青岛版初中数学九年级上册期中测试卷（标准难度）（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
青岛版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，为矩形的中心，将直角的直角顶点与重合，一条直角边与重合，使三角板沿逆时针方向绕点旋转，两条直角边始终与边、相交，交点分别为、若，，，，则与之间的函数图象是( )
A. B.
C. D.
如图，在边长为的小正方形组成的网格中，，，，四个点均在格点上，与相交于点，连接，，则与的周长比为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
已知任意四边形中，对角线、交于点，且，若只增加下列条件中的一个：；；；，一定能使成立的可选条件是( )
A. B. C. D.
如图，在纸片中，，，，点，分别在、边上，连接，将沿翻折，使点落在点的位置，连接，若四边形是菱形，则的长的最小值为( )
A. B. C. D.
如图，点为的重心，，，连结并延长交于点，作于点，过点作交于点，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，在矩形中，点，分别是，上的点，，，，，则的长度为( )
A. B. C. D.
如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于，两点，连接交于，交于，连接，若，则的长为( )
A. B.
C. D.
如图，边长为的小正方形网格中，点、、、在格点上，连接、，点在上且满足，则的正切值是( )
A.
B.
C.
D.
如图，在中，延长斜边到点，使，连接，若，则的值( )
A. B. C. D.
无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为参考数据：，，，，结果保留整数( )
A. B. C. D.
如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形若，，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，是的高．若，，则边的长为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在 中，已知，，于点，且，点是边上一动点．若为直角三角形，则的长为______
如图，已知正方形边长为，为边上一点，以点为中心，将按逆时针方向旋转得到，连接，分别交，于点，若，则______．
如图，正方形中，对角线、交于点，的平分线交于，交于，于，交于，交于，连接、，以下结论：≌；四边形是菱形；；，其中正确的结论是______只填序号
如图，是的中位线，为中点，连接并延长交于点，若，则______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，直立在处的标杆米，小爱站在处，眼睛处看到标杆顶，树顶在同一条直线上人，标杆和树在同一平面内，且点，，在同一条直线上已知米，米，米，求树高．
如图，在中，，平分．
求作使点在上，且∽；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，若，求长．
如图，是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，、、是格点，是与网格线的交点，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线，画图结果用实线表示．
直接写出图中的长______；
在图中画出等腰，使；
在图中先平移线段至对应，对应，再在线段上画一点；使得．
如图，四边形为正方形，为的中点，作交于，连结，，作交的延长线于，与交于点．
设，用含的代数式表示的度数．
求证：．
如图，若的面积为，求正方形的边长．
如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，交于点，．
求证：∽；
求证：；
的值等于______直接写出结果，无需解答过程
求证：若为锐角，则．
要求：
如图，锐角和线段，用尺规作出一个以线段为直角边，为内角，为的保留作图痕迹，不写作法．
根据中所画图形证明该命题．
如图，在中，，于点，为锐角．
将线段绕点顺时针旋转旋转角小于，在图中求作点的对应点，使得；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
在的条件下，过点作于点，连接，，若，求的值．
第届冬季奥林匹克运动会于今年月日至日在北京举行，我国冬奥选手取得了块金牌、块银牌、块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台如图，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端到的距离为米，，，，求此大跳台最高点距地面的距离是多少米结果保留整数．
参考数据：，，，，，，，，
随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，，，，，且，求出垂尾模型的面积．结果保留整数，参考数据：，
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：过点分别作于，于，
，
，
，
∽，
，
，，，，
，，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
过点分别作于，于，易证明∽，利用相似比作为相等关系即可得到关于，的方程，整理即可得到函数关系式从而判断图象．
解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．
2.【答案】
【解析】解：如图所示，
由网格图可知：，，，，
，
．
，
．
在中，
，
在中，
，
，
，
，，
，
，
∽，
与的周长比．
故选：．
利用网格图，勾股定理求得，的长，利用直角三角形的边角关系定理得出，进而得到，则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质，充分利用网格图的特征是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：由，只能得出为等腰三角形，不一定能使成立；
，再由，，可证≌，则，能使成立；
，可证，可再由推出等腰梯形，一定能使成立；
，，，，四点共圆，一定能使成立．
故选：．
根据三角形全等的判定方法，相似判定来综合分析，逐条排除即可．
本题是三角形全等，相似判定的综合运用，需要对题目的条件，添加条件及图形条件进行综合分析，得出结论．
4.【答案】
【解析】解：如图，连接交于点，设与交于点，
四边形是菱形，
平分，
点在的平分线上运动，
当时，的长最小．
在菱形中，，，，
，
∽，
，
．
在中，，，
，
，
．
，
，
∽，
，，
，，
．
，
．
故选：．
连接交于点，设与交于点根据菱形的性质可得点在的平分线上运动，从而得到当时，再证明∽，可得，再证明，，，从而再由勾股定理，即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直的性质，菱形的性质，准确得到点在的平分线上运动是解题的关键．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，证明∽是解题的关键，根据重心的定义即可得出点为的中点，进而得出，利用，得出∽，即可得出，进而得出，然后得出，再根据含角的直角三角形的性质得出，即可得出结论．
【解答】
解：点为的重心，
点为的中点，
，
，
∽，
，
点为的重心，
，
，
，
，
．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：作，延长、交于点，如图：
则，
，
为等腰直角三角形，
由题意得：，，，
设，则，，
，
，
，，
，
又，
≌，
，，
，
又，，
∽，
，即，
解得：，
，
故选：．
作，延长，交于点，设，根据相似三角形的性质求解即可．
此题考查了矩形的性质，涉及了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关性质作出辅助线构造出全等三角形．
7.【答案】
【解析】解：由作图可知，是线段的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
故选：．
由作图可知，是线段的垂直平分线，得到，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：连接，
，是中点，
，
，
点、、、在以为圆心，为半径的同一个圆上，
，
，
故选：．
连接，证明点、、、在以为圆心，为半径的同一个圆上，把求的正切值转化为求的正切值．
本题考查了解直角三角形，掌握四点共圆的证明及三角函数的应用是解题关键，其中连接，证明点、、、在以为圆心，为半径的同一个圆上是本题的难点．
9.【答案】
【解析】解：过点作垂直的延长线于，
在中，，
，
设，，
则，
，，
∽，
，
，
，，
在中，．
故选：．
过点作垂直的延长线于，因为，所以和相似，根据相似三角形的性质求出和的长，根据锐角三角函数的定义求解即可．
本题结合相似三角形考查了锐角三角函数的运用，解题的关键是将求锐角三角函数值的角构建到直角三角形中去．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题．解决本题的关键是结合图形利用三角函数解直角三角形．首先分析图形，根据题意得两个直角三角形、，通过解这两个直角三角形求得、的长度，进而利用即可求出答案．
【解答】
解：由题意得：，，，，
在中，
，
，
在中，
，
，
．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
在中，，
，
故选：．
在中，，，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
，，
，
，
故选：．
根据，可得，由，可得，可得是等腰三角形，进而可以解决问题．
本题主要考查解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角、边边、角角间的关系式解直角三角形的基础，本题需考虑两种情况是关键．
13.【答案】或或
【解析】解：，
，
，且，
，
分两种情况：
当时，点与重合，；
当时，作交的延长线于，如图所示：
则，，
，
，
∽，
，即，
解得：，或，
，或；
综上所述，若为直角三角形，则的长为或或；
故答案为：或或．
由三角函数得出，分两种情况：
当时，点与重合，；
当时，作交延长线于，则，，证明∽，得出，解得，或，得出，或；即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：以点为中心，将按逆时针方向旋转得到，
≌，
，，，
，
，即，
为等腰直角三角形，
，
正方形，为对角线，
，
，
，，，
，
，正方形边长为，
设，，
，，
，，
∽，
，即，
解得：或舍去，
，，
则．
故答案为：．
由旋转的性质得到三角形与三角形全等，进而得到对应角与对应边相等，确定出三角形为等腰直角三角形，再由正方形的性质得到，根据对顶角相等，利用三角形内角和定理得到，根据已知比值设出与，进而表示出与，根据三角形与三角形相似，由相似得比例列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出与，即可求出所求．
此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，锐角三角函数定义，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质与判定是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：是的平分线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是线段的垂直平分线，
，，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
四边形是菱形；正确；
设，菱形的边长为，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，正确；
，
是等腰直角三角形，
，
，
整理得，
，，
四边形是正方形，
，
，
≌，
，
，
，错误；
，，
，
在和中，
，
≌，
，正确；
故答案为：．
证明≌，得出，得出是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得出，，由正方形的形状得出，，，证出，得出，因此，即可得出正确；
设，菱形的边长为，证出，由正方形的性质得出，，证出，由证明≌，正确；
求出，是等腰直角三角形，得出，，整理得，得出，，由平行线得出，得出，因此正确；
证明≌，得出，正确．
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：是的中位线，
、分别为、的中点，
如图过作交于点，
，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，，
点为的中点，且，
，
，
，
为的中位线，
，
，
，
，
是的中位线，
，
故答案为：．
取的中点，连接，根据证≌，得出，根据等高关系求出的面积为，根据和边和高的比例关系得出，从而得出梯形的面积为，进而得出的面积为，同理可得，即可得出的面积．
本题主要考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，正确得出中位线分三角形的面积比例关系是解题的关键．
17.【答案】解：过作交于点，交于点，如下图所示：
由已知得，，，，
，，
四边形为矩形，
米，米，米，
米，
，，
，
∽，
，
，
解得，
米．
答：树高为米．
【解析】过作交于点，交于点，可证明四边形为长方形，可得的长；可证明∽，故可求得的长，所以树高的长即可知．
本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．
18.【答案】解：如图，点即为所求；
在中，，，，
，
，
平分，
，
在中，，
在中，，
．
【解析】过点作交于点，点即为所求．
解直角三角形求出，，可得结论．
本题考查作图相似变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：；
在图中，等腰即为所求；
在图中，线段，点即为所求．
利用勾股定理求出，再利用平行线分线段成比例定理求出；
作正方形，延长交于点，即为所求；
取格点，作射线交于点，点即为所求．
本题考查作图平移变换，平行线分线段成比例定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】解：为的中点，，
垂直平分，
，
，，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
，
，
是的外角，
；
证明：，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：设正方形的边长为，则，，
，，
，
，
或不符合题意，舍去，
正方形的边长．
【解析】由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由正方形的性质得出，得出，进而得出，由，得出，继而得出，由三角形外角的性质即可得出；
由，，得出是等腰直角三角形，进而得出，，进而证明≌，即可证明；
设正方形的边长为，则，，得出，，由，得出，求出，即可求出正方形的边长．
本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算公式等知识是解决问题的关键．
21.【答案】
【解析】证明：垂直平分，
，
，
，
，
∽；
证明：垂直平分，
，
∽，
，
，
，
，
；
解：如图，过点作，交的延长线于点，
垂直平分，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由垂直平分线的性质得出，进而得出，由等腰三角形的性质得出，即可证明∽；
由垂直平分，得出，由相似三角形的性质得出，进而得出，由，得出，即可得出；
过点作，交的延长线于点，由垂直平分，得出，证明∽，得出，由，即可得出，再证明∽，得出，进而得出，由，得出，即可得出．
本题考查了线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
22.【答案】解：如图，即为所求；
证明：，
，
，，
．
【解析】作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求；
利用勾股定理，三角函数的定义证明即可．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：如图所示点即为所求．
连接．
，，
由可知，，
，
又，
≌，
，，
又，
≌，
，
，
在中，，
设，，
，
，
．
【解析】分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，连接，即可；
连接证明≌，推出，，再证明≌，推出，在中，，设，，求出，可得结论．
本题考查作图旋转变换，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：如图，过点作于点，交于点，则．
根据题意可知，，米，
，
，
在中，，，
米，
在和中，设米，则米，
，
，
，解得米，
米，
米．
此大跳台最高点距地面的距离是米．
【解析】过点作于点，交于点，则，分别在中，和中，解直角三角形即可得出结论．
此题主要考查了解直角三角形的应用，涉及三角函数值的定义，解一元一次方程，正确作出辅助线，并得出是解题关键．
25.【答案】解：如图，过点作的垂线，交的延长线于，过点作的垂线，交的延长线于，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
由于，即，
，
，
答：垂尾模型的面积为．
【解析】通过作垂线，构造矩形和直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质，可求出、、、，进而求出，利用梯形面积的计算公式进行计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造矩形、直角三角形是解决问题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)