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空间向量及其线性运算
第1课时 空间向量及其线性运算
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 空间向量的概念
1.定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
2.长度或模：向量的大小．
3.表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||.
4.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
注意点：
(1)平面向量是一种特殊的空间向量．
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．
(3)向量不能比较大小．
(4)共线向量不一定具备传递性，比如0．
知识点二 空间向量的线性运算
加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和
图形叙述
平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量
图形叙述
数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何意义 当λ>0时，λa＝λ＝；当λ<0时，λa＝λ＝；当λ＝0时，λa＝0
图形叙述
运算律 交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
注意点：
(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．
(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用．
(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．
(4)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．
(5)向量λa与向量a一定是共线向量．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.下列命题中，假命题是( )
A.向量与的长度相等 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等
答案：D
解析：共线的单位向量是相等向量或相反向量．
2.如图所示，平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则下列等式成立的是( )
A. ＋＝ B.＋＝ C.－＝ D.－＝
答案：D
解析： －＝＝.
3.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2＋＋=0，则等于( )
A. B. C. D. 2
答案：C
解析：∵D为BC边中点，∴＋＝2，∴＋＝0，∴＝.
4.已知向量，，满足||＝||＋||，则( )
A. ＝＋ B.＝－－ C.与同向 D.与与同向
答案：D
解析：由||＝||＋||＝||＋||，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与同向．
5.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形
答案：A
解析：∵＋＝＋，∴＝.∴∥且||＝||.∴四边形ABCD为平行四边形．
6.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式-+化简后的结果是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：如图所示，
∵＝，1－＝－＝，＋＝1，∴－＋＝.
7.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( )
A.＋＋＝0 B.－－＝0 C.＋－＝0 D.－＋＝0
答案：A
解析：观察平行六面体ABCD—A1B1C1D1可知，向量，，平移后可以首尾相连，于是＋＋＝0.
8.已知空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－等于( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：方法一 ＋－＝(＋)－＝－＝.
方法二 ＋－＝＋(－)＝＋＝.
9.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则等于( )
A.－＋＋ B.－＋＋
C.＋＋ D.－＋
答案：C
解析：因为BM＝2MC′，所以＝，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，＝＋＝＋＝＋(＋)＝(－)＋(＋)＝＋＋.
10.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b
答案：D
解析：如图所示，
＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
二、填空题
11.给出下列命题：①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；③向量a，b相等的充要条件是④若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件．其中正确的是________．
答案：②④
解析：当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，不一定起点相同，终点也相同，故①错误．a＝b |a|＝|b|，|a|＝|b| / a＝b，故②正确．由a∥b，知a与b的方向相同或相反，故③错误．∵＝，∴||＝||且∥.又A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，在 ABCD中，有＝，故④正确．
12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.其中运算结果为的有________个．
答案：4
解析：根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(＋)＋＝＋＝；②(＋)＋＝＋＝；③(＋)＋＝＋＝；④(＋)＋＝＋＝.所以4个式子的运算结果都是.
13.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝________.
答案：－a－b＋c
解析：∵＝＋＋＝－－＋，又∵M是AA1的中点，∴＝，∴＝－－＋，∵＝a，＝b，＝c，∴＝－a－b＋c.
14.如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若记＝a，＝b，＝c，则＝________.
答案：a＋b＋c
解析：在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，则＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋(－＋－)＝＋＋－＝＋＋＝a＋b＋c.
15.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简－－＝________.
(2)用，，表示，则＝________.
答案：(1) (2)＋＋
解析：(1)－－＝－(＋)＝－＝＋＝.
(2)因为＝＝(＋)，所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋.
三、解答题
16.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值．
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
解：(1)由图可知，＝－＝－(＋)＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，
∴＝2－.
∵＋＝2，
∴＝2－，
∴＝2－(2－)＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
17.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．
(1)＋；(2)＋＋；(3)－－.
解：(1)＋＝.
(2)因为M是BB1的中点，所以＝.
又＝，
所以＋＋＝＋＝.
(3)－－＝－＝.
向量，，如图所示．
18.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3).
解：(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋b＋c.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c.
19.如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体．
(1)化简＋＋，并在图中标出其结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
解：(1)如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC′，连接EF，
则＝＋＋.
(2)因为＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋，
所以α＝，β＝，γ＝.
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第1课时 空间向量及其线性运算
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 空间向量的概念
1.定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
2.长度或模：向量的大小．
3.表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||.
4.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
注意点：
(1)平面向量是一种特殊的空间向量．
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．
(3)向量不能比较大小．
(4)共线向量不一定具备传递性，比如0．
知识点二 空间向量的线性运算
加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和
图形叙述
平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量
图形叙述
数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何意义 当λ>0时，λa＝λ＝；当λ<0时，λa＝λ＝；当λ＝0时，λa＝0
图形叙述
运算律 交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
注意点：
(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．
(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用．
(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．
(4)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．
(5)向量λa与向量a一定是共线向量．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.下列命题中，假命题是( )
A.向量与的长度相等 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等
2.如图所示，平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则下列等式成立的是( )
A. ＋＝ B.＋＝ C.－＝ D.－＝
3.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2＋＋=0，则等于( )
A. B. C. D. 2
4.已知向量，，满足||＝||＋||，则( )
A. ＝＋ B.＝－－ C.与同向 D.与与同向
5.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形
6.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式-+化简后的结果是( )
A. B. C. D.
7.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( )
A.＋＋＝0 B.－－＝0 C.＋－＝0 D.－＋＝0
8.已知空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－等于( )
A. B. C. D.
9.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则等于( )
A.－＋＋ B.－＋＋
C.＋＋ D.－＋
10.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b
二、填空题
11.给出下列命题：①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；③向量a，b相等的充要条件是④若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件．其中正确的是________．
12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.其中运算结果为的有________个．
13.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝________.
14.如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若记＝a，＝b，＝c，则＝________.
15.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简－－＝________.
(2)用，，表示，则＝________.
三、解答题
16.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值．
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
17.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．
(1)＋；(2)＋＋；(3)－－.
18.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3).
19.如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体．
(1)化简＋＋，并在图中标出其结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
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