高中数学人教新课标A版 选修2-1 第三章空间向量与立体几何

高中数学人教新课标A版 选修2-1 第三章空间向量与立体几何
一、单选题
1．（2020高一下·东莞月考）点 在空间直角坐标系中的位置是（　　）
A．y轴上 B． 平面上 C． 平面上 D． 平面上
2．（2019高二上·金华月考）在空间直角坐标系中，点 与点 （　　）
A．关于 平面对称 B．关于 平面对称
C．关于 平面对称 D．关于 轴对称
3．（2019高二上·辽宁月考）点 关于 平面的对称点为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2020高一下·杭州月考）已知 ， ， =1，则向量 在 方向上的投影是（　　）
A． B．-1 C． D．1
5．（2020高二上·无锡期末）已知向量 ， .若向量 与向量 平行，则实数 的值是（　　）
A．6 B．-6 C．4 D．-4
6．（2019高二上·龙江月考）若 ， ， ，则 的值为（　　）
A．4 B．15 C．7 D．3
7．（2020高二上·天津期末）已知空间向量 , ,若 ,则实数 （　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
8．（2020高一下·七台河期末）直三棱柱 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2020高一下·七台河期末）在三棱柱 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面 的中心，则 与平面 所成角的大小是（　　）
A． B． C． D．
10．（2020高一下·哈尔滨期末）在正方体 中， ，则点 到平面 的距离为（　　）
A． B． C． D．
11．（2020高一下·大庆期末）在四面体 中，已知棱 的长为 ，其余各棱长都为1，则二面角 的平面角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
12．（2020高二下·浙江期末）已知三棱锥P—ABC中， ，底面△ABC中∠C=90°，设平面PAB，PBC，PCA与平面ABC所成的锐二面角分别为 ，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．当AC=BC时， D．当AC=BC时，
二、多选题
13．（2020高一下·扬州期末）如图，已知四棱锥 中， 平面 ，底面 为矩形， ， .若在直线 上存在两个不同点 ，使得直线 与平面 所成角都为 .则实数 的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2020高一下·苏州期末）如图，点 是正方体 的棱 的中点，点 在线段 上运动，则下列结论正确的是（　　）
A．直线 与直线 始终是异而直线
B．存在点 ，使得
C．四面体 的体积为定值
D．当 时，平面 平面
三、填空题
15．（2020高二下·徐汇期末）如图，以长方体 的顶点D为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为 ，则 的坐标为　 　
16．（2020高二下·新余期末）已知直线l与平面 垂直，直线 的一个方向向量为 ，向量 与平面 平行，则 　 　.
17．（2020高一下·烟台期末）正四棱柱 中, 则 与平面 所成角的正弦值为　 　．
18．（2020高二下·新余期末）如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为　 　．
四、解答题
19．（2019高二上·绥德月考）已知向量 =(1,-3,2), =(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
（1）求|2 + |;
（2）在直线AB上,是否存在一点E,使得 ⊥ (O为原点)
20．已知
（1）若(k+)∥( 3) ，求实数 k 的值；
（2）若 ，求实数 的值．
21．（2020高一下·海林期末）在长方体 中， ， ，
（1）求 与平面 所成角的大小；
（2）求面 与面 所成二面角的大小.
22．（2020高二下·广州期末）如图，P—ABCD是正四棱锥， 是正方体，其中
（1）求证： ；
（2）求平面PAD与平面 所成的锐二面角 的余弦值；
23．（2020高二下·上海期末）长方体 中， ， ．
（1）求异面直线 与 所成角；
（2）求点 到平面 的距离；
（3）求二面角 的大小
24．（2020高一下·苏州期末）如图所示，等边三角形 的边长为3，点 ， 分别是边 ， 上的点，满足 ， ．将 沿 折起到 的位置，使二面 为二面角，连接 ， ．
（1）求二面角 的余弦值；
（2）线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为60°？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】 点 的纵坐标为0，横坐标和竖坐标不为0，
点 在 平面上.
故答案为：C.
【分析】根据点 的横坐标、纵坐标以及竖坐标的特点，可得点 的位置.
2．【答案】C
【知识点】空间向量的正交分解及坐标表示
【解析】【解答】两个点 和 ， 两个坐标相同， 坐标相反，故关于 平面对称，故选C.
【分析】利用“关于哪个对称，哪个坐标就相同”，得出正确选项.
3．【答案】D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由对称关系可知，点 关于 平面对称的点为
故答案为：
【分析】根据关于平面对称点的坐标的变化特征可直接写出结果.
4．【答案】D
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】根据向量数量积的几何意义，所以 在 方向上的投影为： 。
故答案为：D
【分析】向量数量积的几何意义结合向量投影的定义，从而结合已知条件求出向量 在 方向上的投影。
5．【答案】D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解： ，
又因为向量 与向量 平行
所以存在实数 ，使得
解得
故答案为：
【分析】求出向量 的坐标，利用向量共线定理即可得出．
6．【答案】D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】依题意 ，所以 .
故选：D
【分析】先求得 ，由此求得 的值的值.
7．【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：向量 ， ，
若 ，则 ，
解得 ．
故答案为： ．
【分析】根据 时， ，列方程求出 的值．
8．【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】在直三棱柱 中， ，
取 中点O， ，则 ，
所以 ，
以 的中点O坐标原点， 为 轴， 为 轴，
以过点O垂直平面 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图：
则 ， ， ， ，
所以 ， ,
设异面直线 与 所成角为 ，
则 .
故答案为：D
【分析】以 的中点O坐标原点， 为x轴， 为y轴，以过点O垂直平面 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用 与 的数量积即可求解.
9．【答案】C
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图，取BC中点E，则AE⊥平面 ，
AE⊥DE，因此直线 与平面 所成角即为∠ADE，
设AB=a，则 ，V，
即 ，
故∠ADE=60°，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合三棱柱的结构特征，取BC中点E，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，从而结合线面角的定义，推出 直线 与平面 所成角即为∠ADE，再利用正切函数的定义，从而求出直线 与平面 所成角的大小 。
10．【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】设点 到平面 的距离是 ,由等体积法 ,如图，
因为 ,
又
所以 ，
解得：
故答案为：A
【分析】由等体积法有 ,可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】由已知可得AD⊥DC，
又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，
则BE⊥CD，
在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角，
∵EF= （三角形ACD的中位线），BE= （正三角形BCD的高），BF= （等腰RT三角形ABC，F是斜边中点），
∴cos∠BEF= ，
故答案为：C．
【分析】由已知可得AD⊥DC，又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，
则BE⊥CD，在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角，再利用中位线的性质、正三角形的结构特征和等腰直角三角形的性质，结合余弦定理，从而求出二面角 的平面角的余弦值。
12．【答案】C
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】作 面 ， ，垂足分别为 .
均为锐角， 点O在三角形 的内部.如图所示：
连接 ，则 .
设 ，
.
三角形 为直角三角形， .
又 与 、 与 大小关系不确定，
与 、 与 大小关系不确定.
当AC=BC时， ,
均为锐角， .
故答案为：C.
【分析】作 面 ， ，垂足分别为 ，连接 ，则 .设 ，则 .由 ，则 ，又 ， 与 、 与 大小关系不确定，故 与 、 与 大小关系不确定. 当AC=BC时，可得 ，故 ，即得答案.
13．【答案】A,B,C
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】假设在直线BC上有一点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角为 ，此时，易得 ，在 中，由于 ，可得 .
所以，在直线BC上存在两个不同点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角都为 ，等价于在直线BC上有两个点到点A的距离为 ，由此可得 .
故答案为：ABC
【分析】由题，可算得 ，在直线BC上存在两个不同点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角都为 ，等价于在直线BC上有两个点到点A的距离为 ，由此即可确定a的取值范围.
14．【答案】B,C,D
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；平面的法向量
【解析】【解答】解：
对于A选项，连接 交 与 ，当点 在 点时，直线 与直线 相交，A选项不正确；
对于C.选项，连接 ， 交于 ，此时 ，故线段 到平面 的距离为定值，所以四面体 的体积为定值，C选项正确；
以 为坐标原点，建立如图的坐标系，设正方体的边长为 ，则 ， ， ， ， ， ，
对于B选项， 存在点 ，使得 ，
则 ， ， ，所以 ，得 ，故当 满足 时， ，B选项正确；
对于D选项，当 满足 时， ，
， ，故平面 的法向量可求得为： ，
， ，故平面 的法向量可求得为： ，
所以 ，即平面 平面 ，D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据立体几何的知识，建立空间坐标系，逐个分析即可.
15．【答案】(-4,3,2)
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】如图所示，
以长方体 的顶点D为坐标原点，
过D的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
因为 的坐标为 ，所以 ,
所以 。
【分析】利用已知条件结合长方体的结构特征建立空间直角坐标系，再利用 的坐标为 ，从而推出点A,C的坐标，从而用向量的坐标表示，求出向量 的坐标。
16．【答案】3
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】因为直线l与平面 垂直， 为直线 的一个方向向量，向量 与平面 平行，
所以 ，
即 ，
解得
故答案为：3
【分析】根据向量的垂直关系计算即可.
17．【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】连接 ,则 为 与平面 所成角，在 中，
【分析】利用正四棱柱的结构特征，连接 ,则 为 与平面 所成角，再利用直角三角形的勾股定理，从而求出的值，再利用正弦函数的定义，从而求出直线 与平面 所成角的正弦值。
18．【答案】
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】∵在一个60°的二面角的棱上，
有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，
且AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，
，
，
故答案为 ：。
【分析】利用已知条件结合二面角的平面角的作法，从而找出满足要求的二面角的平面角，再利用向量的三角形法则和数量积公式，结合向量的模与数量积的关系式，从而求出向量的模，进而求出线段CD的长。
19．【答案】（1）解：2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),
故|2a+b|= =5
（2）解： +t =(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),
若 ⊥b,则 ·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t= ,因此存在点E,使得 ⊥b,此时点E的坐标为E
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据空间向量的坐标运算相应公式计算即可．（2）假设存在点E，则 +t ，再根据 ⊥b,建立方程可求出t= ．
20．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
又 ， ，
解得 ．
（2）解：∵ ，∴ ，
即 ，解得
【知识点】空间向量的加减法；共面向量定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】首先直接利用坐标向量的相加减得到向量的坐标表示；
（1）坐标向量的共线关键是要找到唯一的一个实数；
（2）中根据坐标向量的垂直等价于向量的数量积为0得到答案.
21．【答案】（1）解：连接 交 于 ，
∵ 为长方体，而 ，则四边形 为正方形，∴ ，又∵ 面 ， 面 ，∴ ，∴ 面 ，
∴ 是 与平面 所成角. ∵四边形 为正方形，∴ ，则 与平面 所成角为
（2）解：连接 ，∵ 面 ， 、 面 ，∴ 、 ，
∴ 是面 与面 所成二面角的平面角.
在直角三角形 中，∵ ， ，∴ ，
即面 与面 所成的二面角为
【知识点】直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）连接 交 于 ，由题意易证四边形 为正方形，故 ，由 面 ，知 ， 面 ，由此能可知 是 与平面 所成角，由几何关系即可求出结果．（2）连接A1B，由 面 ，知 是面 与面 所成二面角的平面角，根据直角三角形的几何关系即可求出结果．
22．【答案】（1）解：以 为x轴， 为 轴， 为z轴建立空间直角坐标系
证明:设E是BD的中点， P—ABCD是正四棱锥，
∴
又 ， ∴PE=2∴P(1,1,4)
∴
∴ ， 即
（2）解：设平面PAD的法向量是 ，
∴y=0,x+2z=0取z=1得 ，
又平面 的法向量是
∴ ， ∴
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本试题主要是考查了线面垂直定理和二面角的平面角的求解的综合运用．（1）建立空间直角坐标系，然后利用点的坐标得到向量的坐标，运用数量积为零证明垂直的问题．（2）再运用向量的夹角公式表示二面角的平面角的求解的.
23．【答案】（1）解：以D为原点，以 所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 ，
则 , ,
设异面直线 与 所成角为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角为 ；
（2）解：设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，即 ，令 ，则 ，所以 ，
因为 ，
所以点 到平面 的距离 ，
（3）解：设平面 的法向量为 ， ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
所以 ，
设二面角 的大小为 ，则
，
所以
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】此几何体是长方体，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可
24．【答案】（1）解：因为 ，所以 ， ，
所以 是二面角 的平面角，
因为二面角 为直二面角，
所以 ，即 ．
如图，以 为正交基底，建立空间直角坐标系 ，
因为 是边长为3的等边三角形，且 ， ，
所以 ， ， ，所以 ，
则各点的坐标为 ， ， ， ，
所以 ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
即 ， ，令 ，则 ， ，
所以 是平面 的一个法向量，
因为平面 的法向量 ，
所以 ，
由图形可知，二面角 的余弦值为 ．
（2）解：设 ，则点 坐标为 ，
所以 ．
因为直线 与平面 所成的角为60°，
所以 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 无解，
所以线段 上不存在 ，使直线 与平面 所成的角为60°．
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由二面角的定义得 ，建立如图所示的空间直角坐标系，根据法向量的性质求出平面 的法向量 ，推出平面 的法向量为 ，然后根据空间向量数量积的坐标运算可得解；（2）设 ，则点 坐标为 ，从而得 ，由 ，建立关于 的方程，结合 可得结果.
1 / 1高中数学人教新课标A版 选修2-1 第三章空间向量与立体几何
一、单选题
1．（2020高一下·东莞月考）点 在空间直角坐标系中的位置是（　　）
A．y轴上 B． 平面上 C． 平面上 D． 平面上
【答案】C
【知识点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】 点 的纵坐标为0，横坐标和竖坐标不为0，
点 在 平面上.
故答案为：C.
【分析】根据点 的横坐标、纵坐标以及竖坐标的特点，可得点 的位置.
2．（2019高二上·金华月考）在空间直角坐标系中，点 与点 （　　）
A．关于 平面对称 B．关于 平面对称
C．关于 平面对称 D．关于 轴对称
【答案】C
【知识点】空间向量的正交分解及坐标表示
【解析】【解答】两个点 和 ， 两个坐标相同， 坐标相反，故关于 平面对称，故选C.
【分析】利用“关于哪个对称，哪个坐标就相同”，得出正确选项.
3．（2019高二上·辽宁月考）点 关于 平面的对称点为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由对称关系可知，点 关于 平面对称的点为
故答案为：
【分析】根据关于平面对称点的坐标的变化特征可直接写出结果.
4．（2020高一下·杭州月考）已知 ， ， =1，则向量 在 方向上的投影是（　　）
A． B．-1 C． D．1
【答案】D
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】根据向量数量积的几何意义，所以 在 方向上的投影为： 。
故答案为：D
【分析】向量数量积的几何意义结合向量投影的定义，从而结合已知条件求出向量 在 方向上的投影。
5．（2020高二上·无锡期末）已知向量 ， .若向量 与向量 平行，则实数 的值是（　　）
A．6 B．-6 C．4 D．-4
【答案】D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解： ，
又因为向量 与向量 平行
所以存在实数 ，使得
解得
故答案为：
【分析】求出向量 的坐标，利用向量共线定理即可得出．
6．（2019高二上·龙江月考）若 ， ， ，则 的值为（　　）
A．4 B．15 C．7 D．3
【答案】D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】依题意 ，所以 .
故选：D
【分析】先求得 ，由此求得 的值的值.
7．（2020高二上·天津期末）已知空间向量 , ,若 ,则实数 （　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：向量 ， ，
若 ，则 ，
解得 ．
故答案为： ．
【分析】根据 时， ，列方程求出 的值．
8．（2020高一下·七台河期末）直三棱柱 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】在直三棱柱 中， ，
取 中点O， ，则 ，
所以 ，
以 的中点O坐标原点， 为 轴， 为 轴，
以过点O垂直平面 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图：
则 ， ， ， ，
所以 ， ,
设异面直线 与 所成角为 ，
则 .
故答案为：D
【分析】以 的中点O坐标原点， 为x轴， 为y轴，以过点O垂直平面 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用 与 的数量积即可求解.
9．（2020高一下·七台河期末）在三棱柱 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面 的中心，则 与平面 所成角的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图，取BC中点E，则AE⊥平面 ，
AE⊥DE，因此直线 与平面 所成角即为∠ADE，
设AB=a，则 ，V，
即 ，
故∠ADE=60°，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合三棱柱的结构特征，取BC中点E，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，从而结合线面角的定义，推出 直线 与平面 所成角即为∠ADE，再利用正切函数的定义，从而求出直线 与平面 所成角的大小 。
10．（2020高一下·哈尔滨期末）在正方体 中， ，则点 到平面 的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】设点 到平面 的距离是 ,由等体积法 ,如图，
因为 ,
又
所以 ，
解得：
故答案为：A
【分析】由等体积法有 ,可求出答案.
11．（2020高一下·大庆期末）在四面体 中，已知棱 的长为 ，其余各棱长都为1，则二面角 的平面角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】由已知可得AD⊥DC，
又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，
则BE⊥CD，
在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角，
∵EF= （三角形ACD的中位线），BE= （正三角形BCD的高），BF= （等腰RT三角形ABC，F是斜边中点），
∴cos∠BEF= ，
故答案为：C．
【分析】由已知可得AD⊥DC，又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，
则BE⊥CD，在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角，再利用中位线的性质、正三角形的结构特征和等腰直角三角形的性质，结合余弦定理，从而求出二面角 的平面角的余弦值。
12．（2020高二下·浙江期末）已知三棱锥P—ABC中， ，底面△ABC中∠C=90°，设平面PAB，PBC，PCA与平面ABC所成的锐二面角分别为 ，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．当AC=BC时， D．当AC=BC时，
【答案】C
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】作 面 ， ，垂足分别为 .
均为锐角， 点O在三角形 的内部.如图所示：
连接 ，则 .
设 ，
.
三角形 为直角三角形， .
又 与 、 与 大小关系不确定，
与 、 与 大小关系不确定.
当AC=BC时， ,
均为锐角， .
故答案为：C.
【分析】作 面 ， ，垂足分别为 ，连接 ，则 .设 ，则 .由 ，则 ，又 ， 与 、 与 大小关系不确定，故 与 、 与 大小关系不确定. 当AC=BC时，可得 ，故 ，即得答案.
二、多选题
13．（2020高一下·扬州期末）如图，已知四棱锥 中， 平面 ，底面 为矩形， ， .若在直线 上存在两个不同点 ，使得直线 与平面 所成角都为 .则实数 的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A,B,C
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】假设在直线BC上有一点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角为 ，此时，易得 ，在 中，由于 ，可得 .
所以，在直线BC上存在两个不同点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角都为 ，等价于在直线BC上有两个点到点A的距离为 ，由此可得 .
故答案为：ABC
【分析】由题，可算得 ，在直线BC上存在两个不同点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角都为 ，等价于在直线BC上有两个点到点A的距离为 ，由此即可确定a的取值范围.
14．（2020高一下·苏州期末）如图，点 是正方体 的棱 的中点，点 在线段 上运动，则下列结论正确的是（　　）
A．直线 与直线 始终是异而直线
B．存在点 ，使得
C．四面体 的体积为定值
D．当 时，平面 平面
【答案】B,C,D
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；平面的法向量
【解析】【解答】解：
对于A选项，连接 交 与 ，当点 在 点时，直线 与直线 相交，A选项不正确；
对于C.选项，连接 ， 交于 ，此时 ，故线段 到平面 的距离为定值，所以四面体 的体积为定值，C选项正确；
以 为坐标原点，建立如图的坐标系，设正方体的边长为 ，则 ， ， ， ， ， ，
对于B选项， 存在点 ，使得 ，
则 ， ， ，所以 ，得 ，故当 满足 时， ，B选项正确；
对于D选项，当 满足 时， ，
， ，故平面 的法向量可求得为： ，
， ，故平面 的法向量可求得为： ，
所以 ，即平面 平面 ，D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据立体几何的知识，建立空间坐标系，逐个分析即可.
三、填空题
15．（2020高二下·徐汇期末）如图，以长方体 的顶点D为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为 ，则 的坐标为　 　
【答案】(-4,3,2)
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】如图所示，
以长方体 的顶点D为坐标原点，
过D的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
因为 的坐标为 ，所以 ,
所以 。
【分析】利用已知条件结合长方体的结构特征建立空间直角坐标系，再利用 的坐标为 ，从而推出点A,C的坐标，从而用向量的坐标表示，求出向量 的坐标。
16．（2020高二下·新余期末）已知直线l与平面 垂直，直线 的一个方向向量为 ，向量 与平面 平行，则 　 　.
【答案】3
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】因为直线l与平面 垂直， 为直线 的一个方向向量，向量 与平面 平行，
所以 ，
即 ，
解得
故答案为：3
【分析】根据向量的垂直关系计算即可.
17．（2020高一下·烟台期末）正四棱柱 中, 则 与平面 所成角的正弦值为　 　．
【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】连接 ,则 为 与平面 所成角，在 中，
【分析】利用正四棱柱的结构特征，连接 ,则 为 与平面 所成角，再利用直角三角形的勾股定理，从而求出的值，再利用正弦函数的定义，从而求出直线 与平面 所成角的正弦值。
18．（2020高二下·新余期末）如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为　 　．
【答案】
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】∵在一个60°的二面角的棱上，
有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，
且AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，
，
，
故答案为 ：。
【分析】利用已知条件结合二面角的平面角的作法，从而找出满足要求的二面角的平面角，再利用向量的三角形法则和数量积公式，结合向量的模与数量积的关系式，从而求出向量的模，进而求出线段CD的长。
四、解答题
19．（2019高二上·绥德月考）已知向量 =(1,-3,2), =(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
（1）求|2 + |;
（2）在直线AB上,是否存在一点E,使得 ⊥ (O为原点)
【答案】（1）解：2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),
故|2a+b|= =5
（2）解： +t =(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),
若 ⊥b,则 ·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t= ,因此存在点E,使得 ⊥b,此时点E的坐标为E
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据空间向量的坐标运算相应公式计算即可．（2）假设存在点E，则 +t ，再根据 ⊥b,建立方程可求出t= ．
20．已知
（1）若(k+)∥( 3) ，求实数 k 的值；
（2）若 ，求实数 的值．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
又 ， ，
解得 ．
（2）解：∵ ，∴ ，
即 ，解得
【知识点】空间向量的加减法；共面向量定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】首先直接利用坐标向量的相加减得到向量的坐标表示；
（1）坐标向量的共线关键是要找到唯一的一个实数；
（2）中根据坐标向量的垂直等价于向量的数量积为0得到答案.
21．（2020高一下·海林期末）在长方体 中， ， ，
（1）求 与平面 所成角的大小；
（2）求面 与面 所成二面角的大小.
【答案】（1）解：连接 交 于 ，
∵ 为长方体，而 ，则四边形 为正方形，∴ ，又∵ 面 ， 面 ，∴ ，∴ 面 ，
∴ 是 与平面 所成角. ∵四边形 为正方形，∴ ，则 与平面 所成角为
（2）解：连接 ，∵ 面 ， 、 面 ，∴ 、 ，
∴ 是面 与面 所成二面角的平面角.
在直角三角形 中，∵ ， ，∴ ，
即面 与面 所成的二面角为
【知识点】直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）连接 交 于 ，由题意易证四边形 为正方形，故 ，由 面 ，知 ， 面 ，由此能可知 是 与平面 所成角，由几何关系即可求出结果．（2）连接A1B，由 面 ，知 是面 与面 所成二面角的平面角，根据直角三角形的几何关系即可求出结果．
22．（2020高二下·广州期末）如图，P—ABCD是正四棱锥， 是正方体，其中
（1）求证： ；
（2）求平面PAD与平面 所成的锐二面角 的余弦值；
【答案】（1）解：以 为x轴， 为 轴， 为z轴建立空间直角坐标系
证明:设E是BD的中点， P—ABCD是正四棱锥，
∴
又 ， ∴PE=2∴P(1,1,4)
∴
∴ ， 即
（2）解：设平面PAD的法向量是 ，
∴y=0,x+2z=0取z=1得 ，
又平面 的法向量是
∴ ， ∴
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本试题主要是考查了线面垂直定理和二面角的平面角的求解的综合运用．（1）建立空间直角坐标系，然后利用点的坐标得到向量的坐标，运用数量积为零证明垂直的问题．（2）再运用向量的夹角公式表示二面角的平面角的求解的.
23．（2020高二下·上海期末）长方体 中， ， ．
（1）求异面直线 与 所成角；
（2）求点 到平面 的距离；
（3）求二面角 的大小
【答案】（1）解：以D为原点，以 所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 ，
则 , ,
设异面直线 与 所成角为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角为 ；
（2）解：设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，即 ，令 ，则 ，所以 ，
因为 ，
所以点 到平面 的距离 ，
（3）解：设平面 的法向量为 ， ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
所以 ，
设二面角 的大小为 ，则
，
所以
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】此几何体是长方体，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可
24．（2020高一下·苏州期末）如图所示，等边三角形 的边长为3，点 ， 分别是边 ， 上的点，满足 ， ．将 沿 折起到 的位置，使二面 为二面角，连接 ， ．
（1）求二面角 的余弦值；
（2）线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为60°？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：因为 ，所以 ， ，
所以 是二面角 的平面角，
因为二面角 为直二面角，
所以 ，即 ．
如图，以 为正交基底，建立空间直角坐标系 ，
因为 是边长为3的等边三角形，且 ， ，
所以 ， ， ，所以 ，
则各点的坐标为 ， ， ， ，
所以 ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
即 ， ，令 ，则 ， ，
所以 是平面 的一个法向量，
因为平面 的法向量 ，
所以 ，
由图形可知，二面角 的余弦值为 ．
（2）解：设 ，则点 坐标为 ，
所以 ．
因为直线 与平面 所成的角为60°，
所以 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 无解，
所以线段 上不存在 ，使直线 与平面 所成的角为60°．
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由二面角的定义得 ，建立如图所示的空间直角坐标系，根据法向量的性质求出平面 的法向量 ，推出平面 的法向量为 ，然后根据空间向量数量积的坐标运算可得解；（2）设 ，则点 坐标为 ，从而得 ，由 ，建立关于 的方程，结合 可得结果.
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