青岛版初中数学九年级上册期中测试卷（困难）（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
青岛版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图所示，图中共有相似三角形( )
A. 对
B. 对
C. 对
D. 对
如图，在正方形的对角线上取一点使得，连接并延长到，使，与相交于点，若，有下列结论：；；；则其中正确的结论有( )
A. B. C. D.
著名画家达芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中，，连结，，得到个全等的四边形，四边形，四边形，四边形分别交，于点，，若：：，且，则的长为( )
A. B. C. D.
将矩形和矩形分割成块图形如图中，并把这块图形重新组合，恰好拼成矩形若，，，那么矩形的面积为( )
A. B. C. D.
如图，将正方形纸片沿折叠，使点的对称点落在边上，点的对称点为点，交于点，连接交于点，连接下列四个结论中：
∽；
；
平分；
，
其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
如图，正方形的边长是，，连接，交于点，并分别与边，交于点，，连接，下列结论：；；；其中正确结论的个数( )
A. B. C. D.
如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则以下结论中：；；；∽，正确的是（ ）
B.
C. D.
如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连结若，，则线段的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
如图，已知、两点的坐标分别为、，点、分别是直线和轴上的动点，，点是线段的中点，连接交轴于点，当面积取得最小值时，的值是( )
A. B. C. D.
如图，等边的边长为，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
与可能相等；
与可能相似；
四边形面积的最大值为；
四边形周长的最小值为．
其中，正确结论的序号为( )
A. B. C. D.
如图，中，，，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰三角形，使，连接，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，正方形中，点在边上，且连接、、，且交于，为的中位线，下列结论，， ， 其中正确结论的个数是( )
A. 个 B. 个 C. D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在中，，，点为边上一点，将线段绕点逆时针旋转交于点，则长度的最大值为______．
如图，直线交轴于点，点在轴的正半轴上，以为斜边作等腰直角 ，点将 向右平移得到 ，连结交直线于点当，，三点共线时，点恰好落在直线上，则的值为 ．
如图，把边长为：的矩形沿长边，的中点，对折，得到四边形，点，分别在，上，且，与交于点，为的中点，连接，作交于点，连接，则______．
如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作于点，连接并延长，交于点，过点作交于点，，现给出下列结论：；；；；
其中正确的结论有______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，四边形的对角线，相交于点，，．
过点作交于点，求证：；
如图，将沿翻折得到．
求证：；
若，求证：．
如图，，平分，过点作交于点，连接交于点．
求证：；
若，，求的长．
在矩形中，于点，点是边上一点．
若平分，交于点，于点，如图，证明四边形是菱形；
若，如图，求证：；
在的条件下，若，，求的长．
从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
如图，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线．
在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数．
如图，中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．
首钢滑雪大跳台是世界上首个永久性的单板大跳台，其优美的造型，独特的设计给全球观众留下深刻的印象，大跳台场地分为助滑区、起跳台、着陆坡和终点区域个都分，现将大跳台抽象成如图的简图，表示运送运动员上跳台的自动扶梯，表示助滑区，表示起跳台，表示着陆坡．已知，，在助滑区处观察到顶点处的仰角是，且自动扶梯的速度是，运送运动员到达跳台顶端点处需要秒，，，、、都垂直于．
求大跳台的高度是多少米结果精确到；
首钢滑雪大跳台主体结构采用装配式钢结构体系和预制构件，“助滑区”和“着陆坡”赛道面宽米，面板采用耐候钢，密度为，求铺装“助滑区”和“着陆坡”赛道的耐候钢总重量是多少吨结果精确到吨，
如图，是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示．
将边绕点逆时针旋转得到线段；
在线段上找一点，使得；
在上找一点，使最小；
依据的作图，试探究：若、是锐角，且，，则______．
如图，某大楼的顶部树有一块广告牌，小李在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米是指坡面的铅直高度与水平宽度的比
求点距水平面的高度；
求广告牌的高度．
测角器的高度忽略不计，结果精确到米参考数据：，
已知中，，，，点是边上一点点不与、重合，过点作，垂足为点，过点作交直线于点，联结，过点作，垂足为点．
如图，
求的长 设，，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
如图，延长交于点，若，求的值用表示．
已知：如图，某船向正东方向航行，在处望见某岛在北偏东，船前进海里到点，测得该岛在北偏东，已知在该岛周围海里内有暗礁，问船若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查相似三角形的判定方法的掌握情况．
可以运用相似三角形的判定方法进行验证．
【解答】
解：共四对，分别是∽、∽、
∽、∽．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查对正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．
由正方形的性质可以得出，，通过证明≌，就可以得出；
在上取一点，使，连结，再通过条件证明≌就可以得出；
过作交于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可求出高，根据三角形的面积公式即可求得；
解直角三角形求得，根据等边三角形性质得到，然后通过证得∽，求得．
【解答】
证明：四边形是正方形，
，，．
在和中，
，
≌，
，故正确；
在上取一点，使，连结，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
，，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，故正确；
过作交于，
根据勾股定理求出，
由面积公式得：，
，
，，
，，
，故正确；
在中，，
是等边三角形，
，
，
，
∽，
，故错误；
综上，正确的结论有，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：过点作于点，交于点，如图所示：
四边形，四边形，四边形，四边形都是全等的，
，
，，
≌，
易得，
：：，
：：，
，
：：，
，
，
，
设，，则，，
，
由等积法可得，，
，
由勾股定理可得，，
，
；
故选：．
过点作于点，交于点，设，，进而可得，，则有，然后由：：，得，最后可得，，则问题可求解．
本题主要考查正方形的性质、勾股定理及线段的比，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及线段的比是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由题意知，，
，
，
，
，
，
≌，
，
设，则，
，，
∽，
，即，
解得，
，，
．
故选：．
先判定≌，即可得出；设，则，再根据∽，即可得到，即，进而得到，，最后根据进行计算，即可得到矩形的面积．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．
5.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
．
由折叠可知：，．
，
，
，
．
，
．
，
∽．
故正确；
过点作于，
由折叠可得：，
，
，
，
在和中，
，
≌．
，．
，
≌，
，
，
不正确；
由折叠可得：，
，
，
，
即平分．
正确；
连接，，，如图，
≌，≌，
，，
，
，
．
．
由折叠可得：，
．
．
由折叠可知：．
．
，，
，
，，，四点共圆，
．
在和中，
，
≌．
，
，
，
，
．
，
∽，
，
，
．
正确；
综上可得，正确的结论有：．
故选：．
利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；
过点作于，通过证明≌，进而说明≌，可得，可得不正确；
由折叠可得：，由可得，结论成立；
连接，，，由≌，≌可知：，，所以，由于，则，由折叠可得：，则；利用勾股定理可得；由，，得到，所以，，，四点共圆，所以，通过≌，可得，这样，，因为，易证∽，则得，从而说明成立．
本题主要考查了相似形的综合题，正方形的性质，翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
由四边形是正方形，得到，，根据全等三角形的性质得到，根据余角的性质得到，故正确；根据相似三角形的性质得到，由，得到，故错误；根据全等三角形的性质得到，，进而证明≌，得出，于是得到，即，故正确．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，故结论正确；
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，故结论错误；
在与中，
，
≌，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
即，故结论正确．
7.【答案】
【解析】解：正方形的边长为，点是的中点，
，，，
，
，
，
在与中，，
≌，
，
，
∽，
，
；故正确；
由勾股定理可知：，
，
，
，，
，故正确，
作于．
，
，
，
，
，
，，
，故正确，
，
，
与不相似，故错误．
故选：．
正确．利用相似三角形的性质解决问题即可．
正确．作于，求出，即可解决问题．
正确．求出，即可判断．
错误．证明即可．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是旋转的性质、解直角三角形、直角三角形度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，如图连接，求出，根据，可得，由此即可解决问题．
【解答】
解：如图连接，
在中，，，
，
根据旋转不变性可知，，
，
，
，
又，即，
的最大值为此时、、共线．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：如图，设直线交轴于由题意，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当直线与相切时，的面积最小，
是切线，点是切点，
，
，，
，
，
，
，
，
作于．
，
，
，
，
故选：．
如图，设直线交轴于由题意，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，推出当直线与相切时，的面积最小，作于求出，即可解决问题．
本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10.【答案】
【解析】解：在中可知恒大于，大于等于，
，故错误
，
当时，∽，
设，则，
则，
整理得，，故方程有解，故正确
设，
则．
的最大值为，
当时，四边形的面积最大，最大值为，故正确
如图，作点关于的对称点，作，且，连接交于点，在射线上取，此时四边形的周长最小过点作交的延长线于点，交于点．
由题意得，，，
，
，
，
四边形的周长的最小值为，故错误，
所以正确的有，
故选D．
根据三角形的边角关系即可判断．
当时，∽，整理得到一元二次方程，根据根的判别式判断方程有解，即可判断．
设，则，当取最大值时，可得结论，即可判断．
如图，作点关于的对称点，作，且，连接交于点，在射线上取，此时四边形的周长最小求出的长即可判断．
本题考查相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】解：设交于点，过点作于点，如图所示．
在中，点是边的中点，
．
．
，
．
．
．
，，
．
．
．
，
．
，
B.
B.
，
．
．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，三角形的中位线，由条件四边形是正方形可以得出，，，通过作辅助线制造直角三角形可以求出正弦值，利用三角形相似可以求出线段之间的关系，三角形面积的等积变换，平行线的性质就可以求出相应的结论．
【解答】
解：，
，
四边形是正方形，
，，
∽，
，
是的中点，是的中点，
，
，
即，
故正确，
，，
∽，
，
，
，
即，
故正确，
为的中位线，
，
，
，
即，
故错误；
过点作，
，，
∽，
：：，
：：，
设，则，
在中，，
，
，
故正确．
故正确结论有个，
故选B．
13.【答案】
【解析】解：过点作于，设，，则，
将线段绕点逆时针旋转交于点，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
解得或舍去，
，
的最大值为．
过点作于，设，，则，证明∽，推出，推出，可得，由，可得，解得或舍去，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等腰直角三角形的性质，一次函数的性质，比例线段以及相似三角形的判定与性质，能利用这些性质进行计算是解此题的关键先根据等腰直角三角形的性质以及、、三点共线求出，，则，将代入直线可得，直线解析式为，则该直线与轴交点坐标为，连接，可知，根据比例线段的性质即可求出的值．
【解答】
解：为等腰直角三角形，点，且、、三点共线，
为等腰直角三角形，，
，，
把代入直线得
，
直线解析式为，
设该直线与轴交点为，则，
连接，则，
，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：点，分别是，的中点，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是矩形，
由题意知，，
，
矩形是正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，，，
，
∽，
，
点是的中点，
，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
先判断出四边形是正方形，进而判断出≌，得出，进而求出，再判断出∽，求出，，再判断出∽，求出，即可求出答案．
此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：过点作交于点，于点，过点作交延长线于，
四边形是正方形，
，，
，
，，
．
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
四边形的面积，
，
．
，
，
．
，
，
，
，
，，
，
，
，．
，
，故符合题意；
，
，，
又，
，．
，
≌，
，故符合题意；
，
，
，故符合题意；
，
，
解得，
，故不符合题意；
故答案为：．
直接根据平行线分线段成比例即可判断正误；
过点作交于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，首先根据四边形的面积求出正方形的边长，利用勾股定理求出，，的长度，再利用平行线分线段成比例分别求出，的长度，然后利用即可判断；
直接利用平行线的性质证明≌，即可得出结论；
利用平行线分线段成比例得出，然后利用勾股定理求出的长度，进而的长度可求．
本题主要考查了四边形综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例和锐角三角函数是解题的关键．
17.【答案】证明：，
，，
又，
≌，
，，
，，
，
；
证明：如图，过点作交于点，
由可知≌，，
，
将沿翻折得到，
，
，
，
又
．
证明：如图，过点作交于点，延长交于点，
，，
四边形为平行四边形．
，
将沿翻折得到．
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
≌，
，
，
．
【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论；
过点作交于点，由得出，由折叠的性质可得出，则，可得出结论；
过点作交于点，延长交于点，证明∽，得出，证明∽，由相似三角形的性质得出，根据，可得出结论．
本题是相似形综合题，考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】证明：平分，
，
又，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，是直角三角形，，
，，
且，，
，
，
，
，
，
，
，且，
．
【解析】本题是相似三角形的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义以及平行线的性质．
由，平分，可推得，利用相似三角形的性质即可得到答案；
由和平分且，可推得，再由的结论可得，利用勾股定理可得和的长度，再利用，得到，于是，即可得到答案．
19.【答案】证明：如图中，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，，平分，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
证明：如图中，
，，
，
，
，，
，
∽，
，
，
；
解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
；
．
【解析】想办法证明，，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题．
证明∽，可得，由此即可解决问题．
利用中结论．求出，即可．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】证明：，，
，
不是等腰三角形，
平分，
．
，
为等腰三角形．
，，
，
是的完美分割线．
解：当时如图，．
，
，
．
当时如图，．
，，
．
当时如图，．
，，
，其与矛盾，舍去．
综上，或．
解：由题意知，
，，
设，，解得，
，．，
，
．

【解析】本题考查相似三角形综合题、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考压轴题．
根据完美分割线的定义只要证明不是等腰三角形，是等腰三角形，∽即可．
分三种情形讨论即可如图，当时，如图中，当时，如图中，当时，分别求出即可．
设，利用∽，得，列出方程即可解决问题
21.【答案】解：根据题意可知：，
，
答：大跳台的高度是米；
如图，过点作于点，
得矩形，矩形，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
耐候钢的体积，
耐候钢总重量吨．
答：赛道的耐候钢总重量约为吨．
【解析】根据自动扶梯的速度是，运送运动员到达跳台顶端点处需要秒，即可解决问题；
过点作于点，得矩形，矩形，然后根据特殊角三角函数分别求出，的长，再根据题意求出耐候钢的体积，进而可以解决问题．
此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
22.【答案】
【解析】解：如图，线段即为所求；
如图，点即为所求；
如图，点即为所求；
，
，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
根据旋转的性质即可将边绕点逆时针旋转得到线段；
根据网格即可在线段上找一点，使得；
找到点关于的对称点，连接交于点，根据两点之间线段最短即可使最小；
依据的作图，根据，，可得，，利用三角形外角定义可得，进而可得．
本题考查了作图旋转变换，平行线的性质，作图轴对称变换，解直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
23.【答案】解：过作于，
中，，
，
；
，，，
四边形是矩形．
由得：，，
，
中，，
．
中，，，
．
．
答：宣传牌高约米．
【解析】过作的垂线，设垂足为分别在中，通过解直角三角形求出、；
在解直角三角形求出的长，进而可求出即的长，在中，，则，由此可求出的长然后根据即可求出宣传牌的高度．
此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
24.【答案】解：如图：
作于，则，
中，，，，
，
，
，
，
；
在中，，
，
又，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，即，
又为上一点，且不与，重合，
，
关于的函数解析式为；
过分别做，，
与等高，
，
又
，
四边形为矩形，
，
又，
，
，
又，
，


【解析】本题主要考查三角形综合．
作于，则，在中，求出，，再根据的面积，求出，即可求解；
在中，，可得，再根据，可得，于是，，说明，可得，进而可得，即可求解；
过分别做，，根据与等高，可得，进而可得，说明，可得，求出，即可求解．
25.【答案】解：有触礁危险，理由如下：
过点作延长线于点
依题意，，
，
在中，

有触礁危险
【解析】判断有无危险只要求出点到的距离，与海里比较大小就可以．
本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)