湘教版初中数学九年级上册期中测试卷（困难）（含答案）

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湘教版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二.三章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点，，若反比例函数的图象经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在第二象限，其余顶点都在第一象限，轴，，过点作，垂足为，反比例函数的图象经过点，与边交于点，连接，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，正方形的边长为，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则该反比例函数的表达式为( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，原点在边上，反比例函数的图象恰好经过顶点和，并与边交于点，若：：，的面积为，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
如果，那么的值为 ( )
A. B. C. 或 D. 或
若实数，分别满足方程，，则的值为
A. B. C. 或 D. 或
已知关于的方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B.
C. D. 且
如图，在中，，，正方形的顶点，在内，顶点，分别在，上，，，则点到的距离为( )
A. B. C. D.
如图，是的中线，点在上，，连接并延长交于点，则：的值是( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
如图，已知点是反比例函数的图象在第一象限上的动点，连结并延长交另一分支于点，以为边作等边使点落在第二象限，且边交轴于点，若与的面积之比为：，则点的坐标为( )
A. B. C. D. ，
如图，中，，，，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为( )
A. B. C. 或 D.
如图，点为线段的中点，在上取点，分别以，，，为边向上作正方形，，，，将其面积依次记为，，，，在几何原本有这样一个结论；当时，若，，共线，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则______．
如图，的三个顶点分别为，，若函数在第一象限内的图象与有交点，则的取值范围是______．
已知方程其中为非负整数至少有一个整数根．那么______．
如图所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图是投石车投石过程中某时刻的示意图，是杠杆，弹袋挂在点，重锤挂在点，点为支点，点是水平底板上的一点，米，米．
投石车准备时，点恰好与点重合，此时和垂直，则______米．
投石车投石瞬间，的延长线交线段于点，若：：，则点的上升高度为______米．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，连结，以为边在第一象限内作正方形，直线交双曲线于、两点，已知点的坐标为，连结，交轴于点．
求双曲线和直线的解析式．
求到直线的距离．
在轴上是否存在一点，使值最大，若有，直接写出点的坐标；若无，请说明理由．
某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第周该软件的周销售量为单位：千套，当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第周销售该软件每千套的利润为单位：千元，与满足如图中的函数关系图象：
周
千套
求与的函数关系式；
观察图象，当时，与的函数关系式为______．
设第周销售该学习软件所获的周利润总额为单位：千元，则：
在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由．
该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是，求在此范围内对应的周销售量的最小值和最大值．
如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
求这两个函数的表达式；
在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
已知关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
若此方程的两实数根，满足，求的值．
“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自年起逐月增加，据统计，该商城月份销售自行车辆，月份销售了辆。
若该商城前个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城月份卖出多少辆自行车？
考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入万元再购进一批两种规格的自行车，已知型车的进价为元辆，售价为元辆，型车进价为元辆，售价为元辆。根据销售经验，型车不少于型车的倍，但不超过型车的倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．
如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积为
如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于
在中的面积能否等于说明理由．
小明想测量电线杆的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面和地面上，量得，，与地面成角，且在此时测得杆的影长为，求电线杆的高度．
如图，是的中线，过点作直线．
【问题】如图，过点作直线交直线于点，连结，求证：．
【探究】如图，在线段上任取一点，过点作直线交直线于点，连结、，探究四边形是哪类特殊四边形并加以证明．
【应用】在探究的条件下，设交于点若点是的中点，且的面积为，直接写出四边形的面积．
在中，已知是边的中点，是的重心，过点的直线分别交、于点、．
如图，当时，求证：；
如图，当和不平行，且点、分别在线段、上时，中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
如图，当点在的延长线上或点在的延长线上时，中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：作轴于，轴于，作于，连接，
四边形是矩形，
，
点，，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
≌，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，，
≌，
，，
，
设，则，
，
，
，
即，
，
反比例函数的图象经过点，
，
故选：．
作轴于，轴于，作于，连接，首先证明，，，，接着证明，≌，从而证明，然后证明根≌，从而求出，，，最后设，则，接着根据勾股定理求出，从而求得即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：延长交轴于点，过点作轴于点，如图，
轴，，，
轴．
，
．
，
．
．
在和中，
．
≌．
，．
四边形是菱形，，
．
设，则．
．
．
．
反比例函数的图象经过点，
．
，，，
四边形为矩形．
．
点在反比例函数的图象上，
．
．
，，
．
．
解得：．
．
故选：．
延长交轴于点，过点作轴于点，轴，，，可得轴；利用，可得≌，得到，；利用，四边形是菱形，可得设，则，由勾股定理可得，，可得点坐标为，所以由于为矩形，，可得点的坐标为，这样，；利用，列出关于的方程，求得的值，的值可求．
本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形，菱形的性质．利用点的坐标表示相应线段的长度和可以线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键．
过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值．
【解答】
解：如图，过点作轴于，
在正方形中，，，
，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：连接作轴于，轴于．
：：，的面积为，
，
设，则，
，
，
，
故选：．
由：：，的面积为，推出，设，则，根据，构建方程即可解决问题；
本题考查反比例函数系数的几何意义，三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
5.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及零指数幂的性质，注意是解题关键．首先利用零指数幂的性质整理一元二次方程，进而利用因式分解法解方程得出即可．注意：隐含条件，零指数幂的底数不等于．
【解答】
解：，
，
即，
解得：，，
当时，，故，
故选A．

6.【答案】
【解析】解：由实数，满足条件，，
可把，看成是方程的两个根，
，，
．
故选A．
由实数，满足条件，，可把，看成是方程的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．
本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把，看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
根据方程有实根得出，求出不等式的解集，结合二次根式的意义求得答案即可．
【解答】解：当时，变为，
此时方程有实数根；
当时，，
由题意知，，且，
且．
当时，关于的方程有实数根．
故选C．
8.【答案】
【解析】如图，过点作于点，交于点，延长交于点，
，，．
，∽，
，．
四边形是正方形，，，，四边形为矩形，
，
，，，，
．
∽，，，，
，故选A．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
作交于，根据三角形中位线定理得到，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【解答】
解：作交于，
是的中线，
，
，
，
，
，
：：，
故选A．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数系数的几何意义，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质有关知识，作于，于，作于，连接，根据等高的三角形的面积比等于底边的比，可得，由是等边三角形，且可得，，由可得，，根据∽可得，根据，可求点坐标，再根据∽可求点坐标
【解答】
解：如图，作于，于，作于，连接，
根据题意得：，
：：，
：：即，
为等边三角形且，
，且，
，
，
，，即．
，，
，
，
，，
∽，
，
．
点是反比例函数的图象在第一象限上的动点，
，
，，
，，
，且，
∽，
．
，，
且在第二象限，
故选C．
11.【答案】
【解析】解：当时，∽，如图，
平分，
，
，
，
，
，
同理，，
，
，
设，，
，
，，
，
，
；
当时，∽，
，，，
，
过作于，于，于，
平分，平分，
，
，
，四边形是正方形，
，
，
同理，
∽∽，
，
，，
，，
，
综上所述，若与相似，则线段的长为，
故选：．
当时，∽，如图，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，同理，，设，，根据勾股定理得到，根据题意列方程即可得到结论；当时，∽，由勾股定理得到，过作于，于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式得到，四边形是正方形，推出∽∽，求得，得到，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，三角函数的定义，角平分线的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：根据题意可知：，
∽，
，
点为线段的中点，，
，
设，
则，，
，
解得，
，，
，
．
故选：．
根据正方形的性质证明∽，设，则，，所以，解得，再根据图形可得，所以，进而可得结果．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．
13.【答案】
【解析】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为，
的纵坐标和的纵坐标相同为，
的横坐标和的横坐标相同为，
的纵坐标和的纵坐标相同为，
的横坐标和的横坐标相同为，
的纵坐标和的纵坐标相同为，
的横坐标和的横坐标相同为，
由上可知，，，，，，，个为一组依次循环，
，
，
故答案为：．
根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、，从而得到每次变化为一个循环组依次循环，用除以，根据商的情况确定出即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依次求出各点的坐标，观察出每次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
14.【答案】
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是交点为、与线段有交点，由此求解即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注意自变量的取值范围．
【解答】
解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为，
过点的反比例函数解析式为，
．
随着值的增大，反比例函数的图象必须和线段有交点才能满足题意，
设直线的解析式为，则
直线的直线解析式为，
，得
根据，得，
综上可知．
故答案为．
15.【答案】，或
【解析】
【分析】
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及方程根的求法．
利用根的判别式得出关于的式子，然后求出两根，利用倍数与约数求出的值．
【解答】
解：显然故原方程为关于的二次方程．
，
是完全平方式．
故
即，．
当是整数时，，；
当是整数时，，．
综上所述，，或．
16.【答案】；
．
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理等，解题关键是正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形．
过作于，证明∽，得出，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出、，即可进行解答；
过作于，过作于，根据等腰三角形性质结合已知条件和勾股定理分别求出和的长，再证明∽，，代入数据可计算出的长即为点上升的高度．
【解答】
解：过作于，
，
，
，
∽，
，
米，米，
米，
米，
，
米，
故答案为：；
过作于，过作于，则，
米，：：，
米，
米，
米，
，
∽，
，
即，
米，
故G点上升的高度为米．
故答案为：．
17.【答案】解：作轴于点，如图，
点的坐标，点坐标，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
点，
将点代入双曲线得，，
双曲线，
设直线的解析式为，把，代入得，
解得，
直线的解析式为，
连接，交于，
四边形是正方形，
垂直平分，即，
，代入反比例函数得，，
，
，，
，，
，
，
到直线的距离为；
存在满足条件的点，点，如图，
将点关于轴对称，对称点为，连接，，．
根据三角形三边关系可得，
延长交轴于点，当点在点时，的值最大，最大为．
设直线的解析式为，
将，代入得
解得
直线的解析式为，
当时，，点坐标．
【解析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，正方形的性质，运用待定系数法求函数解析式，三角形面积公式，三角形三边关系，对称中的坐标变化，全等三角形的判定和性质，两点间距离公式，解题关键综合运用上述知识点．
作轴于点，构造与全等，求出点坐标，进而求出点坐标，即可求出双曲线和直线的表达式．
连接，交于，先求出的面积，利用等面积法，分别以，为底，由面积公式求解．
将点关于轴对称，对称点为，连接，，，构建作差模型，利用三角形三边关系确定点位置，求出直线的解析式即可得出点坐标．
18.【答案】
【解析】解：当时，设，
根据表格中的数据，当时，，
，
解得：，
当时，设，
根据表格中的数据，当时，，
，
解得：，
，
，
综上所述与的函数关系式为：
；
当时，设与的函数关系式为，
将，；，代入得：
，
解得：，
当时，与的函数关系式为，
故答案为：；
存在，不变的值为，
由函数图像得：当时，设与的函数关系式为，
将，；，代入得：
，
解得：，
当时，与的函数关系式为，
当时，；
当时，；
当时，，
综上所述，在这周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变值为．
当时，，抛物线的对称轴为，
Ⅰ当时，在对称轴右侧随的增大而增大，
当时，
解得：，舍去；
当时，取最大值，最大值为，满足；
当时，周销售量的最小值为；当时，取最大值；
Ⅱ当时，，抛物线的对称轴为，
当时，取最小值，最小值为，满足；
当时，
解得：，舍去；
当时，周销售量取最小值为；当时，取最大值；
综上所述，当周利润总额的范围是时，对应周销售量的最小值是千套，最大值是千套．
通过待定系数法求函数关系式．
观察图象，分析函数图象性质，分段求解．
分析并理解题意，列出一元二次方程解出答案．
本题考查了待定系数法求函数关系式，二次函数图象的性质；一元二次方程的解法，熟练掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键．
19.【答案】解：把代入，得到，
反比例函数的解析式为．
在上，
，
由题意，解得，
一次函数的解析式为．
，，
，
当时，，
，
，
不合题意舍弃．
当时，，
，
．
当时，，
，
．
综上所述，或．
【解析】本题考查反比例函数综合题．一次函数的性质、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
利用待定系数法即可解决问题；
分三种情形讨论当时，可得当时，可得当时，可得分别解方程即可解决问题；
20.【答案】解：关于的一元二次方程有实数根，
，即，
解得．
由根与系数的关系可得，，
，
，
，解得，或，
，
舍去，
．
【解析】根据方程有实数根得出，解之可得．
利用根与系数的关系可用表示出和的值，根据条件可得到关于的方程，可求得的值，注意利用根的判别式进行取舍．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
21.【答案】解：设平均增长率为，根据题意得：
，
解得：或舍，
四月份的销量为：辆，
答：四月份的销量为辆．
设购进型车辆，则购进型车辆，
根据题意得：，
解得：，
利润，
，
随着的增大而增大，
当时，不是整数，故不符合题意，
，此时辆．
答：为使利润最大，该商城应购进辆型车和辆型车．

【解析】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用，解题关键是根据题意列出方程或不等式，这也是本题的难点．
首先根据月份和月份的销售量求得月平均增长率，然后求得月份的销量即可；
设型车辆，根据“型车不少于型车的倍，但不超过型车的倍”列出不等式组，求出的取值范围；然后求出利润的表达式，根据一次函数的性质求解即可．
22.【答案】解：后，的面积为；
后，的长度等于；
不能．
理由：设，整理，得，
方程没有实数根．
的面积不能等于．
【解析】见答案
23.【答案】解：如图，过作的延长线于，连接并延长交的延长线于，
米，与地面成角，
米，根据勾股定理得，米，
米杆的影长为米，
，
米，
米，
，
米．
答：电线杆的高度为．
【解析】过作的延长线于，连接并延长交的延长线于，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，再根据勾股定理求出，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出，再求出，再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出的影长若全在水平地面上的长是解题的关键．
24.【答案】【问题】证明：如图
，
，，
，
，
，
是的中线，
，
≌，
．
或证明四边形是平行四边形，从而得到
【探究】四边形是平行四边形．
方法一：如图，
证明：过点作交直线于点，
，
四边形是平行四边形，
，
由问题结论可得，
，
四边形是平行四边形．
方法二：如图，
证明：延长交直线于点，
，
，，
，
，
，
是的中线，，
，
≌，
，
四边形是平行四边形．
【应用】如图，延长交于．
由上面可知，四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
【解析】【问题】只要证明≌即可；
【探究】如图，四边形是平行四边形，方法一，过点作交直线于点，只要证明四边形是平行四边形，推出，由问题结论可得，推出，推出四边形是平行四边形；方法二，如图中，延长交直线于点，只要证明≌，即可解决问题；
【应用】如图，延长交于想办法求出的面积即可解决问题；
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
25.【答案】证明：是重心，
，
又，
，，
则；
解：中结论成立，理由如下：
如图，过点作交的延长线于点，、的延长线相交于点，
则∽，∽，
，，
，
又，
而是的中点，即，
，
，
又，
，
故结论成立；
解：中结论不成立，理由如下：
当点与点重合时，为中点，，
点在的延长线上时，，
，则，
同理：当点在的延长线上时，，
结论不成立．
【解析】根据三角形重心定理和平行线分线段成比例解答即可；
过点作交的延长线于点，、的延长线相交于点，得出∽，∽，得出比例式解答即可；
分两种情况：当点与点重合时，为中点，；点在的延长线上时，，得出，则，同理：当点在的延长线上时，，即可得出结论．
此题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心定理、平行线分线段成比例定理等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的重心定理和平行线分线段成比例定理，证明三角形相似是解题的关键．
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