜9.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【分析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，-m），代入求解可得m的值，据此解答；
（2）由题意可得方程ax2-7x+c＝-x有且只有一个解，结合△=b2-4ac=0可得ac=9，则a＝，由题意可得a＞1，据此不难得到c的范围.
20．【答案】（1）解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得
（2）解：设该方程的两个根为 、 ，
∵该方程的两个根都是符号相同的整数，
∴ ， ，
∴ ，
∴m的值为1或2，
当 时，方程两个根为 、 ；
当 时，方程两个根 与 不是整数；
∴m的值为1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1） 根据一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可；
（2）设该方程的两个根为 、 ，根据根与系数关系及方程的两个根都是符号相同的整数，可得 ， ，可得m的范围，然后求出其整数解即可.
21．【答案】（1）证明：由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，则有： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
22．【答案】（1）解：设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，
根据题意得，2.5（1+x）2＝3.6，
解得：x＝0.2，x＝﹣2.2（不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；
（2）解：设至少再增加y个销售点，
根据题意得，3.6+0.32y≥3.6×（1+20%），
解得：y≥ ，
答：至少再增加3个销售点.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式即可列出方程求解并检验即可；
（2） 设至少再增加y个销售点 ，根据题意列出不等式求解即可。
23．【答案】（1）26
（2）解：解：设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，则平均每天销售数量为（20+2x）件，每件盈利为（40-x）元，且40-x≥25，即x≤15.
根据题意可得（40-x）（20+2x）=1200，
整理得x2-30x+200=0，
解得x1=10，x2=20（舍去），
答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系“原销售件数+2×降价数=降价后的销售件数”计算；（2）根据等量关系“每件盈利×销量=利润”，可设降价x元，则销量根据（1）的等量关系可得为（20+2x）件，而每件盈利为（40-x）元，利润为1200元，代入等量关系解答即可。
24．【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴
解得 ；
（2）解：由一元二次方程根与系数关系，
∵ ，
∴
即 ，解得 ．
又由（1）知： ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合 ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合 ，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．
25．【答案】（1） 解：设y=kx+b, 把(15, 25), (20, 20)代入得：25=15k+b, 20=20k+b,
解得k=-1, b=40,
∴y=-x+40.
（2）解： 设日销售利润为Z，则Z=y(x-10)=(-x+40)(x-10)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225.
∴当x=25时，Z的最大值为225元。
即当销售价定为25元时，日销售利润最大，最大利润为225元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）∵日销售量y是销售价x的一次函数，根据条件用待定系数法求出k、b，可得函数关系式。
（2）每日销售量×单件利润即是每日销售利润，列二次函数关系式，配方即可求出最大值。
1 / 12022年秋季湘教版数学九年级上册第二章 《一元二次方程》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·郴州）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ， ， ，
，
一元二次方程 有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根，故确定a，b，c的值，代入判别式公式判断出△的符号即可得出结论.
2．（2021·贵州）若关于 的一元二次方程 的一个根是2，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】 解： 的一个根为2，设另一根为
，解得
又
故答案为：D
【分析】设另一根为，利用根与系数关系可得，据此求出a值.
3．（2022·西藏）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴ ，
解得：m≥且m≠1.
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可得m-1≠0且△≥0，代入求解可得m的范围.
4．（2022·安顺）定义新运算：对于任意实数，满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如．若（为实数）是关于的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；偶次幂的非负性；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∴x2-k2-1=2x，
∴x2-2x-k2-1=0，
∴△=4+4(k2+1)=4k2+8>0，
∴该方程有两个不相等的实数根 ，
故答案为：B.
【分析】根据定义新运算法则将原方程化为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac，结合非负数的性质，进行判断即可.
5．（2022·鄂尔多斯）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
【答案】B
【知识点】平方根；估算无理数的大小；二次根式有意义的条件；一元二次方程根的判别式及应用；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①若二次根式 有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1．
故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．
②8＜ ＜9，故题干的说法是错误的．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．
④ ＝4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．
⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式有意义的条件，多边形的内角和，平方根，实数根等对每个说法一一判断即可。
6．（2022·哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故答案为：C．
【分析】根据某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元， 列方程即可。
7．（2022·台湾）已知一元二次方程式的两根为、，且，求之值为何？（ ）
A．9 B．-3 C． D．
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
或，
所以，，
即，，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用直接开平方法解出方程，即得a、b ，再代入2a+b计算即可.
8．（2022·宜宾）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．-10 C．3 D．10
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：、是一元二次方程的两个根，
∴，
是的一个根，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得mn=-5，根据方程解的概念可得m2+2m=5，然后代入计算即可.
9．（2021·烟台）已知关于x的一元二次方程 ，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由数轴可知， 且 ，则 ，
∵△= ， ，
∴△＞0，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，判断得到根的情况即可。
10．（2021·邵阳）在平面直角坐标系中，若直线 不经过第一象限，则关于 的方程 的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线 不经过第一象限，
∴m=0或m＜0，
当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；
当m＜0时，方程 是一元二次方程，且△= ，
∵m＜0，
∴-4m＞0，
∴1-4m＞1＞0，
∴△＞0，
故方程有两个不相等的实数根，
综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，
故答案为：D.
【分析】由于直线 不经过第一象限，可得m=0或m＜0，分两种情况判断方程根的情况即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·黄冈）若一元二次方程的两个根是，，则的值是 .
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：，是一元二次方程的两个根，
.
故答案为：3.
【分析】根据根与系数的关系可得x1·x2=，据此解答.
12．（2022·资阳）若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6.
【分析】根据方程解的概念，将x=a代入方程中可得a2+2a=3，待求式可变形为2(a2+2a)，然后代入计算即可.
13．（2021·南通）若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 .
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴ ，
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数关系，可得m2+3m-1=0，m+n=-3，然后整体代入计算即可.
14．（2021·随县）已知关于 的方程 （ ）的两实数根为 ， ，若 ，则 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题意， ， ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
解得： ，
故答案为： .
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，分别求出x1+x2，x1x2的值；再将已知方程组转化为 ，然后整体代入，建立关于k的方程，解方程求出k的值.
15．（2021·枣庄）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则 的值为 ．
【答案】8或9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于 的方程 的一个根，
因此有 ，
解得 ，
则方程为 ，解得另一个根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于 的方程 有两个相等的实数根，
因此，根的判别式 ，
解得n=9，
则方程为 ，解得方程的根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理；
综上， 的值为8或9，
故答案为：8或9．
【分析】当4为等腰三角形的腰长时，将x=4代入原一元一次方程可求出n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=4符合题意；当4为等腰三角形的底边长时，利用等腰三角形的性质可得出的判别式 ，解之可得n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=9符合题意。
16．（2020·大庆）已知关于 的一元二次方程 ，有下列结论：
①当 时，方程有两个不相等的实根；
②当 时，方程不可能有两个异号的实根；
③当 时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当 时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为 ．
【答案】①③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，∵一元二次方程 ，
∴ ；
∴当 ，即 时，方程有两个不相等的实根；故①符合题意；
当 ，解得： ，方程有两个同号的实数根，则当 时，方程可能有两个异号的实根；故②不符合题意；
抛物线的对称轴为： ，则当 时，方程的两个实根不可能都小于1；故③符合题意；
由 ，则 ，解得： 或 ；故④符合题意；
∴正确的结论有①③④；
故答案为：①③④．
【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2018·齐齐哈尔）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
【答案】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：x1=3或x2=
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将方程的右边整体移到方程的左边，再利用提公因式法将左边分解因式，根据两个因式的积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次，解降次后的方程，即可得出原方程的解，
18．（2018·兰州）解方程： ．
【答案】 a=3，b=-2，c=-2，
b2-4ac=（-2）2-4×3×（-2）=28>0，
∴x= = ，
， .
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】观察此方程的特点，利用一元二次方程的求根公式计算，可解答。
19．（2022·遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”.例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”.
（1）求双曲线y＝ 上的“黎点”；
（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围.
【答案】（1）解：设双曲线y＝ 上的“黎点”为（m，﹣m），
则有﹣m＝ ，
∴m＝±3，
∴双曲线y＝ 上的“黎点”为（3，﹣3）或（﹣3，3）
（2）解：∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，
∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，
即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，
∴ac9，
∴a＝ ，
∵a＞1，
∴0＜c＜9.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【分析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，-m），代入求解可得m的值，据此解答；
（2）由题意可得方程ax2-7x+c＝-x有且只有一个解，结合△=b2-4ac=0可得ac=9，则a＝，由题意可得a＞1，据此不难得到c的范围.
20．（2021·十堰）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值.
【答案】（1）解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得
（2）解：设该方程的两个根为 、 ，
∵该方程的两个根都是符号相同的整数，
∴ ， ，
∴ ，
∴m的值为1或2，
当 时，方程两个根为 、 ；
当 时，方程两个根 与 不是整数；
∴m的值为1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1） 根据一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可；
（2）设该方程的两个根为 、 ，根据根与系数关系及方程的两个根都是符号相同的整数，可得 ， ，可得m的范围，然后求出其整数解即可.
21．（2021·北京）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．
【答案】（1）证明：由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，则有： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
22．（2019·玉林）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同.
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg.如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
【答案】（1）解：设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，
根据题意得，2.5（1+x）2＝3.6，
解得：x＝0.2，x＝﹣2.2（不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；
（2）解：设至少再增加y个销售点，
根据题意得，3.6+0.32y≥3.6×（1+20%），
解得：y≥ ，
答：至少再增加3个销售点.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式即可列出方程求解并检验即可；
（2） 设至少再增加y个销售点 ，根据题意列出不等式求解即可。
23．（2018·盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【答案】（1）26
（2）解：解：设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，则平均每天销售数量为（20+2x）件，每件盈利为（40-x）元，且40-x≥25，即x≤15.
根据题意可得（40-x）（20+2x）=1200，
整理得x2-30x+200=0，
解得x1=10，x2=20（舍去），
答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系“原销售件数+2×降价数=降价后的销售件数”计算；（2）根据等量关系“每件盈利×销量=利润”，可设降价x元，则销量根据（1）的等量关系可得为（20+2x）件，而每件盈利为（40-x）元，利润为1200元，代入等量关系解答即可。
24．（2020·南充）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式 成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴
解得 ；
（2）解：由一元二次方程根与系数关系，
∵ ，
∴
即 ，解得 ．
又由（1）知： ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合 ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合 ，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．
25．（2019·黔东南）某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产,为实现脱贫奔小康,某村组织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x(元)与该士特产的日销售量y(袋)之间的关系如下表:
X(元) 15 20 30 …
y(袋) 25 20 10 …
若日销售量y是销售价x的一次函数,试求:
（1）日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式;
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同,要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为多少元 每日销售的最大利润是多少元
【答案】（1） 解：设y=kx+b, 把(15, 25), (20, 20)代入得：25=15k+b, 20=20k+b,
解得k=-1, b=40,
∴y=-x+40.
（2）解： 设日销售利润为Z，则Z=y(x-10)=(-x+40)(x-10)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225.
∴当x=25时，Z的最大值为225元。
即当销售价定为25元时，日销售利润最大，最大利润为225元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）∵日销售量y是销售价x的一次函数，根据条件用待定系数法求出k、b，可得函数关系式。
（2）每日销售量×单件利润即是每日销售利润，列二次函数关系式，配方即可求出最大值。
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