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专题10：实际问题与一元一次方程
一、单选题
1．一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以40km/h的速度前进，突然，6号队员以50km/h的速度独自行进，行进15km后掉转车头，仍以50km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合．设6号队员从离队开始到与队员重新会合经过了xh，则x为（ ）
A．1.5 B．0.75 C． D．
【答案】C
【分析】整个运动过程可看成二者相对运动了15×2（km），根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：50x＋40x＝15×2，即50x＋40x＝30，
解得：x，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．某项工程由甲队单独做需要20天完成，由乙队单独做只需甲队的一半时间就能完成．设两队合作需要x天完成，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用工作效率乘工作时间等于工作量列代数式，甲队工作量加乙队工作量等于1列方程．
【详解】两队合作需要x天完成，由题意得，，即（）x=1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，甲乙两队的工作量与总工作量的关系．
3．小江去商店购买签字笔和笔记本（其中签字笔和笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱还缺65元 B．他身上的钱会剩下65元
C．他身上的钱还缺115元 D．他身上的钱会剩下115元
【答案】B
【分析】设签字笔的单价为x元，则笔记本的单价为x元，根据小江身上的钱不变得出方程20x+15x﹣25＝19x+12x+15，整理得x＝10，由小江购买17支签字笔和9本笔记本的钱为17x+9x，得出19x+12x +15﹣（17x+9x）＝5x+15，代入计算即可．
【详解】解：设签字笔的单价为x元，则笔记本的单价为x元，
根据题意得：20x+15x﹣25＝19x+12x+15，
整理得：4x＝40，
解得：x＝10，
∵小江购买17支签字笔和9本笔记本的钱为17x+9x＝26x，
∴19x+12 x +15﹣26x
＝5x+15
∵x＝10，
∴5x+15＝5×10+15
＝65，
即小江身上的钱会剩下65元；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，得出方程是解题的关键．
4．某校手工社团30名学生制作纸飞机模型，每人每小时可做20个机身或60个机翼，一个飞机模型要一个机身配两个机翼，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名学生做机身，多少名学生做机翼？设分配x名学生做机身，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设分配x名学生做机身，根据一个飞机模型要一个机身配两个机翼，则飞机模型的个数乘以2等于机翼的个数，据此列出一元一次方程即可求解．
【详解】设分配x名学生做机身，则可列方程为,
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
5．如图，在2022年2月的日历表中用优美的“ ”形框住五个数，框出1，3，8，10，16五个数，它们的和为38，移动“ ”的位置又框出五个数，已知这五个数的和是53，则它们中最小两个数的和是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．19
【答案】B
【分析】设最小的数为x，则其余四个数分别为，求和即可求得．
【详解】最小的数为x，则其余四个数分别为，
∵这五个数的和为53，
∴，
∴，
∴最小两个数为：，
∴最小两个数和为：．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，能利用图形圈出5个数的关系列出方程是解题的关键．
6．包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120张，或长方形铁片80张．将圆形铁片2张和长方形铁片1张可配套做成一个密封圆桶．问如何安排工人生产圆形铁片或长方形铁片，能合理的将铁片配套？设安排人生产圆形铁片，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设安排x人生产圆形铁片，则安排（42-x）人生产长方形铁片，根据生产的圆形铁片的数量是长方形铁片数量的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设安排x人生产圆形铁片，则安排（42-x）人生产长方形铁片，
依题意得：120x=2×80（42-x）．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，（a﹣10）2+|b+6|＝0．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．若点P、Q同时出发，当P、Q两点相距4个单位长度时， t的值为（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．1或
【答案】C
【分析】根据（a﹣10）2+|b+6|＝0，得a＝10，b＝﹣6，由已知得P表示的数是10﹣8t，Q表示的数是﹣6﹣4t，而P、Q两点相距4个单位长度，故可列方程|（10﹣8t）﹣（﹣6﹣4t）|＝4，即可解得答案．
【详解】解：∵（a﹣10）2+|b+6|＝0，
∴a﹣10＝0，b+6＝8，
∴a＝10，b＝﹣6，
∵动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P表示的数是10﹣8t，Q表示的数是﹣6﹣6t，
∴|（10﹣8t）﹣（﹣6﹣6t）|＝4，即|16﹣4t|＝6，
解得t＝3或t＝5，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示P、Q表示的数，再列方程解决问题．
8．已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，原点为O，现A点以2m/s的速度向左运动，B点以1m/s的速度向左运动，若A，B两点同时出发，当OA：OB＝1：2时，用时为（ ）
A．2s B．s C．s或1s D．s或2s
【答案】C
【分析】设A，B两点同时出发运动的时间为ts，分类讨论①当A点在O点右侧时和②当A点在O点左侧时，分别用t表示出OA和OB，再列出等式，解出t即可．
【详解】设A，B两点同时出发运动的时间为ts，
分类讨论①当A点在O点右侧时，即时，
此时，，
∵OA：OB=1：2
∴：=1：2
解得：，符合题意；
②当A点在O点左侧时，即，
此时，，
∵OA：OB=1：2
∴：=1：2
解得：，符合题意．
综上可知或时，OA：OB=1：2
故选C．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题，利用分类讨论的思想是解答本题的关键．
9．学校需制作若干块标志牌，由一名工人做要50h完成．现计划由一部分工人先做4h，然后增加5人与他们一起做6h完成这项工作．假设这些工人的工作效率一样，具体应先安排多少人工作？小华的解法如下：设先安排x人做4h．所列方程为，其中“”表示的意思是“x人先做4h完成的工作量”，“”表示的意思是“增加5人后人再做6小时完成的工作量”．小军所列的方程如下：，其中，“”表示的含义是（ ）
A．x人先做4h完成的工作量．
B．先工作的x人前4h和后6h一共完成的工作量．
C．增加5人后，新增加的5人完成的工作量．
D．增加5人后，人再做6h完成的工作量．
【答案】B
【分析】根据x人先做4h完成的工作量+然后增加5人与他们一起做6h的工作量=1，解答即可．
【详解】解：∵设安排x人先做4h，然后增加5人与他们一起做6h，完成这项工作．
∴可得先工作的x人共做了(4+6)小时，
∴列式为：先工作的x人共做了(4+6)小时的工作量+后来5人6小时的工作量=1，而x人1小时的工作量为，
∴x人(4+6)小时的工作量为，
∴表示先工作的x人前4h和后6h一共完成的工作量，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，是一个工作效率问题，理解一个人做要50小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这一个关系是解题的关键．
10．某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利60%，另一个亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不赔不赚 B．赚了32元 C．赔了8元 D．赚了8元
【答案】D
【分析】要计算赔赚，就要分别求出两个计算器的进价，再与售价作比较即可．因此就要先设出未知数，根据进价+利润=售价，利用题中的等量关系列方程求解．
【详解】解：设盈利60%的进价为x元，
则：x+60%x=64，
解得：x=40，
再设亏损20%的进价为y元，则
y-20%y=64，
解得：y=80，
所以总进价是120元，总售价是128元，售价＞进价，
所以赚了8元．
故选：D．
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
11．在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽AE．若AE＝x（cm），依题意可得方程（ ）
A． B．6+2x＝14﹣x
C．14﹣3x＝6 D．6+2x＝x+（14﹣3x）
【答案】D
【分析】根据AE＝x（cm），求出AN，MD，AE，根据小长方形的长相等求出MR，利用矩形ABCD的宽AB=MR+AE列方程即可
【详解】解：标字母如图所示：
设AE=xcm，MD=3xcm，则AM=（14-3x）cm，
∵AB=AN+6=6+2x，MR=AM=（14-3x）cm，
∴AB=AE+MR，
即6+2x=x+（14-3x）
故选D．
【点睛】主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，长方形的性质，要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．
12．如果四个有理数的和的是4，其中三个数是，，9．则第四个数是（ ）
A． B．15 C． D．21
【答案】D
【分析】设第四个数是x，根据题意列方程解答．
【详解】解：设第四个数是x，
，
解得x=21，
故选：D．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用：数字问题，正确理解各数之间的关系列得方程是解题的关键．
二、填空题
13．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣2与2．点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点Q从B点出发，以每秒1个单位长度沿数轴匀速运动．设P、Q两点的运动时间为t秒，当PQAB时，t＝________．
【答案】6或2或
【分析】分情况：当点Q向右运动时，t秒后，点P表示的数是﹣2＋2t，点Q表示的数是2＋t；当点Q向左运动时，t秒后，点P表示的数是﹣2＋2t，点Q表示的数是2﹣t．再根据题意分别列方程可得解．
【详解】解：当点Q向右运动时，t秒后，点P表示的数是﹣2＋2t，点Q表示的数是2＋t，
由题意得|（﹣2＋2t）﹣（2＋t）|（2＋2），
解得t＝6或2；
当点Q向左运动时，t秒后，点P表示的数是﹣2＋2t，点Q表示的数是2﹣t，
由题意得|（﹣2＋2t）﹣（2﹣t）|（2＋2），
解得t或2；
综上，当PQAB时，t＝6或2或．
故答案为：6或2或．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据题意分别用含t的式子表示出点P和点Q是解题关键．
14．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的项点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边________上．
【答案】DC
【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在AD边的中点处；
②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在DC边的中点处；
③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在CB边的中点处；
④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在BA边的中点处；
⑤第五次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在AD边的中点处；
∴，
∴第2022次相遇在边DC上，
故答案为：DC．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，是行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．
15．小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000m的学校上学．一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书．于是，爸爸立即以180m/min的速度去追赶小明，并且在途中追上了他．则爸爸追上小明用了___________min．
【答案】4
【分析】设小明爸爸追上小明用了x min，根据速度差×时间＝路程差，列出方程求解即可．
【详解】解：设爸爸追上小明用了x min，
依题意有（180 80）x＝80×5，
解得x＝4．
即：爸爸追上小明用了4min长时间．
故答案是：4．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
16．用一根80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm，则围成长方形的面积为______．
【答案】375
【分析】设长方形的长为xcm，则宽为（x-10）cm，然后运用长方形的周长求得x，进而求得长方形的长和宽，最后根据长方形的面积公式计算即可．
【详解】解：设长方形的长为x，则宽为x-10
由题意得：2（x+x-10）=80，解得x=25
则长方形的宽为25-10=15
所以围成长方形的面积为15×25=375．
故答案为：375．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程、求得长方形的长和宽是解答本题的关键．
17．某运输公司要将300吨的货物运往某地，现有A、B两种型号的货车可调用，已知A型货车每辆可装货物20吨，B型货车每辆可装货物15吨．在每辆汽车不超载的情况下，要把这300吨货物一次性装运完成，并且A型货车确定要用7辆，则至少调用B型货车______辆．
【答案】11
【分析】设调用B型汽车的辆数为x，根据“7辆A汽车的装货物的吨数+B汽车装货物的吨数≥300吨”列出不等式，求解即可．
【详解】解：设调用B型汽车的辆数为x，由题意得：
7×20＋15x≥300
解得：x≥，
因为x取整数，所以至少应该调用B型汽车11辆．
故答案为：11．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等式关系，本题的不等式关系为：7辆A汽车的装货物的吨数+B汽车装货物的吨数≥300吨．
18．今年端午节前某超市分两次购进蛋黄、鲜肉、腊肉三种馅的粽子，第一次购进三种粽子数量之比为 3∶ 2∶ 1．根据销量，超市调整进货方案， 第一次与第二次购进蛋黄粽数量之比为 3∶ 4，且第二次购进蛋黄粽数量为第二次购进总量的 ．为使两次购进鲜肉粽和腊肉粽数量之比为 ，则第二次购进鲜肉粽和腊肉粽数量之比为__________．
【答案】
【分析】设第一次购进蛋黄粽子3x个，则购进鲜肉粽子2x个，腊肉粽子x个，第二次购进蛋黄粽子4x个，求出第二次的购进总量为9x个，然后设第二次购进鲜肉粽子mx个，则购进腊肉粽子（5－m）x个，再根据两次购进鲜肉粽和腊肉粽数量之比为 列式求出m的值，进而得到答案．
【详解】解：设第一次购进蛋黄粽子3x个，则购进鲜肉粽子2x个，腊肉粽子x个，第二次购进蛋黄粽子4x个，
∵第二次购进蛋黄粽子数量为第二次购进总量的，
∴第二次的购进总量为4x÷＝9x个，
∴第二次购进鲜肉粽子和腊肉粽子共5x个，
设第二次购进鲜肉粽子mx个，则购进腊肉粽子（5－m）x个，
由题意得：，
解得：，
∴5－m＝，
∴第二次购进鲜肉粽和腊肉粽数量之比为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，能够根据题意得出各数据之间的关系并正确列出方程是解题的关键．
19．已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．
【答案】200
【分析】设这列火车的长为x米，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设这列火车的长为x米，
根据题意得， ，
解得，
∴这列火车的长为200米．
故答案为：200
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20．如图，用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验：在木杆中间栓绳，将木杆吊起来并使其左右平衡，在木杆右端挂一个重物，支点左边挂个重物，随重物个数增加，需要不断调整左边重物到支点的距离来保持平衡．大量试验，记录左右平衡时支点到木杆左右两边挂重物处的距离与．
实验次数 右 左 acm bcm n与a之间的关系
第一1次 1 1 12cm 12cm 1×12=12
第2次 1 2 6cm 12cm 2×6=12
第3次 1 3 4cm 12cm 3×4=12
…
设木杆长为cm，支点在木杆中点处，支点到木杆左边挂重物处的距离为cm，把，作为已知数，列出关于的一元一次方程：______________．
【答案】
【分析】根据杠杆平衡的条件列出方程即可．
【详解】利用结合杠杆平衡的条件可得，
故答案为：.
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是杠杆平衡的条件．
21．点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+5|+（b﹣3）2＝0．点P在数轴上，且满足AP＝2PB，则点P对应的数为 _____．
【答案】或##或
【详解】根据|a+5|+（b﹣3）2＝0，可以先求出a、b的值，然后根据AP＝2PB，利用分类讨论的方法，列出相应的方程，然后求解．
解：∵|a+5|+（b﹣3）2＝0，
∴a+5＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣5，b＝3，
∴点A表示的数为﹣5，点B表示的数为3，
设点P表示的数为x，
分三种情况讨论：
①当点P在点A和点B之间时，
∵AP＝2PB，
∴x﹣（﹣5）＝2（3﹣x），
解得x＝；
②当点P在点B的右侧时，
∵AP＝2PB，
∴x﹣（﹣5）＝2（x﹣3），
解得x＝11；
③当点P在点A的左侧时，
（﹣5）﹣x＝2（3﹣x），
解得x＝11（不合题意，舍去）；
综上所述，点P对应的数为或11，
故答案为：或11．
【点睛】本题考查了一元一次方程的运用，数轴以及非负性的性质，解题关键在于明确题意，列出相应方程，利用分类讨论的方法来解答
22．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1与3．点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点Q从B点出发，以每秒1个单位长度沿数轴匀速运动．设P、Q两点的运动时间为t秒，当PQ＝AB时，t＝_____．
【答案】2或6或
【分析】先表示出运动t秒时，P、Q两点表示的数，再根据PQ＝AB列方程求解即可．
【详解】解：①Q点向右运动
t秒后，点P表示的数为-1+2t，点Q表示的数为3+t
解得或6
②Q点向左运动
t秒后，点P表示的数为-1+2t，点Q表示的数为3-t
解得或
当t为2或6或，PQ＝AB
故答案为：2或6或．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目的条件找出合适的等量关系列出方程．
23．已知点、在数轴上，点表示的数为-5，点表示的数为15.动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向匀速移动，则点移动__________秒后，．
【答案】5或10
【分析】分两种情况讨论，当点P在点B的左侧或点P在点B的右侧，再根据数轴上两点间的距离列方程解题．
【详解】解：设t秒后，，此时点P表示的数为：-5+3t
分两种情况讨论，
①当点P在点B的左侧时，
；
②点P在点B的右侧，
综上所述，当或时，，
故答案为：5或10．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离等知识，涉及一元一次方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
24．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为30，点M以每6个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过________秒，点M、点N分别到点B的距离相等．
【答案】
【分析】设时间为秒，表示出点、点所表示的数，进而分情况表示他们到点B的距离，列方程求解即可．
【详解】解：设经过秒，点、点分别到点B的距离相等，则点所表示的数为，点所表示的数为，
①当点B是的中点时，有，
解得：，
②当点与点重合时，有，
解得：，
因此，或，
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了一元一方程的应用，数轴上的动点问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
三、解答题
25．某种圆珠笔的售价是每支2元，甲、乙两家文具店均有促销活动：甲文具店全部九折，乙文具店20支及以下不打折，超过20支的部分打八折．设小明需要购买的圆珠笔的数量为x，根据题意回答下列问题：
(1)若购买超过20支的圆珠笔，则在甲文具店需要花费 元，在乙文具店需要花费 元．（用含x的代数式表示）
(2)当x＝25时，选择哪家文具店更优惠？当x＝50呢？
(3)随着x的变化，试说明选择哪家文具店更优惠．
【答案】(1)1.8x；1.6x+8；
(2)x=25时，选则甲文具店；x=50时，选项乙文具店；
(3)当x=40时，甲乙两家文具店都一样；当x>40时，选择乙文具店更优惠；当0【分析】（1）分别根据甲乙的优惠方案列式计算即可；
（2）把分别代入（1）中的代数式，再比较各自费用的高低，从而可得结论.
（3）根据题意得出当甲乙两个店优惠一样时得圆珠笔数量，然后结合（2）中即可得出结论.
（1）
解：设小明需要购买的圆珠笔的数量为x，
甲文具店全部九折；
购买的花费为：元，
乙文具店20支及以内不打折，比20支多的部分打八折，
购买的花费为：元，
故答案为：；．
（2）
当时，甲文具店：（元）；
乙文具店：（元）．
因为，
所以选择甲文具店更优惠．
当时，甲文具店：（元）；
乙文具店：（元）．
因为，
所以选择乙文具店更优惠．
（3）
根据题意得：1.8x=1.6x+8，
解得：x=40，
∴当x=40时，甲乙两家文具店都一样；
由（2）得当x>40时，选则乙文具店更优惠；
当0【点睛】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，最优化选择问题，掌握“利用代数式的值作出最优化选择”是解题的关键.
26．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如下表：（利润=售价-进价）
型号 进价（元/只） 预售价（元/只）
甲型号 20 25
乙型号 35 40
(1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？
(2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的甲型号节能灯全部售出，购进的乙型号节能灯部分售出后，决定将乙型号节能灯打九折销售，全部售完后，两种节能灯共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只？
【答案】(1)购进甲型号的节能灯60只，购进乙型号的节能灯40只
(2)10只
【分析】（1）设该商店购进甲种型号的节能灯只，则可以购进乙种型号的节能灯只，根据“购进100只节能灯的进货款恰好为2600元”列方程，解方程即可求解；
（2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，由两种节能灯共获利380元列方程，解方程即可求解．
（1）
解：设该商店购进甲种型号的节能灯只，则可以购进乙种型号的节能灯只，
由题意可得：，
解得：，
（只，
答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，可以购进乙种型号的节能灯40只；
（2）
解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，
由题意得，
解得：，
答：乙型节能灯按预售价售出的数量是10只．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系列出方程进行求解．
27．某市有甲、乙两个工程队，现有－小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多．
(1)求乙工程队单独完成这项工程需要多少天？
(2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？
(3)已知甲工程队每天施工费用为元，乙工程队每天施工费用为元，若该工程总费用政府拨款元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？
【答案】(1)30天
(2)9天
(3)甲、乙两个工程队各需要施工天数分别是10天和15天
【分析】（1）用甲工程队单独完成这项工程的天数乘以，即可求解；
（2）根据题意得：若甲工程队先做5天，还剩余，再除以甲乙两队合作的工作效率，即可求解；
（3）甲工程队需要施工x天，再把两队的总费用加起来等于70000，即可求解．
（1）
解：天，
答：乙工程队单独完成需要30天；
（2）
解：天，
答：还需要9天才能完成；
（3）
解：设甲工程队需要施工x天，
，
解得：，
乙工程队需要施工=15天．
答：甲、乙两个工程队各需要施工天数分别是10天和15天．
【点睛】本题主要考查了分数乘除法的应用、一元一次方程的应用等知识点，明确题意、准确得到数量关系是解答本题的关键．
28．数轴是我们进入七年级后研究的一个很重要的数学工具，它让数变得形象，也让数轴上的点变得具体，借助数轴可以轻松的解决一些实际问题：已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a，b满足|3b＋12|＋（a﹣3）2＝0．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)P从B出发，以每秒2个长度的速度沿数轴负方向运动4秒，此时P点与A点之间的距离为 ；
(3)应用：
小华家，小明家，学校在一条东西的大街上，小华家在学校的东面距学校500米，小明家在学校的西面距学校300米．
①画出如图的数轴（学校为原点，小华家为A点，小明家为B点），数轴的单位长度为实际的 米．
②周末小明自西向东，小华自东向西出去玩，他们每分钟都走50米，求几分钟后两人相距100米？并直接写出此时小明在数轴上的位置对应的数．
【答案】(1)3，﹣4
(2)15
(3)①100；②7或9分钟，0.5或1.5
【分析】(1)根据非负数的性质即可求解；
(2)根据B点对应的数字及P点运动时间可得P点表示的数，根据A点对应的数字即可得P点与A点之间的距离；
(3)①利用数轴结合实际意义可得答案；②设x分钟后两人相遇100米，根据题意分两种情况，利用等量关系列出方程，再解方程即可求得．
（1）
解：∵|3b+12|+(a 3)2=0，
∴3b+12=0，a 3=0，
解得a=3，b= 4；
故答案为：3，-4；
（2）
解：根据题意，得P点表示的数为： 4-2×4=-12，
P点与A点之间的距离为：3-(-12)=15，
故答案为：15；
（3）
解：①由题意可知：数轴的单位长度为实际的100米，
故答案为：100；
②设x分钟后两人相遇100米，由题意得：
相遇前：50x+50x=300+500 100，
解得：x=7，
相遇后：50x+50x=300+500+100，
解得：x=9，
∴7或9分钟后两人相距100米；
此时小明在数轴上的位置对应的数为： 3+0.5×7=0.5或 3+0.5×9=1.5．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
29．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
【答案】有7人，物品价格是53钱
【分析】设人数为人，根据“物品价格=8×人数-多余钱数=7×人数+缺少的钱数”可得方程，求解方程即可．
【详解】解：设人数为人，由题意得
，
解得．
所以物品价格是．
答：有7人，物品价格是53钱．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
30．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，甲种商品的销售单价为900元，乙种商品的销售单价为600元．设销售甲种商品a万件，销售总收入为W万元．
(1)用含a的代数式表示为W；
(2)若甲、乙两种商品的销售总收入W达到5400万元，则需要销售甲种商品多少万件？
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）设销售甲种商品a万件，则销售乙种商品（8-a）万件．根据总收入=单价×数量，即可用含a的代数式表示出销售总收入；
（2）由（1）的结论结合销售总收入达到5400万元，即可得出关于a的方程，解方程即可得出结论．
(1)
设销售甲种商品a万件，则销售乙种商品（8-a）万件．
依题意得：
故答案为：
(2)
依题意得：
解得：
答：销售甲种商品2万件．
【点睛】本题考查了列代数式以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出销售总收入；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程．
31．如图，已知实数表示在数轴上对应的位置为点，现对点进行如下操作：先把点沿数轴以每秒1个单位的速度向左移动秒，再把所得到的点沿数轴以每秒2个单位的速度向右移动秒，得到点，我们把这样的操作称为点的“回移”，点为点的“回移点”．
(1)用含有字母，的式子写出“回移点”表示的数__________；（填空）
(2)当时，
①若，求点的回移点表示的实数；
②若回移点与点恰好重合，求的值；
(3)当时，若回移点与点相距7个单位长度，求的值．
【答案】(1)3a-t；
(2)①10；②1；
(3)5
【分析】（1）由移动的速度及时间确定移动的距离，即可得出相应代数式；
（2）①将t＝2，a＝4代入（1）中代数式即可得；②t＝2时，回移点P'表示的实数是：3a﹣2，根据题意得出一元一次方程求解即可；
（3）当t＝3时，分两种情况进行讨论：①点P’在点P的右侧；②点P’在点P的左侧；根据数轴上两点之间的距离计算即可得出结果．
(1)
解：点P向左运动t秒后的距离为：t；
表示的数为：a-t；
把所得到的点沿数轴以每秒2个单位的速度向右移动a秒，移动的距离为2a；
P'表示的数为：2a+a-t=3a-t；
故答案为：3a-t；
(2)
①t＝2，a＝4时，
回移点P'表示的实数是3a-t=3×4﹣2＝10；
②t＝2时，回移点P'表示的实数是：3a﹣2，
∵回移点P'与点P恰好重合，
∴3a﹣2＝a，
解得a＝1，
答：a的值是1；
(3)
当t＝3时，分两种情况进行讨论：
①点P′在点P的右侧：
（3a﹣3）﹣a＝7，
解得a＝5；
②点P′在点P的左侧：
a﹣（3a﹣3）＝7，
解得a＝﹣2，
因为a＞0，所以a＝﹣2不符合题意，舍去；
答：a的值是5．
【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离，列代数式，一元一次方程等，理解题意，列出相应代数式是解题关键．
32．如图，在数轴上点A、C、B表示的数分别是-2、1、12．动点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动，设点Q的运动时间为t秒．
(1)AB的长为_______；
(2)当点P与点Q相遇时，求t的值．
(3)当点P与点Q之间的距离为9个单位长度时，求t的值．
(4)若PC+QB=8，直接写出t点P表示的数．
【答案】(1)14
(2)当t为秒时，点P与点Q相遇；
(3)当t为1秒或秒时，点P与点Q间的距离为9个单位长度；
(4)存在某一时刻使得PC+QB=8，此时点P表示的数为．
【分析】（1）根据两点之间的距离公式直接求出AB的长；
（2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为3t-2，点Q表示的数为-2t+12；由点P，Q相遇，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）由PQ=9，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（4）当运动时间为t秒时，点P表示的数为3t-2，PC=|3t-2-1|=|3t-3|，QB=2t，由PC+QB=8，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，再将其代入3t-2中即可求出结论．
（1）
解：AB=12-(-2)=14，
故答案为：14；
（2）
解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为3t-2，点Q表示的数为-2t+12．
依题意得：3t-2=-2t+12，
解得：t=．
答：当t为秒时，点P与点Q相遇；
（3）
解：依题意得：-2t+12-（3t-2）=9或3t-2-（-2t+12）=9，
解得：t=1或t=．
答：当t为1秒或秒时，点P与点Q间的距离为9个单位长度；
（4）
解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为3t-2，PC=|3t-2-1|=|3t-3|，QB=2t．
依题意得：|3t-3|+2t=8，
即3-3t+2t=8或3t-3+2t=8，
解得：t=-5（不合题意，舍去）或t=，
∴3t-2=．
答：存在某一时刻使得PC+QB=8，此时点P表示的数为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是：（1）利用数轴上两点间的距离，找出点B，C表示的数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（4）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
33．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
(1)若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟点”的是 ；
(2)点A表示数﹣10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数为 ．
【答案】(1)C2或C3
(2)①或或﹣50；②70或50或110
【分析】（1）根据“联盟点”的定义，分别验证C1，C2，C3三点即可．
（2）①设点P在数轴上所表示的数为x．根据点P所处的位置进行分类讨论，根据“联盟点”的定义列出方程求解即可．
②分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“联盟点”；点B是点A、点P的“联盟点”；点P是点A、点B的“联盟点”，然后根据“联盟点”的定义列出方程求解即可．
(1)
解：对于表示的数是3的C1来说．
∵点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数是4，
∴AC1＝5，BC1＝1．
∵AC1和BC1不满足2倍的数量关系，
∴C1不是点A、点B的“联盟点”．
对于表示的数是2的C2来说．
∵点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数是4，
∴AC2＝4，BC2＝2．
∵，即AC2＝2BC2，
∴C2是点A、点B的“联盟点”．
对于表示的数是0的C3来说．
∵点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数是4，
∴AC3＝2，BC3＝4．
∵，即BC3＝2AC3，
∴C3是点A、点B的“联盟点”．
故答案为：C2或C3．
(2)
解：①设点P在数轴上所表示的数为x．
当点P在线段AB上，且PA＝2PB时．
根据题意得．
解得．
当点P在线段AB上，且2PA＝PB时．
根据题意得．
解得．
当点P在点A的左侧时，且2PA＝PB时．
根据题意得2（﹣10﹣x）＝30﹣x．
解得x＝﹣50．
综上所述，点P表示的数为或或﹣50．
②当点A是点P，点B的“联盟点”时，有PA＝2AB．
根据题意得．
解得x＝70．
当点B是点A、点P的“联盟点”时，有AB＝2PB或2AB＝PB．
根据题意得或．
解得x＝50或x＝110．
当点P是点A、点B的“联盟点”时，有PA＝2PB．
根据题意得．
解得x＝70．
所以此时点P表示的数为70或50或110．
故答案为：70或50或110．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用，正确理解题意和应用分类讨论思想是解题关键．
34．已知数轴上两点A，B（点B在点A的右侧），若数轴上存在一点C，使得AC＝2BC，则称点C为点A，B的“2倍分点”，若使得AC＝3BC，则称点C为点A，B的“3倍分点”，…，若使得AC＝kBC，则称点C为点A，B的“k倍分点（k为正整数）”．
请根据上述规定回答下列问题：
(1)如图，若点A表示数﹣1，点B表示数2．
①当点C表示数1时，则k＝ ；
②当点C为点A，B的“5倍分点”时，求点C表示的数；
(2)若点A表示数a，AB＝6，当点C为AB的“3倍分点”时，请求点C表示的数．（用含a的代数式表示）
【答案】(1)①2; ②C表示的数为或
(2)a+或a+9
【分析】（1）①根据k倍分点的对应即可求解；
②分两种情况：若点C在线段AB之间，若点C在线段AB延长线上，列出方程计算即可求解；
（2）分两种情况：若点C在线段AB之间，若点C在线段AB延长线上，进行讨论即可求解．
(1)
①k＝[1﹣（﹣1）]÷（2﹣1）＝2；
故答案为：2；
②设点C表示的数为x；
若点C在线段AB之间，则AC＝x+1，BC＝2﹣x，
∵AC＝5BC，
∴x+1＝5（2﹣x），
∴；
若点C在线段AB延长线上，则AC＝x+1，BC＝x﹣2，
∵AC＝5BC，
∴x+1＝5（x﹣2），
∴．
综上所述，C表示的数为或．
(2)
6×＝，
6÷＝9，
故C表示的数为a+或a+9．
故答案为：a+或a+9．．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴及列代数式，认真理解新定义：数轴上两点A，B（点B在点A的右侧），若数轴上存在一点C，使得AC=kBC，则称点C为点A，B的“k倍分点（k为正整数）．
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专题10：实际问题与一元一次方程
一、单选题
1．一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以40km/h的速度前进，突然，6号队员以50km/h的速度独自行进，行进15km后掉转车头，仍以50km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合．设6号队员从离队开始到与队员重新会合经过了xh，则x为（ ）
A．1.5 B．0.75 C． D．
2．某项工程由甲队单独做需要20天完成，由乙队单独做只需甲队的一半时间就能完成．设两队合作需要x天完成，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
3．小江去商店购买签字笔和笔记本（其中签字笔和笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱还缺65元 B．他身上的钱会剩下65元
C．他身上的钱还缺115元 D．他身上的钱会剩下115元
4．某校手工社团30名学生制作纸飞机模型，每人每小时可做20个机身或60个机翼，一个飞机模型要一个机身配两个机翼，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名学生做机身，多少名学生做机翼？设分配x名学生做机身，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在2022年2月的日历表中用优美的“ ”形框住五个数，框出1，3，8，10，16五个数，它们的和为38，移动“ ”的位置又框出五个数，已知这五个数的和是53，则它们中最小两个数的和是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．19
6．包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120张，或长方形铁片80张．将圆形铁片2张和长方形铁片1张可配套做成一个密封圆桶．问如何安排工人生产圆形铁片或长方形铁片，能合理的将铁片配套？设安排人生产圆形铁片，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，（a﹣10）2+|b+6|＝0．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．若点P、Q同时出发，当P、Q两点相距4个单位长度时， t的值为（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．1或
8．已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，原点为O，现A点以2m/s的速度向左运动，B点以1m/s的速度向左运动，若A，B两点同时出发，当OA：OB＝1：2时，用时为（ ）
A．2s B．s C．s或1s D．s或2s
9．学校需制作若干块标志牌，由一名工人做要50h完成．现计划由一部分工人先做4h，然后增加5人与他们一起做6h完成这项工作．假设这些工人的工作效率一样，具体应先安排多少人工作？小华的解法如下：设先安排x人做4h．所列方程为，其中“”表示的意思是“x人先做4h完成的工作量”，“”表示的意思是“增加5人后人再做6小时完成的工作量”．小军所列的方程如下：，其中，“”表示的含义是（ ）
A．x人先做4h完成的工作量．
B．先工作的x人前4h和后6h一共完成的工作量．
C．增加5人后，新增加的5人完成的工作量．
D．增加5人后，人再做6h完成的工作量．
10．某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利60%，另一个亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不赔不赚 B．赚了32元 C．赔了8元 D．赚了8元
11．在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽AE．若AE＝x（cm），依题意可得方程（ ）
A． B．6+2x＝14﹣x
C．14﹣3x＝6 D．6+2x＝x+（14﹣3x）
12．如果四个有理数的和的是4，其中三个数是，，9．则第四个数是（ ）
A． B．15 C． D．21
二、填空题
13．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣2与2．点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点Q从B点出发，以每秒1个单位长度沿数轴匀速运动．设P、Q两点的运动时间为t秒，当PQAB时，t＝________．
14．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的项点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边________上．
15．小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000m的学校上学．一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书．于是，爸爸立即以180m/min的速度去追赶小明，并且在途中追上了他．则爸爸追上小明用了___________min．
16．用一根80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm，则围成长方形的面积为______．
17．某运输公司要将300吨的货物运往某地，现有A、B两种型号的货车可调用，已知A型货车每辆可装货物20吨，B型货车每辆可装货物15吨．在每辆汽车不超载的情况下，要把这300吨货物一次性装运完成，并且A型货车确定要用7辆，则至少调用B型货车______辆．
18．今年端午节前某超市分两次购进蛋黄、鲜肉、腊肉三种馅的粽子，第一次购进三种粽子数量之比为 3∶ 2∶ 1．根据销量，超市调整进货方案， 第一次与第二次购进蛋黄粽数量之比为 3∶ 4，且第二次购进蛋黄粽数量为第二次购进总量的 ．为使两次购进鲜肉粽和腊肉粽数量之比为 ，则第二次购进鲜肉粽和腊肉粽数量之比为__________．
19．已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．
20．如图，用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验：在木杆中间栓绳，将木杆吊起来并使其左右平衡，在木杆右端挂一个重物，支点左边挂个重物，随重物个数增加，需要不断调整左边重物到支点的距离来保持平衡．大量试验，记录左右平衡时支点到木杆左右两边挂重物处的距离与．
实验次数 右 左 acm bcm n与a之间的关系
第一1次 1 1 12cm 12cm 1×12=12
第2次 1 2 6cm 12cm 2×6=12
第3次 1 3 4cm 12cm 3×4=12
…
设木杆长为cm，支点在木杆中点处，支点到木杆左边挂重物处的距离为cm，把，作为已知数，列出关于的一元一次方程：______________．
21．点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+5|+（b﹣3）2＝0．点P在数轴上，且满足AP＝2PB，则点P对应的数为 _____．
22．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1与3．点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点Q从B点出发，以每秒1个单位长度沿数轴匀速运动．设P、Q两点的运动时间为t秒，当PQ＝AB时，t＝_____．
23．已知点、在数轴上，点表示的数为-5，点表示的数为15.动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向匀速移动，则点移动__________秒后，．
24．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为30，点M以每6个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过________秒，点M、点N分别到点B的距离相等．
三、解答题
25．某种圆珠笔的售价是每支2元，甲、乙两家文具店均有促销活动：甲文具店全部九折，乙文具店20支及以下不打折，超过20支的部分打八折．设小明需要购买的圆珠笔的数量为x，根据题意回答下列问题：
(1)若购买超过20支的圆珠笔，则在甲文具店需要花费 元，在乙文具店需要花费 元．（用含x的代数式表示）
(2)当x＝25时，选择哪家文具店更优惠？当x＝50呢？
(3)随着x的变化，试说明选择哪家文具店更优惠．
26．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如下表：（利润=售价-进价）
型号 进价（元/只） 预售价（元/只）
甲型号 20 25
乙型号 35 40
(1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？
(2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的甲型号节能灯全部售出，购进的乙型号节能灯部分售出后，决定将乙型号节能灯打九折销售，全部售完后，两种节能灯共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只？
27．某市有甲、乙两个工程队，现有－小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多．
(1)求乙工程队单独完成这项工程需要多少天？
(2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？
(3)已知甲工程队每天施工费用为元，乙工程队每天施工费用为元，若该工程总费用政府拨款元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？
28．数轴是我们进入七年级后研究的一个很重要的数学工具，它让数变得形象，也让数轴上的点变得具体，借助数轴可以轻松的解决一些实际问题：已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a，b满足|3b＋12|＋（a﹣3）2＝0．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)P从B出发，以每秒2个长度的速度沿数轴负方向运动4秒，此时P点与A点之间的距离为 ；
(3)应用：
小华家，小明家，学校在一条东西的大街上，小华家在学校的东面距学校500米，小明家在学校的西面距学校300米．
①画出如图的数轴（学校为原点，小华家为A点，小明家为B点），数轴的单位长度为实际的 米．
②周末小明自西向东，小华自东向西出去玩，他们每分钟都走50米，求几分钟后两人相距100米？并直接写出此时小明在数轴上的位置对应的数．
29．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
30．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，甲种商品的销售单价为900元，乙种商品的销售单价为600元．设销售甲种商品a万件，销售总收入为W万元．
(1)用含a的代数式表示为W；
(2)若甲、乙两种商品的销售总收入W达到5400万元，则需要销售甲种商品多少万件？
31．如图，已知实数表示在数轴上对应的位置为点，现对点进行如下操作：先把点沿数轴以每秒1个单位的速度向左移动秒，再把所得到的点沿数轴以每秒2个单位的速度向右移动秒，得到点，我们把这样的操作称为点的“回移”，点为点的“回移点”．
(1)用含有字母，的式子写出“回移点”表示的数__________；（填空）
(2)当时，
①若，求点的回移点表示的实数；
②若回移点与点恰好重合，求的值；
(3)当时，若回移点与点相距7个单位长度，求的值．
32．如图，在数轴上点A、C、B表示的数分别是-2、1、12．动点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动，设点Q的运动时间为t秒．
(1)AB的长为_______；
(2)当点P与点Q相遇时，求t的值．
(3)当点P与点Q之间的距离为9个单位长度时，求t的值．
(4)若PC+QB=8，直接写出t点P表示的数．
33．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
(1)若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟点”的是 ；
(2)点A表示数﹣10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数为 ．
34．已知数轴上两点A，B（点B在点A的右侧），若数轴上存在一点C，使得AC＝2BC，则称点C为点A，B的“2倍分点”，若使得AC＝3BC，则称点C为点A，B的“3倍分点”，…，若使得AC＝kBC，则称点C为点A，B的“k倍分点（k为正整数）”．
请根据上述规定回答下列问题：
(1)如图，若点A表示数﹣1，点B表示数2．
①当点C表示数1时，则k＝ ；
②当点C为点A，B的“5倍分点”时，求点C表示的数；
(2)若点A表示数a，AB＝6，当点C为AB的“3倍分点”时，请求点C表示的数．（用含a的代数式表示）
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