2022年秋季北师版数学九年级上册第三章 《概率的进一步认识》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·绵阳）某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验、甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，
画树状图如下：
一共有16种结果数，这两名同学恰好在同一岗位体验的情况有4种，
∴P（这两名同学恰好在同一岗位体验）=.
故答案为：A.
【分析】设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，根据题意列出树状图，利用树状图求出所有等可能饿结果数及这两名同学恰好在同一岗位体验的情况数，然后利用概率公式进行计算.
2．（2022·枣庄）在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：设“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容分别为A、B、C、D，画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，
则两人恰好选中同一主题的概率为．
故答案为：D．
【分析】先画树状图，再求出共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，最后求概率即可。
3．（2022·济南）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小刚恰好选择同一个主题的概率为．
故答案为：C．
【分析】先画树状图，再求出共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种，最后求解即可。
4．（2022·包头）2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】记小明为，其他2名一等奖为，
列树状图如下：
故有6种等可能性结果，其中小明被选中得有4种，故明被选到的概率为．
故答案为：D．
【分析】利用树状图求解即可。
5．（2022·宜昌）某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤.则小明和小慧选择参加同一项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵共有9种等可能的情况，其中小明和小慧选择参加同一项目的有3种情况，
∴小明和小慧选择参加同一项目的概率为 ，故A正确.
故答案为：A.
【分析】此题是抽取放回类型，画出树状图，找出总情况数以及小明和小慧选择参加同一项目的情况数，然后根据概率公式进行计算.
6．（2022·武汉）班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议.如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可得共有12种情况，A、B两位同学座位相邻的情况有6种，
∴A、B两位同学座位相邻的概率==.
故答案为：C.
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，找出总情况数以及A、B两位同学座位相邻的情况数，然后根据概率公式进行计算.
7．（2021·永州）小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：把“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化分别记为：A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的结果有2种，
∴小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为 ＝ ，
故答案为：D.
【分析】把“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化分别记为：A、B、C、D，画出树状图，找出总的情况数以及小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的情况数，然后结合概率公式计算即可.
8．（2021·河南）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，所抽中的恰好是B和D的结果有2种，
∴所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的概率为 .
故答案为：A.
【分析】把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D，画出树状图，找出总的情况数以及所抽中的恰好是B和D的情况数，然后根据概率公式进行计算.
9．（2021·阜新）小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】分别用r、b代表红色帽子、黑色帽子，用R、B、W分别代表红色围巾、黑色围巾、白色围巾，列表如下：
R B W
r rR rB rW
b bR bB bW
则所有可能的结果数为6种，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为1种，根据概率公式，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是 ．
故答案为：C．
【分析】根据题意，利用列表法求出所有可能的情况，利用概率公式求出概率。
10．（2021·滨州）在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有线段、等边三角形、平行四边形和正六边形．现将四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：∵线段是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，正六边形是轴对称图形，
分别用A、B、C、D表示线段、等边三角形、平行四边形和正六边形，
∴随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为 = ，
故答案为：A．
【分析】根据题意列出树状图，求出所有的情况数，再利用符合条件的情况数求出概率即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·桂林）当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率.历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 .
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右，
∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是.
故答案为：.
【分析】根据频率估计概率的知识进行解答即可.
12．（2022·河南）为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：根据题意，画出树状图，如下∶
一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，
所以恰好选中甲和丙的概率为 .
故答案为： .
【分析】此题是抽取不放回类型，利用树状图列举出一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，然后利用概率公式计算即可.
13．（2021·宜昌）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程.整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是 （填“黑球”或“白球”）.
【答案】白球
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由图可知：摸出黑球的频率是0.2，
根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为0.2，
∴可以推断盒子里个数比较多的是白球，
故答案为：白球.
【分析】利用统计图可知摸一次摸到黑球的概率为0.2，由此可判断出盒子里个数比较多的是白球.
14．（2022·孝感）小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列表如下：
石头 剪子 布
石头 （石头，石头） （石头，剪子） （石头，布）
剪子 （剪子，石头） （剪子，剪子） （剪子，布）
布 （布，石头） （布，剪子） （布，布）
一共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，出手相同的时候即为平局，有3种，所以随机出手一次平局的概率是.
故答案为：.
【分析】此题是抽取放回类型，画出表格，找出总情况数以及出手相同的情况数，然后根据概率公式进行计算.
15．（2021·成都）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1， 是该三角形的顺序旋转和， 是该三角形的逆序旋转和.已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是 .
【答案】
【知识点】几何概率；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图如下：
所以一共有 种等可能的结果，
又三角形的顺序旋转和与逆序旋转和分别为：
＜ 恒成立， 为正整数，
满足条件的 有： 共 种情况，
所以此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是：
故答案为：
【分析】由题意画树状图，由树状图的信息可知共有 种等可能的结果，满足条件的x、y共9种情况，再根据概率公式计算即可求解.
16．（2021·黑龙江）一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：由题意得：
∴两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是 ；
故答案为 ．
【分析】先画树状图，再求出两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是 即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·镇江）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于 ；
（2）搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
∵有9种结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，
∴2次都摸到红球的概率 ．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）共有3个球，其中红球1个，
∴摸到红球的概率等于 ；
故答案为： ；
【分析】（1）利用红球的个数除以球的总数即可；
（2）此题是抽取放回类型，画出树状图，找出总情况数以及2次都摸到红球的情况数，然后根据概率公式进行计算.
18．（2022·沈阳）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是 ；
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，∴两张卡片上的数字是2和3的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】（1）解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为，故答案为：；
【分析】（1）求出随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为，即可作答；
（2）先画树状图，再求出共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种， 最后求概率即可。
19．（2022·遵义）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是 6， 1，8，转盘乙上的数字分别是 4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）.
（1）转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是 ；转盘乙指针指向正数的概率是 .
（2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树状图法求满足a+b<0的概率.
【答案】（1）；
（2）解：列表如下：
乙 甲 -1 -6 8
-4 -5 -10 4
5 4 -1 13
7 6 1 15
由表知，共有9种等可能结果，其中满足a+b<0的有3种结果，
∴满足a+b<0的概率为.
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是；
转盘乙指针指向正数的概率是.
故答案为：；；
【分析】（1）直接根据概率公式进行计算即可；
（2）列出表格，找出总情况数以及满足a+b<0的情况数，然后根据概率公式进行计算.
20．（2022·玉林）问题情境：
在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①②③ 若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究 与 全等．
问题解决：
（1）当选择①②作为已知条件时， 与 全等吗？ （填“全等”或“不全等”），理由是 ；
（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求 的概率．
【答案】（1）全等；∵AB=AC，DB=DC，又∵AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)
（2）解：根据全等的判定方法可知①、②组合(SSS)或者①、③组合(SAS)可证明△ABD≌△ACD，
根据题意列表如下：
由表可知总的可能情况有6种，其中能判定△ABD≌△ACD的组合有4种，
能判定△ABD≌△ACD的概率为：4÷6= ，
故所求概率为 ．
【知识点】三角形全等的判定；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）由题意可得AB=AC，DB=DC，由于图形中两个三角形具有公共边AD，然后根据全等三角形的判定定理SSS进行解答；
（2）此题是抽取不放回类型，列出表格，找出总情况数以及能判定△ABD≌△ACD的情况数，然后根据概率公式进行计算.
21．（2021·巴中）为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现.现将九年级学生成绩统计如图所示.
（1）该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4.从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理.
【答案】（1）500；36°
（2）解：B等级的人数为：500 150 100 50＝200（名），
将条形统计图补充完整如下：
（3）解：此规则不合理，理由如下：
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，选甲乙的结果有8种，选丙丁的结果有4种，
∴选甲乙的概率为 ＝ ，选丙丁的概率为 ＝ ，
∵ ＞ ，
∴此规则不合理.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）该校九年级共有学生：150÷30%＝500（名），
则D等级所占圆心角的度数为：360°× ＝36°，
故答案为：500，36°；
【分析】（1）利用A的人数除以所占的比例可得总人数，利用D的人数除以总人数，然后乘以360°可得D所在扇形圆心角的度数；
（2）求出B等级的人数，据此补全条形统计图；
（3）画出树状图，找出总情况数以及选甲乙、选丙丁的情况数， 根据概率公式求出选甲乙、选丙丁的概率。进而比较即可.
22．（2022·雅安）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示.
（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户用水量；
（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在30～40t的概率.
【答案】（1）解：50-20-25-2=3(户)
答：这50户家庭中5月用水量在20～30t的有3户.
（2）解：∵0～10的中间值为5；10～20的中间值为15；20～30的中间值为25；30～40的中间值为35；
∴（5×20+15×25+25×3+35×2）÷50=12.4（t）.
答：估计该小区平均每户用水量为12.4t.
（3）解：用水量在20～30t的家庭用A表示，有2户，用水量在30～40t的家庭用B表示，有3户，任意抽取2户列表如下：
A1 A2 A3 B1 B2
A1 A1A2 A1A3 A1B1 A1B2
A2 A2A1 A2A3 A2B1 A2B2
A3 A3A1 A3A2 A3B1 A3B2
B1 B1A1 B1A2 B1A3 B1B2
B2 B2A1 B2A2 B2A3 B2B1
∵共有20种等可能结果，其中至少有1户用水量在30～40t的结果有14种，
∴P(至少有1户用水量在30～40t)==.
答：从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，至少有1户用水量在30～40t的概率是.
【知识点】条形统计图；列表法与树状图法；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据总户数可求出水量在20～30t的户数；
（2）利用组中值乘以对应的户数求出总用水量，然后除以总户数可得平均用水量；
（3）用水量在20～30t的家庭用A表示，用水量在30～40t的家庭用B表示，列出表格，找出总情况数以及至少有1户用水量在30～40t的情况数，然后根据概率公式进行计算.
23．（2022·深圳）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．
（1）本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ．
（2）补全条形统计图．
（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ．
（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．
【答案】（1）50人；
（2）解：不合格的人数为：；
补全图形如下：
（3）
（4）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】（1）解：本次抽查的总人数为（人，
“合格”人数的百分比为，
故答案为：50人，；
（3）解：扇形统计图中“不合格”人数的度数为，
故答案为：；
（4）解：列表如下：
甲 乙 丙
甲 （乙，甲） （丙，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙）
由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，
所以刚好抽中甲乙两人的概率为．
故答案为：．
【分析】（1）根据所给的条形统计图和扇形统计图中的数据计算求解即可；
（2）先求出 不合格的人数为16人，再补全图形即可；
（3）求出即可作答；
（4）先列表，求出共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，再求概率即可。
24．（2021·张家界）为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A（完全使用）、B（多数时间使用）、C（偶尔使用）、D（完全不使用），将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生总人数共有 .
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数是 .
（4）为了了解少数学生完全不使用公筷的原因，学校决定从D组的学生中随机抽取两位进行回访，若D组中有3名男生，其余均为女生，请用列表法或画树状图的方法，求抽取的两位学生恰好是一男一女的概率.
【答案】（1）50
（2）解：根据（1）的结论，得D类学生数量为： 人
条形统计图补全如下：
（3）72°
（4）解：列表如下：
男1 男2 男3 女
男1 男1，男2 男1，男3 男1，女
男2 男2，男1 男2，男3 男2，女
男3 男3，男1 男3，男2 男3，女
女 女，男1 女，男2 女，男3
∴总共有12种情况，其中抽取的两位学生恰好是一男一女的情况总共有6种
∴抽取的两位学生恰好是一男一女的概率 .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）本次抽取的学生总人数共有： 人
故答案为：50人；
（3）扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数是：
故答案为：72°；
【分析】（1）利用B组人数除以其百分比，即得抽取的学生总人数；
（2）利用抽查人数分别减去A、B、C人数，即得D组人数，然后补图即可；
（3）利用A组百分比乘以360°即得结论；
（4） 利用树状图列举出总共有12种等可能情况，其中抽取的两位学生恰好是一男一女的情况总共有6种 ，然后利用概率公式计算即可.
1 / 12022年秋季北师版数学九年级上册第三章 《概率的进一步认识》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·绵阳）某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验、甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·枣庄）在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·济南）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·包头）2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·宜昌）某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤.则小明和小慧选择参加同一项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·武汉）班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议.如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·永州）小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·河南）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·阜新）小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·滨州）在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有线段、等边三角形、平行四边形和正六边形．现将四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·桂林）当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率.历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 .
12．（2022·河南）为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为 .
13．（2021·宜昌）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程.整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是 （填“黑球”或“白球”）.
14．（2022·孝感）小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是 .
15．（2021·成都）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1， 是该三角形的顺序旋转和， 是该三角形的逆序旋转和.已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是 .
16．（2021·黑龙江）一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·镇江）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于 ；
（2）搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．
18．（2022·沈阳）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是 ；
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
19．（2022·遵义）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是 6， 1，8，转盘乙上的数字分别是 4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）.
（1）转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是 ；转盘乙指针指向正数的概率是 .
（2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树状图法求满足a+b<0的概率.
20．（2022·玉林）问题情境：
在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①②③ 若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究 与 全等．
问题解决：
（1）当选择①②作为已知条件时， 与 全等吗？ （填“全等”或“不全等”），理由是 ；
（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求 的概率．
21．（2021·巴中）为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现.现将九年级学生成绩统计如图所示.
（1）该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4.从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理.
22．（2022·雅安）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示.
（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户用水量；
（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在30～40t的概率.
23．（2022·深圳）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．
（1）本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ．
（2）补全条形统计图．
（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ．
（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．
24．（2021·张家界）为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A（完全使用）、B（多数时间使用）、C（偶尔使用）、D（完全不使用），将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生总人数共有 .
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数是 .
（4）为了了解少数学生完全不使用公筷的原因，学校决定从D组的学生中随机抽取两位进行回访，若D组中有3名男生，其余均为女生，请用列表法或画树状图的方法，求抽取的两位学生恰好是一男一女的概率.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，
画树状图如下：
一共有16种结果数，这两名同学恰好在同一岗位体验的情况有4种，
∴P（这两名同学恰好在同一岗位体验）=.
故答案为：A.
【分析】设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，根据题意列出树状图，利用树状图求出所有等可能饿结果数及这两名同学恰好在同一岗位体验的情况数，然后利用概率公式进行计算.
2．【答案】D
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：设“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容分别为A、B、C、D，画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，
则两人恰好选中同一主题的概率为．
故答案为：D．
【分析】先画树状图，再求出共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，最后求概率即可。
3．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小刚恰好选择同一个主题的概率为．
故答案为：C．
【分析】先画树状图，再求出共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种，最后求解即可。
4．【答案】D
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】记小明为，其他2名一等奖为，
列树状图如下：
故有6种等可能性结果，其中小明被选中得有4种，故明被选到的概率为．
故答案为：D．
【分析】利用树状图求解即可。
5．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵共有9种等可能的情况，其中小明和小慧选择参加同一项目的有3种情况，
∴小明和小慧选择参加同一项目的概率为 ，故A正确.
故答案为：A.
【分析】此题是抽取放回类型，画出树状图，找出总情况数以及小明和小慧选择参加同一项目的情况数，然后根据概率公式进行计算.
6．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可得共有12种情况，A、B两位同学座位相邻的情况有6种，
∴A、B两位同学座位相邻的概率==.
故答案为：C.
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，找出总情况数以及A、B两位同学座位相邻的情况数，然后根据概率公式进行计算.
7．【答案】D
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：把“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化分别记为：A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的结果有2种，
∴小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为 ＝ ，
故答案为：D.
【分析】把“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化分别记为：A、B、C、D，画出树状图，找出总的情况数以及小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的情况数，然后结合概率公式计算即可.
8．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，所抽中的恰好是B和D的结果有2种，
∴所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的概率为 .
故答案为：A.
【分析】把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D，画出树状图，找出总的情况数以及所抽中的恰好是B和D的情况数，然后根据概率公式进行计算.
9．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】分别用r、b代表红色帽子、黑色帽子，用R、B、W分别代表红色围巾、黑色围巾、白色围巾，列表如下：
R B W
r rR rB rW
b bR bB bW
则所有可能的结果数为6种，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为1种，根据概率公式，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是 ．
故答案为：C．
【分析】根据题意，利用列表法求出所有可能的情况，利用概率公式求出概率。
10．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：∵线段是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，正六边形是轴对称图形，
分别用A、B、C、D表示线段、等边三角形、平行四边形和正六边形，
∴随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为 = ，
故答案为：A．
【分析】根据题意列出树状图，求出所有的情况数，再利用符合条件的情况数求出概率即可。
11．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右，
∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是.
故答案为：.
【分析】根据频率估计概率的知识进行解答即可.
12．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：根据题意，画出树状图，如下∶
一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，
所以恰好选中甲和丙的概率为 .
故答案为： .
【分析】此题是抽取不放回类型，利用树状图列举出一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，然后利用概率公式计算即可.
13．【答案】白球
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由图可知：摸出黑球的频率是0.2，
根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为0.2，
∴可以推断盒子里个数比较多的是白球，
故答案为：白球.
【分析】利用统计图可知摸一次摸到黑球的概率为0.2，由此可判断出盒子里个数比较多的是白球.
14．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列表如下：
石头 剪子 布
石头 （石头，石头） （石头，剪子） （石头，布）
剪子 （剪子，石头） （剪子，剪子） （剪子，布）
布 （布，石头） （布，剪子） （布，布）
一共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，出手相同的时候即为平局，有3种，所以随机出手一次平局的概率是.
故答案为：.
【分析】此题是抽取放回类型，画出表格，找出总情况数以及出手相同的情况数，然后根据概率公式进行计算.
15．【答案】
【知识点】几何概率；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图如下：
所以一共有 种等可能的结果，
又三角形的顺序旋转和与逆序旋转和分别为：
＜ 恒成立， 为正整数，
满足条件的 有： 共 种情况，
所以此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是：
故答案为：
【分析】由题意画树状图，由树状图的信息可知共有 种等可能的结果，满足条件的x、y共9种情况，再根据概率公式计算即可求解.
16．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：由题意得：
∴两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是 ；
故答案为 ．
【分析】先画树状图，再求出两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是 即可。
17．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
∵有9种结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，
∴2次都摸到红球的概率 ．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）共有3个球，其中红球1个，
∴摸到红球的概率等于 ；
故答案为： ；
【分析】（1）利用红球的个数除以球的总数即可；
（2）此题是抽取放回类型，画出树状图，找出总情况数以及2次都摸到红球的情况数，然后根据概率公式进行计算.
18．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，∴两张卡片上的数字是2和3的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】（1）解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为，故答案为：；
【分析】（1）求出随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为，即可作答；
（2）先画树状图，再求出共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种， 最后求概率即可。
19．【答案】（1）；
（2）解：列表如下：
乙 甲 -1 -6 8
-4 -5 -10 4
5 4 -1 13
7 6 1 15
由表知，共有9种等可能结果，其中满足a+b<0的有3种结果，
∴满足a+b<0的概率为.
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是；
转盘乙指针指向正数的概率是.
故答案为：；；
【分析】（1）直接根据概率公式进行计算即可；
（2）列出表格，找出总情况数以及满足a+b<0的情况数，然后根据概率公式进行计算.
20．【答案】（1）全等；∵AB=AC，DB=DC，又∵AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)
（2）解：根据全等的判定方法可知①、②组合(SSS)或者①、③组合(SAS)可证明△ABD≌△ACD，
根据题意列表如下：
由表可知总的可能情况有6种，其中能判定△ABD≌△ACD的组合有4种，
能判定△ABD≌△ACD的概率为：4÷6= ，
故所求概率为 ．
【知识点】三角形全等的判定；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）由题意可得AB=AC，DB=DC，由于图形中两个三角形具有公共边AD，然后根据全等三角形的判定定理SSS进行解答；
（2）此题是抽取不放回类型，列出表格，找出总情况数以及能判定△ABD≌△ACD的情况数，然后根据概率公式进行计算.
21．【答案】（1）500；36°
（2）解：B等级的人数为：500 150 100 50＝200（名），
将条形统计图补充完整如下：
（3）解：此规则不合理，理由如下：
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，选甲乙的结果有8种，选丙丁的结果有4种，
∴选甲乙的概率为 ＝ ，选丙丁的概率为 ＝ ，
∵ ＞ ，
∴此规则不合理.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）该校九年级共有学生：150÷30%＝500（名），
则D等级所占圆心角的度数为：360°× ＝36°，
故答案为：500，36°；
【分析】（1）利用A的人数除以所占的比例可得总人数，利用D的人数除以总人数，然后乘以360°可得D所在扇形圆心角的度数；
（2）求出B等级的人数，据此补全条形统计图；
（3）画出树状图，找出总情况数以及选甲乙、选丙丁的情况数， 根据概率公式求出选甲乙、选丙丁的概率。进而比较即可.
22．【答案】（1）解：50-20-25-2=3(户)
答：这50户家庭中5月用水量在20～30t的有3户.
（2）解：∵0～10的中间值为5；10～20的中间值为15；20～30的中间值为25；30～40的中间值为35；
∴（5×20+15×25+25×3+35×2）÷50=12.4（t）.
答：估计该小区平均每户用水量为12.4t.
（3）解：用水量在20～30t的家庭用A表示，有2户，用水量在30～40t的家庭用B表示，有3户，任意抽取2户列表如下：
A1 A2 A3 B1 B2
A1 A1A2 A1A3 A1B1 A1B2
A2 A2A1 A2A3 A2B1 A2B2
A3 A3A1 A3A2 A3B1 A3B2
B1 B1A1 B1A2 B1A3 B1B2
B2 B2A1 B2A2 B2A3 B2B1
∵共有20种等可能结果，其中至少有1户用水量在30～40t的结果有14种，
∴P(至少有1户用水量在30～40t)==.
答：从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，至少有1户用水量在30～40t的概率是.
【知识点】条形统计图；列表法与树状图法；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据总户数可求出水量在20～30t的户数；
（2）利用组中值乘以对应的户数求出总用水量，然后除以总户数可得平均用水量；
（3）用水量在20～30t的家庭用A表示，用水量在30～40t的家庭用B表示，列出表格，找出总情况数以及至少有1户用水量在30～40t的情况数，然后根据概率公式进行计算.
23．【答案】（1）50人；
（2）解：不合格的人数为：；
补全图形如下：
（3）
（4）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】（1）解：本次抽查的总人数为（人，
“合格”人数的百分比为，
故答案为：50人，；
（3）解：扇形统计图中“不合格”人数的度数为，
故答案为：；
（4）解：列表如下：
甲 乙 丙
甲 （乙，甲） （丙，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙）
由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，
所以刚好抽中甲乙两人的概率为．
故答案为：．
【分析】（1）根据所给的条形统计图和扇形统计图中的数据计算求解即可；
（2）先求出 不合格的人数为16人，再补全图形即可；
（3）求出即可作答；
（4）先列表，求出共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，再求概率即可。
24．【答案】（1）50
（2）解：根据（1）的结论，得D类学生数量为： 人
条形统计图补全如下：
（3）72°
（4）解：列表如下：
男1 男2 男3 女
男1 男1，男2 男1，男3 男1，女
男2 男2，男1 男2，男3 男2，女
男3 男3，男1 男3，男2 男3，女
女 女，男1 女，男2 女，男3
∴总共有12种情况，其中抽取的两位学生恰好是一男一女的情况总共有6种
∴抽取的两位学生恰好是一男一女的概率 .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）本次抽取的学生总人数共有： 人
故答案为：50人；
（3）扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数是：
故答案为：72°；
【分析】（1）利用B组人数除以其百分比，即得抽取的学生总人数；
（2）利用抽查人数分别减去A、B、C人数，即得D组人数，然后补图即可；
（3）利用A组百分比乘以360°即得结论；
（4） 利用树状图列举出总共有12种等可能情况，其中抽取的两位学生恰好是一男一女的情况总共有6种 ，然后利用概率公式计算即可.
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