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专题09：解一元一次方程
一、单选题
1．关于x的方程的解是的解的2倍，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值．
【详解】解：方程4x-2m=3x-1，
解得：x=2m-1，
方程x=2x-3m，
解得：x=3m，
根据题意得：2m-1=6m，
解得：m=-．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
2．在解关于y的方程时，小明在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把y=4代入方程2（2y-1）=3（y+a）-1得出2×（8-1）=3（4+a）-1，求出方程的解是a=1，把a=1代入方程得出，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】解：∵在解关于y的方程时，小明在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为y=4，
∴把y=4代入方程2（2y-1）=3（y+a）-1，得2×（8-1）=3（4+a）-1，
解得：a=1，
即方程为，
去分母得2（2y-1）=3（y+1）-6，
去括号得4y-2=3y+3-6，
移项得4y-3y=3-6+2，
解得y=-1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
3．若关于的方程的解是，则的值为（ ）
A．-3 B．-5 C．-13 D．5
【答案】A
【分析】把代入方程即可得到一个关于m的方程，解方程即可求解．
【详解】解∶把代入方程得∶
，
解得m=-3．
故选∶ A．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是解题的关键．
4．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用整体思想，得到方程中，有，即可答案．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为，
∴关于y的一元一次方程中，有，
∴；
即方程的解为；
故选：D
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一元一次方程是解此题的关键．
5．在解关于x的方程时，小冉在去分母的过程中，右边的“-2”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得x=2是方程4x-2=3x+3a-2的解，代入计算即可．
【详解】∵
∴去分母，-2”漏乘，得
4x-2=3x+3a-2，
∴是该方程的解，
∴8-2=6+3a-2，
解得a=，
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，正确理解解得意义，熟练掌握解方程是解题的关键．
6．已知关于的方程的解为正整数，则所能取得正整数的值为（ ）
A．2 B．1或3 C．3 D．2或3
【答案】B
【分析】解方程2x+k=5，得到含有k的x的值，根据“方程的解为正整数”，得到几个关于k的一元一次方程，解之，取正整数k即可．
【详解】2x+k=5，
移项得：2x=5-k，
系数化为1得：x= ，
∵方程2x+k=5的解为正整数，
∴5-k为2的正整数倍，
5-k=2，5-k=4，5-k=6，5-k=8…，
解得：k=3，k=1，k=-1，k=-3…，
故选B．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
7．若方程与关于x的方程的解相同，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程计算即可求出k的值．
【详解】方程2x+1=-1，
解得：x=-1，
代入方程得：1+2+2k=2，
解得：k=-．
故选：B．
【点睛】此题考查解一元一次方程——同解方程问题，解决问题的关键是求出一个方程的解，代入另一个方程中，求出待定字母的值．
8．下边的框图表示了琳琳同学解方程的过程，已知这个过程有错误，则开始出现错误的步骤是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第五步
【答案】C
【分析】根据去分母解一元一次方程的步骤计算判断即可．
【详解】解：，
去分母得2（2x-1）+6=3(3x+1)
去括号得4x-2+6=9x+3
移项得4x-9x=3+2-6
合并同类项得-5x=-1，
系数化为1得
∴第三步出现了错误，
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程——去分母，正确掌握解一元一次方程的顺序及法则是解题的关键．
9．若|x|＋|x﹣4|＝8，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据x的取值范围x≤0、0＜x≤4、x＞4三种情况进行讨论，根据绝对值的意义进行化简即可．
【详解】解：当x≤0时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：-x+4-x=8，解得：x=-2；
当0＜x≤4时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：x+4-x=8，解得：x无解；
当x＞4时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：x+x-4=8，解得：x=6；
所以x=-2或6，
故选：C
【点睛】本题考查绝对值及解方程，理解绝对值的意义是正确解答的前提，根据绝对值的意义进行化简是解决问题的关键．
10．如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，利用角平分线的性质得，再根据得，所以求解即可．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∵OB，OC平分和，
∴，即，解之得：，
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，解一元一次方程，解题的关键是找出等量关系进行求解．
二、填空题
11．已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是x＝2，则a＋b＝________．
【答案】﹣3
【分析】把x＝2代入方程，得，可得，再根据题意可得4＋b＝0，2a﹣2＝0，进而可得a、b的值，从而可得答案．
【详解】解：把x＝2代入方程，得：
，
，
4k＋2a＝6﹣4﹣bk，
4k＋bk＋2a﹣2＝0，
，
∵无论k为何值，它的解总是1，
∴4＋b＝0，2a﹣2＝0，
解得：b＝﹣4，a＝1．
则a＋b＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．
12．一个正数的平方根分别是和2x+5，则这个正数是______
【答案】
【分析】根据题意，结合平方根的性质列出方程，求解方程即可得到结论．
【详解】解：一个正数的平方根有两个，且互为相反数，
由一个正数的平方根分别是和2x+5，可知，
即，解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平方根的性质，根据题意列出方程求解是解决问题的关键．
13．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解___________．
【答案】2
【分析】根据x的一元一次方程的解为，
得到，根据题意，得，
从而得到即x=y+1，代入计算即可．
【详解】∵x的一元一次方程的解为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴x=y+1=3，
解得y=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程两边相等的未知数的值，正确理解解得意义是解题的关键．
14．若关于x的方程的解满足方程，则m的值是________．
【答案】或
【分析】根据解出x的值，代入，即可求解
【详解】解，得
，
，
或，
代入，得
，
或，
故答案为或．
【点睛】本题考查解绝对值方程与根据解的情况求解参数，属于基础题．
15．已知关于的一元二次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______．
【答案】2022
【分析】将进行变形，再根据换元法得出，进而解答即可．
【详解】，
，即，
关于的一元一次方程的解为，
关于的一元一次方程程的解，，
解得：，
故答案为：2022．
【点睛】此题考查一元一次方程的解，关键是根据换元法解答．
16．已知m为非负整数，若关于x的方程mx=2-x的解为整数，则m的值为________．
【答案】0或1##1或0
【分析】把方程移项合并同类项， x系数化为1，表示出解，根据解为整数，确定出m的非负整数值即可．
【详解】解∶mx=2-x
(m+1 ) x=2，
当m+1≠0，即m≠-1时，解得∶，
由x为整数，得到m+1=或m+1=，
解得∶ m=0或m=-2或m= l或m=-3，
∴m的非负整数值为0和1，
故答案为∶ 0和1．
【点睛】此题考查了求解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，正确理解非负整数是解题的关键．
17．一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，则C点表示的数是______．
【答案】
【分析】设点C所表示的数为x，则AC＝x+16，BC＝9﹣x，根据AC＝A′C，列出关于x的方程，解出方程即可．
【详解】解：设点C所表示的数为x，则AC＝x+16，BC＝9﹣x，
∵A′B＝3，B点表示的数为9，
∴点A′表示的数为9+3＝12，
根据折叠得，AC＝A′C
∴x+16＝12﹣x，
解得，x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离问题，能用两点间的坐标正确地表示出两点间的距离是解题的关键．
18．定义一种新运算：，例如：，．若，则b的值是______．
【答案】9或##或9
【分析】根据新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵
∴①当时，则有，解得，；
②当时，，解得，
综上所述，b的值是9或-9，
故答案为：9或．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义，会解一元一次方程．
19．已知关于x的方程的解为，则a的值为______；嘉琪在解该方程去分母时等式右边的-1忘记乘6，则嘉琪解得方程的解为______．
【答案】 2 -5
【分析】把x=-10代入方程求出a的值；再根据嘉琪的方法求出x的值即可．
【详解】解：把x=-10代入方程，得：
解得，a=2
当a=2时，方程为
根据嘉琪的方法得：
解得，
故答案为：2；-5
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解答本题的关键．
20．已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则_________．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可．
【详解】解：方程两边都乘6，去分母得2（kx-a）=6-3（2x+bk），
∴2kx-2a=6-6x-3bk，
整理得（2x+3b）k+6x=2a+6，
∵无论k为何值，方程的解总是2，
∴2a+6=6×2，2×2+3b=0，
解得a=3，，
∴．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键．
三、解答题
21．解方程：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)x=1
(2)x=
(3)y=
(4)x=-1
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；
（3）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；
（4）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
（1）
解：
6-3x=4-x
-3x+x=4-6
-2x=-2
x=1；
（2）
解：
3（x+1）-6=2（3x-2）
3x+3-6=6x-4
3x-6x=-4+6-3
-3x=-1
x=；
（3）
解：
-3y-5y=5-9
-8y=-4
y=；
（4）
解：
3（3x-1）-12=2（5x-7）
9x-3-12=10x-14
9x-10x=-14+3+12
-x=1
x=-1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
22．在数学课上，冰冰在解方程时，因为粗心，去分母时方程左边的1没有乘以10，从而求得的方程的解为x＝－6，试求的值，并解出原方程正确的解．
【答案】的值为1，原方程正确的解为x=3
【分析】先将错误解法求得的解x=6代入错误方程中求得a值，再把a代入原方程中，解方程求出正确的解即可．
【详解】解：把x=-6代入2(2x-1)+1=5(x+a)中，解得a=1，
把a=1代入中得，
去分母，得2（2x-1）+10=5（x+1），
去括号，得4x-2+10=5x+5，
移项、合并同类项，得-x=－3，
系数化为1，得x=3，
答：的值为1，原方程正确的解为x=3．
【点睛】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，理解一元一次方程的解，并熟练掌握一元一次方程的解法步骤是解答的关键．
23．关于x的一元一次方程，其中m是正整数．
(1)当时，求方程的解；
(2)若方程有正整数解，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把m=2代入方程，求解即可；
（2）把m看做常数，求解方程，然后根据方程解题正整数，m也是正整数求解即可．
（1）
解：当时，原方程即为．
去分母，得．
移项，合并同类项，得．
系数化为1，得．
当时，方程的解是．
（2）
解：去分母，得．
移项，合并同类项，得．
系数化为1，得．
是正整数，方程有正整数解，
．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．
24．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
【答案】(1)
(2)m＝﹣3，n＝﹣
(3)-9
【分析】（1 ）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；
（2 ）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再结合x＝n，即可求出m，n的值；
（ 3）根据“恰解方程”的定义得出mn+n＝，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n化简后代入计算即可．
（1）
解：（1 ）解方程3x+k＝0得：
x＝﹣，
∵3x+k＝0是“恰解方程”，
∴x＝3﹣k，
∴﹣＝3﹣k，
解得：k＝；
（2）
解：解方程﹣2x＝mn+n得：
x＝﹣（mn+n），
∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝﹣2+mn+n，
∴﹣（mn+n）＝﹣2+mn+n，
∴3mn+3n＝4，
∵x＝n，
∴﹣2+mn+n＝n，
∴mn＝2，
∴3×2+3n＝4，
解得：n＝﹣，
把n＝﹣代入mn＝2得：m×（﹣）＝2，
解得：m＝﹣3；
（3）
解：解方程3x＝mn+n得：
x＝，
∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝3+mn+n，
∴＝3+mn+n，
∴mn+n＝，
∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n
＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n
＝2mn+2n
＝2（mn+n）
＝2×（）
＝﹣9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解“恰解方程”的定义是解题的关键．
25．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则_____；
(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则_______；
(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
【答案】(1)1
(2)5
(3)，
【分析】（1）根据“立信方程”的定义解答即可；
（2）根据x2+3x-4=0，可得2x2+6x =8，再代入，即可求解；
（3）先求出方程的解，可得，再由x的值为整数，可得为整数，从而得到a的值，进而得到x的值，同理求出方程的解，再利用“立信方程”以及a和k为正整数，即可求解．
（1）
解：2x+1=1，解得x=0；
把x=0代入1-2（x-m）=3，得：
1-2（0-m）=3，即1+2m=3，
解得：m=1．
故答案为：1．
（2）
解： ∵x2+3x-4=0，
∴x2+3x=4，
∴2（x2+3x）= 2x2+6x =8，
∵关于x的方程的解也是“立信方程”的解，
∴8-3-n=0，解得：n=5．
故答案为：5．
（3）
解：∵a为正整数，则a≠0，
∵，
∴，
∵该方程为“立信方程”，
∴x的值为整数，
∴为整数，
∴a可取1，4，2，-1，-4，-2，
∴x=-2，16，-1，-4，38，7，
同理9x-3=kx+14，
∴（9-k）x=17，
根据题意得：9-k≠0，
∴，
∴9-k可取8，-8，10，26，
∴此时x=17，1，-17，-1，
∴两方程相同的解为x=-1，
此时对应的a=2，k=26，
∴符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键．
26．根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5
解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5
当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝
当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣
故，方程|2x+4|＝5的解为x＝或x＝﹣
(1)解方程：|3x﹣2|＝4；
(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；
(3)在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a b的最大值是 （直接写出结果）．
【答案】(1)x=2或x=
(2)12或20
(3)100
【分析】（1）根据题干步骤解方程|3x﹣2|＝4即可；
（2）将a+b看作一个整体，根据题干步骤解方程|a+b+4|＝16即可求解；
（3）再（2）的条件下，根据有理数的乘法法则即可求解；
（1）
解：方程|3x﹣2|=4可化为：3x﹣2=4或3x﹣2=-4
当3x﹣2＝4时，则有：3x=6，所以x=2
当3x﹣2=-4时，则有：3x＝﹣2；所以x=
故，方程|3x﹣2|=4的解为x=2或x=
（2）
方程|a+b+4|＝16可化为：a+b+4＝16或a+b+4=-16
当a+b+4＝16时，则有：a+b＝12，所以|a+b|＝12
当a+b+4=-16时，则有：a+b=-20；所以|a+b|＝20
故，方程|a+b|的值为12或20
（3）
在（2）的条件下，若a，b都是整数，a+b＝12或a+b=-20；
根据有理数乘法法则可知：当a=-10，b=-10时，
取最大值，最大值为100；
故答案为：100．
【点睛】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程、等式的性质，解决本题的关键是理解绝对值的含义．
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专题09：解一元一次方程
一、单选题
1．关于x的方程的解是的解的2倍，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在解关于y的方程时，小明在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于的方程的解是，则的值为（ ）
A．-3 B．-5 C．-13 D．5
4．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
5．在解关于x的方程时，小冉在去分母的过程中，右边的“-2”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于的方程的解为正整数，则所能取得正整数的值为（ ）
A．2 B．1或3 C．3 D．2或3
7．若方程与关于x的方程的解相同，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．
8．下边的框图表示了琳琳同学解方程的过程，已知这个过程有错误，则开始出现错误的步骤是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第五步
9．若|x|＋|x﹣4|＝8，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不对
10．如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是x＝2，则a＋b＝________．
12．一个正数的平方根分别是和2x+5，则这个正数是______
13．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解___________．
14．若关于x的方程的解满足方程，则m的值是________．
15．已知关于的一元二次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______．
16．已知m为非负整数，若关于x的方程mx=2-x的解为整数，则m的值为________．
17．一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，则C点表示的数是______．
18．定义一种新运算：，例如：，．若，则b的值是______．
19．已知关于x的方程的解为，则a的值为______；嘉琪在解该方程去分母时等式右边的-1忘记乘6，则嘉琪解得方程的解为______．
20．已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则_________．
三、解答题
21．解方程：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
22．在数学课上，冰冰在解方程时，因为粗心，去分母时方程左边的1没有乘以10，从而求得的方程的解为x＝－6，试求的值，并解出原方程正确的解．
23．关于x的一元一次方程，其中m是正整数．
(1)当时，求方程的解；
(2)若方程有正整数解，求m的值．
24．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
25．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则_____；
(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则_______；
(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
26．根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5
解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5
当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝
当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣
故，方程|2x+4|＝5的解为x＝或x＝﹣
(1)解方程：|3x﹣2|＝4；
(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；
(3)在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a b的最大值是 （直接写出结果）．
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