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专题08：从算式到方程
一、单选题
1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax＋b＝0（a，b为常数，且a≠0）．由定义即可判断．
【详解】解：A．3x＋y＝5是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．3x＋2＝4x 7是一元一次方程，故本选项符合题意；
C．不是整式方程，故本选项不符合题意；
D．是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，牢记一元一次方程的定义及基本形式是解题的关键．
2．若关于x的方程（k﹣2）x|k﹣1|＋6＝0是一元一次方程，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
【详解】解：∵关于x的方程（k﹣2）x|k﹣1|+6＝0是一元一次方程，
∴，
解得：k≠2，k=2，k=0，
∴k＝0．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，本题属于基础题型．
3．已知是方程的解，则的值是（ ）
A．5 B． C． D．10
【答案】B
【分析】先将代入已知方程中得出等式，最后再化简后面的整式即可计算出结果．
【详解】是方程的解，
，
整理得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查整式的运算，属于基础题，难度一般，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
4．若关于的方程（，为常数）的解是，则（ ）
A．方程的解是 B．方程的解是
C．方程的解是 D．方程的解是
【答案】C
【分析】根据题意得，b为任意数，据此判断各选项即可．
【详解】解：∵关于的方程（，为常数）的解是，
∴，b为任意数
A.当时，方程无解，故此选项不正确；
B当b=0时，方程无解，故此选项不正确；
C. 方程的解是，正确；
D. 当b=-1时，方程无解，，故此选项不正确；
故选：C
【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（ ）
A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意直接列方程即可
【详解】解：由题意可知b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a
故选：A
【点睛】本题考查列二元一次方程，正确理解题意找到等量关系是关键
6．在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（ ）．
A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4）
C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4）
【答案】A
【分析】根据水的体积不变的性质以及圆柱体体积计算公式，即可列出一元一次方程，从而得到答案．
【详解】依题意得：π×（）2×x＝π×（）2×（x+4）
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．
7．已知等式，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等式的性质即可求出答案．
【详解】解：A. 利用等式基本性质，等式两边均减去3b，得：，故此项成立；
B. 利用等式基本性质，等式两边均加上1，得：，故此项成立；
C. 利用等式基本性质，等式两边均乘c，得：c，故此项不成立；
D. 利用等式基本性质，等式两边均除以2，得：，故此项成立；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题关键．
8．方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，则正整数m的值有 个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据方程的解是正整数，可得（m+2）是12的约数，根据12的约数，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】由，
得，
∵方程是关于的一元一次方程，此方程的解为正整数，m是正整数，
∴m+2=3或4或6或12，
解得m=1或2或4或10，
∴正整数m的值有4个．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确理解m+2=3或4或6或12是关键．
9．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据等式的性质，逐项判断即可．
【详解】解：A、根据等式性质2，a（x2+1）=b（x2+1）两边同时除以（x2+1）得a=b，原变形正确，故这个选项不符合题意；
B、根据等式性质2，a=b两边都乘c，即可得到ac=bc，原变形正确，故这个选项不符合题意；
C、根据等式性质2，c可能为0，等式两边同时除以c2，原变形错误，故这个选项符合题意；
D、根据等式性质1，x=y两边同时减去3应得x-3=y-3，原变形正确，故这个选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了等式的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
10．已知下列方程：①x－2＝；②0.3x＝1；③＝5x－1；④x2－4x＝3；⑤x＝0；⑥x＋2y＝0，其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义判断即可，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．
【详解】①x－2＝是分式方程，故①错误；
②0.3x=1，即0.3x-1=0，符合一元一次方程的定义．故②正确；
③＝5x－1，即9x-2=0，符合一元一次方程的定义．故③正确；
④x2－4x＝3的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程．故④错误；
⑤x＝0，符合一元一次方程的定义．故⑤正确；
⑥x+2y=0中含有2个未知数，属于二元一次方程．故⑥错误．
综上所述，一元一次方程的个数是3个．
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的一般形式，掌握只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0是关键．
二、填空题
11．已知＝1是方程的解，则的值是______________
【答案】-1
【分析】把x=1代入原方程中求出k的值，再把k的值代入2k+3中计算即可．
【详解】把x=1代入中，得
，
解得k=-2，
则2k+3=-4+3=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了已知一元一次方程的根，求参数的值，要点是把方程的根代入原方程即可，掌握这种解题方法是本题的关键．
12．已知方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且m为整数，则______．
【答案】18或32或50或128
【分析】根据一元一次方程的定义得到m+2≠0，；然后求出符合题意的m的值即可．
【详解】解：∵方程（m+2）xn2+1+6=0是关于x的一元一次方程，
∴m+2≠0，n2+1=1，
∴m≠-2，n=0，
∴方程为
∴
∵此方程的解为正整数，且m为整数，
∴m=-3或-4或-5或-8，
∴2m2=18或32或50或128．
故答案为：18或32或50或128．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确结合正整数的定义分析是解题关键．
13．长方形的长为，宽为，则长方形的周长为_______．
【答案】
【分析】根据长方形的周长＝2（长+宽）列式，再化简即可．
【详解】解：由题意可得，长方形的周长＝2（a+b）=
故答案为：．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．也考查了长方形的周长公式．
14．已知代数式3x2a﹣1y1+m与x2﹣by2﹣n为同类项，则2a+b+2m+2n＝___．
【答案】5
【分析】根据同类项的定义，分别求得的值，再代入代数式求解即可，字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项．
【详解】代数式3x2a﹣1y1+m与x2﹣by2﹣n为同类项，
．
故答案为：5
【点睛】本题考查了同类项的定义，代数式求值，根据同类项的定义求得字母的值是解题的关键．
15．已知非负数x、y、z满足，记w＝3x＋4y＋5z．则：①w用含x的代数式表示为________；②w的最小值是________．
【答案】 w=7x+19 19
【分析】①根据题意先用含x的式子表示出y和z，再代入w=3x+4y+5z，即可得出答案；
②根据题意可知x≥0，从而得出当x=0时w最小，即可得出答案．
【详解】解：①∵ ，
∴，，
∴y= ， z=2x+1，
∴w=3x+4y+5z=3x+4+5（2x+1）=7x+19；
②∵x≥0，w=7x+19，
∴当x=0时，w最小，最小值为19．
【点睛】本题考查了等式性质及代数式的求值问题，掌握等式的基本性质是解答此题的关键．
16．代数式的值是2，则代数式的值是_____．
【答案】11．
【分析】根据等式性质对已知变形，整体代入即可．
【详解】解：根据已知，，
，
，
，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了求代数式的值，解题关键是适当的运用等式性质对已知变形，然后整体代入．
17．下列各式是方程的有_____
①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）；
②＋y＝5；
③x2﹣2x＝1；
④x2﹣2x＝x﹣y；
⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数）
【答案】②③④
【分析】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断．
【详解】解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程；
②＋y＝5，是方程；
③x2﹣2x＝1，是方程；
④x2﹣2x＝x﹣y，是方程；
⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程；
故答案为：②③④．
【点睛】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键．
18．已知a，b为实数，且关于x的方程（a-2）x=1-b有无穷多个解，则a+b=_____．
【答案】3
【分析】根据当a=0，b=0时，方程ax=b有无穷多个解解答即可．
【详解】解：∵关于x的方程（a-2）x=1-b有无穷多个解，
∴a-2=0，1-b=0，
解得，a=2，b=1，
则a+b=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解的定义，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
19．关于x的方程的解是整数，则整数k可以取的值是_____________．
【答案】
【分析】先求出含有参数k的方程的解，并列举出它是整数的所有可能性，再求出k的整数值．
【详解】解：先解方程，，，，
要使方程的解是整数，则必须是整数，
∴可以取的整数有：、，
则整数k可以取的值有：、3、5．
故答案是：、3、5．
【点睛】本题考查方程的整数解，解题的关键是理解方程解的定义．
20．长方形场地的面积是80平方米，它的长是宽的2倍多6米，若设长方形的宽是米，那么可以列出方程为_______．
【答案】
【分析】先用x表示出长，再利用长方形面积公式列方程即可得答案．
【详解】设长方形的宽是米，
∵长是宽的2倍多6米，
∴长是（2x+6）米，
∵长方形的面积为80平方米，
∴（2x+6）x=80，
故答案为：（2x+6）x=80
【点睛】本题考查实际问题与一元一次方程，正确表示出长方形的长是解题关键．
三、解答题
21．（1）若关于x的方程（m﹣4）x|m－1|﹣2＋2＝0是一元一次方程，求m的值．
（2）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：|﹣a|＋|a＋c|﹣|b﹣2a|＋|b﹣c|．
【答案】（1）m＝﹣2；（2）﹣2b
【分析】（1）根据题意得到|m－1|﹣2＝1，解出绝对值方程，求出m的两个值．最后分别将两个值代入检验，检验系数是否为0，若系数为0，则不合题意，舍去，若系数为0，则符合题意；
（2）首先根据数轴判断绝对值里代数式的大小，再根据绝对值的意义正确去掉绝对值，计算即可．
【详解】解：（1）∵关于x的方程（m﹣4）x|m﹣1|﹣2+2＝0是一元一次方程，
∴|m﹣1|﹣2＝1，且m﹣4≠0，
由|m﹣1|﹣2＝1，得m＝4或m＝﹣2，
由m﹣4≠0，得m≠4，
∴m＝﹣2；
（2）∵﹣a＞0，a+c＜0，b﹣2a＞0，b﹣c＜0，
∴|﹣a|+|a+c|﹣|b﹣2a|+|b﹣c|
＝（﹣a）﹣（a+c）﹣（b﹣2a）﹣（b﹣c）
＝﹣a﹣a﹣c﹣b+2a﹣b+c
＝﹣2b．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值的意义以及整式的运算，熟练掌握概念以及整式的运算法则是本题的关键．
22．若x＝1是方程﹣＝1的解．
(1)试判断a与b的关系，并说明理由；
(2)如图是一个正方体的表面展开图，每组相对表面上所标的两个数都互为相反数，求a的值；
(3)求代数式﹣8a﹣2b+5的值．
【答案】(1)b＝5﹣4a，见解析；
(2)a＝1；
(3)20.
【分析】（1）把x＝1代入方程，即可解答；
（2）利用正方体及其表面展开图的特点，求出b的值，代入（1）中的式子，即可解答；
（3）把a，b的值代入代数式，即可解答．
（1）
把x＝1代入方程﹣＝1得：
﹣＝1
解得：b＝5﹣4a．
（2）
根据正方体的表面展开图，可得b与﹣1是相对的面，
∵每组相对表面上所标的两个数都互为相反数，
∴b＝1，
∴1＝5﹣4a，
解得：a＝1．
（3）
当a＝1，b＝1时，
﹣8a﹣2b+5
＝﹣8×1﹣2×1+5
＝25﹣8﹣2+5
＝20．
【点睛】本题考查了方程解的定义，代数式求值，正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
23．在数轴上点A、C 表示的数分别为a、c，且a、c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）A、C两点之间的距离是 ；
（3）已知数轴上点B对应的数为﹣2，点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒x个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒1个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．
①求B、C两点间的距离（用含t的式子表示）
②当x为何值时，BC﹣AB的值不会随着时间t的变化而变化？并求出此时BC﹣AB的值．
【答案】（1），；（2）6；（3）①，当时，的值不会随着时间t的变化而变化，此时的值为2．
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性计算即可；
（2）用大数减去小数即可；
（3）①分别表示出点B和点C所表示的数再计算即可；②运动t秒后，点A所对应的数为，表示出AB，再计算即可；
【详解】（1）∵|a+4|+（c﹣2）2＝0，
∴，，
∴，；
故答案是：，；
（2）；
故答案是：6；
（3）①运动t秒后B坐标为，
C坐标为，
，
；
②运动t秒后，点A所对应的数为，
∴，
∴，
，
，
，
∵的值不会随着时间t的变化而变化，
∴，
解得，
此时，
∴当时，的值不会随着时间t的变化而变化，此时的值为2．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，一元一次方程的应用，准确计算是解题的关键．
24．能否从等式得到，为什么？反过来，能否从得到，为什么？
【答案】见解析
【分析】根据等式的性质解答即可．
【详解】解；不能从等式（2a-1）x=3a+5中得到理由是：2a-1=0时，无意义；
能从中得到（2a-1）x=3a+5，理由是：方程得两边都乘以（2a-1）．
【点睛】本题考查了等式的性质，等式的两边都乘以或除以同一个不为零的整式，结果仍是等式．
25．小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程：
①；
②；
③；
④…
（1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息；
（2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由；
（3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？
【答案】（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2；（2）正确，见解析，；（3）能，见解析，
【分析】（1）观察方程，可得出规律；
（2）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系即可直接写出方程，然后解方程即可；
（3）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系直接写出方程
【详解】解：（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2（答案不唯一，答出一条即可））
（2）正确．
验证如下：
把代入到方程中，左边，
右边，所以是方程的解，小明的推测正确．
第四个方程为．
（3）（为正整数，且）．
【点睛】本题考查了学生的观察分析能力，理解方程中每部分的数字与方程的解的关系是解题的关键．
26．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）
解方程：．
解：当时，原方程可化为：，解得；
当时，原方程可化为：，解得．
所以原方程的解是，．
(1)解方程：；
(2)探究：当b为何值时，方程①无解；②只有一个解；③有两个解．
【答案】(1)或．
(2)①b＜-1；②b=-1；③b＞-1
【分析】（1）利用绝对值的意义得到3x﹣2＝4或3x﹣2＝﹣4，然后分别解两个一次方程；
（2）利用绝对值的意义讨论：当b+1＜0或b+1＝0或b+1＞0时确定方程的解的个数，
（1）
解：，
当时，原方程可化为：，解得；
当时，原方程可化为：，解得；
所以原方程的解是或．
（2）
解：∵|x﹣2|≥0，
∴当b+1＜0，即b＜﹣1时，方程无解；
当b+1＝0，即b＝﹣1时，方程只有一个解；
当b+1＞0，即b＞﹣1时，方程有两个解．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．
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专题08：从算式到方程
一、单选题
1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于x的方程（k﹣2）x|k﹣1|＋6＝0是一元一次方程，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
3．已知是方程的解，则的值是（ ）
A．5 B． C． D．10
4．若关于的方程（，为常数）的解是，则（ ）
A．方程的解是 B．方程的解是
C．方程的解是 D．方程的解是
5．药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（ ）
A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a
C． D．
6．在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（ ）．
A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4）
C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4）
7．已知等式，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，则正整数m的值有 个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知下列方程：①x－2＝；②0.3x＝1；③＝5x－1；④x2－4x＝3；⑤x＝0；⑥x＋2y＝0，其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．已知＝1是方程的解，则的值是______________
12．已知方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且m为整数，则______．
13．长方形的长为，宽为，则长方形的周长为_______．
14．已知代数式3x2a﹣1y1+m与x2﹣by2﹣n为同类项，则2a+b+2m+2n＝___．
15．已知非负数x、y、z满足，记w＝3x＋4y＋5z．则：①w用含x的代数式表示为________；②w的最小值是________．
16．代数式的值是2，则代数式的值是_____．
17．下列各式是方程的有_____
①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）；
②＋y＝5；
③x2﹣2x＝1；
④x2﹣2x＝x﹣y；
⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数）
18．已知a，b为实数，且关于x的方程（a-2）x=1-b有无穷多个解，则a+b=_____．
19．关于x的方程的解是整数，则整数k可以取的值是_____________．
20．长方形场地的面积是80平方米，它的长是宽的2倍多6米，若设长方形的宽是米，那么可以列出方程为_______．
三、解答题
21．（1）若关于x的方程（m﹣4）x|m－1|﹣2＋2＝0是一元一次方程，求m的值．
（2）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：|﹣a|＋|a＋c|﹣|b﹣2a|＋|b﹣c|．
22．若x＝1是方程﹣＝1的解．
(1)试判断a与b的关系，并说明理由；
(2)如图是一个正方体的表面展开图，每组相对表面上所标的两个数都互为相反数，求a的值；
(3)求代数式﹣8a﹣2b+5的值．
23．在数轴上点A、C 表示的数分别为a、c，且a、c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）A、C两点之间的距离是 ；
（3）已知数轴上点B对应的数为﹣2，点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒x个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒1个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．
①求B、C两点间的距离（用含t的式子表示）
②当x为何值时，BC﹣AB的值不会随着时间t的变化而变化？并求出此时BC﹣AB的值．
24．能否从等式得到，为什么？反过来，能否从得到，为什么？
25．小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程：
①；
②；
③；
④…
（1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息；
（2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由；
（3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？
26．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）
解方程：．
解：当时，原方程可化为：，解得；
当时，原方程可化为：，解得．
所以原方程的解是，．
(1)解方程：；
(2)探究：当b为何值时，方程①无解；②只有一个解；③有两个解．
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