高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册直线和圆的方程单元测试 （含解析）

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册直线和圆的方程单元测试
一、单选题
1．已知圆的圆心坐标是,圆的圆心坐标是,若圆的半径为,圆的半径为,则圆与的位置关系是
A．外切 B．相离
C．内切 D．相交
2．圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3
C． D．
3．已知圆，，则这两圆的公共弦长为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
4．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B．4 C． D．
5．在平面直角坐标系中，若双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为
A． B． C． D．
6．在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）
A． B．
C． D．
8．直线关于点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知点，那么下面四个结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知曲线C的方程为，圆，则（ ）
A．C表示一条直线
B．当时，C与圆M有3个公共点
C．当时，存在圆N，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点
D．当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是
11．(多选)已知圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0与直线x－y＝1，则（ ）
A．圆心坐标为(1，－2)
B．圆心到直线的距离为
C．直线与圆相交
D．圆的半径为
12．（多选）已知直线，则下列说法正确的是（ ）．
A．直线的斜率可以等于0
B．若直线与轴的夹角为30°，则或
C．直线恒过点
D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则或
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为________．
14．过点，且垂直于向量的直线的点法向式方程是_____________．
15．若三点共线，则a的值为_________．
16．点关于直线对称的点的坐标是______．
四、解答题
17．已知圆：与：相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
18．过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B.
(1)若是等腰直角三角形，求直线l的方程；
(2)对于①最小，②面积最小，若选择___________作为条件，求直线l的方程.
19．已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
20．已知直线与圆交于两点．
（1）求出直线恒过定点的坐标
（2）求直线的斜率的取值范围
（3）若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
参考答案：
1．A
【解析】根据圆与圆的位置关系判断方法即可得出．
【详解】因为圆与的圆心距为：，而圆与的半径之和为，
所以圆与的位置关系是外切．
故选：A．
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系判断，属于基础题．
2．D
【分析】根据圆的标准方程，直接进行判断即可.
【详解】根据圆的标准方程可得，
的圆心坐标为，半径为，
故选：D.
3．C
【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长.
【详解】由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.
又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为.
故选：C.
4．A
【分析】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.
【详解】由题意圆心，圆C的半径为3，
故C到的距离为，
故所求弦长为.
故选：A.
5．B
【解析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.
【详解】双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为
可得： 可得 ，即
所以双曲线的离心率为： .
故选:B.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，焦点坐标，渐近线方程，还运用双曲线中焦点到渐近线的距离为以及点到直线的距离公式：.
6．A
【分析】如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线所成角大小.
【详解】设正方体的棱长为，连接，，，
因为，故或其补角为直线与直线所成角.
而，，，
故，所以，
所以，因为为锐角，故，
故选：A.
7．B
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解.
【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，
直线，整理为，
原点O到直线距离为，
故选：B
8．D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.
故选：D.
9．AD
【分析】分别计算,,,的斜率，根据斜率的关系判断．
【详解】因为，，即不在直线上，所以，故A正确，B错误；
又，，∴，∴，故D正确，C错误．
故选：AD．
10．BC
【分析】对于A，由，得，则表示两条直线；对于B，C，利用点到直线的距离公式进行判断；对于D，举反例判断即可
【详解】由，得，即，
则表示两条直线，其方程分别为与，所以A错误；
因为到直线的距离，所以当时，直线与圆相切，易知直线与圆相交，与圆有3个公共点，所以B正确；
当时，存在圆，使得圆内切于圆，且圆与这两条直线都相交，即与有4个公共点与圆的公共点的个数的最大值为4，所以C正确；
当时，圆与直线、 交于一点，所以公共点的个数为3，所以D错误，
故选：BC
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是对方程得，即，从而可得曲线表示的是直线与，从而进行分析即可，考查计算能力，属于中档题
11．AD
【分析】根据圆的方程，先求圆心和半径，再依次判断选项.
【详解】把圆的方程化为标准形式得(x－1)2＋(y＋2)2＝2，所以圆心坐标为(1，－2)，半径为，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝，直线与圆相切．
故选：AD
12．BD
【分析】讨论和时直线的斜率和截距情况，判断AD的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；将方程化为判断直线过定点，判断C的正误.
【详解】当时，直线，斜率不存在，
当时，直线的斜率为，不可能等于0，故A选项错误；
∵直线与轴的夹角角为30°，
∴直线的倾斜角为60°或120°，而直线的斜率为，
∴或，∴或，故B选项正确；
直线的方程可化为，所以直线过定点，故C选项错误；
当时，直线，在轴上的截距不存在，
当时，令，得，令，得，
令，得，故D选项正确．
故选：BD．
13．
【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．
【详解】直线被圆截得的弦长为，
所以，圆心到直线的距离，
即，解得．
设直线的倾斜角为，则，则．
因此，直线的倾斜角为．
故答案为：．
14．
【分析】由题意结合直线点法向式方程直接求解即可.
【详解】因为直线过点，且垂直于向量，
所以该直线的点法向式方程为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了点法向式方程的应用，关键是对概念的熟练掌握，属于基础题.
15．
【分析】由三点共线得，即可求出答案.
【详解】由三点共线
故
故答案为：.
16．
【分析】设点关于直线对称的点的坐标是，根据垂直和中点列方程组可求出结果.
【详解】设点关于直线对称的点的坐标是，
则，解得，
所以点关于直线对称的点的坐标是.
故答案为：
17．(1)x－2y＋4＝0
(2)
(3)
【分析】（1）两圆相减，可得公共弦所在直线方程；
（2）首先设圆系方程（为常数），根据圆心在直线上，求，即可求得圆的方程；
（3）面积最小的圆，就是以线段AB为直径的圆，即可求得圆心和半径.
（1）
将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．
（2）
设经过A、B两点的圆的方程为（为常数），
则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故，
解得，故所求方程为．
（3）
由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0，
与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为．
故面积最小的圆的方程为．
18．(1)
(2)选①：；选②：.
【分析】（1）由题意，求出直线l的倾斜角为，进而可得直线l的斜率，最后利用点斜式即可写出直线l的方程；
（2）设，，直线的方程为，把点代入可得，若选①：，由基本不等式等号成立的条件，即可求得直线l的方程；若选②：，由基本不等式等号成立的条件，即可求得直线l的方程．
（1）
解：因为过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A、B，且是等腰直角三角形，
所以直线l的倾斜角为，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即；
（2）
解：设，，直线l的方程为，代入点可得，
若选①：，当且仅当时等号成立，
此时直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即；
若选②：由，可得，当且仅当时等号成立，
所以，即面积最小为4，
此时直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即.
19．（1）；（2）．
【分析】（1）设圆C的方程为，圆C与y轴相切，则，圆心C在射线上，所以，根据弦长公式得，解方程组即可得结果；
（2）依题意得在线段的中垂线上，则，根据斜率关系即可求出参数值．
【详解】（1）设圆C的方程为
圆心C在射线上，所以
圆C与y轴相切，则
点到直线的距离 ，
由于截直线所得弦长为，所以
则得，又 所以(舍去)，
故圆C的方程为；
（2）由（1）得，因为，
所以在线段的中垂线上，则，
因为，所以 解得
【点睛】圆的弦长的常用求法：
(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则 ；
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：．
20．（1）；（2）；（3）为定值.
【分析】（1）将直线方程整理后可得方程组，解方程组可求得定点坐标；
（2）设直线方程，利用圆心到直线距离小于半径可构造不等式求得结果；
（3）可设直线方程，与圆方程联立得到韦达定理的形式，由整理可得定值.
【详解】（1）将直线方程整理为：，
令，解得：，直线恒过定点；
（2）设直线斜率为，由（1）可知：直线方程可设为：，即；
圆方程可整理为，则其圆心，半径，
直线与圆交于两点，圆心到直线距离，
即，解得：，即直线斜率的取值范围为；
（3）设，
当时，与圆仅有一个交点，不合题意，，
则直线，可设直线方程为，
由得：，由（2）知：；
，，
，
为定值.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆中的定值问题的求解，解题关键是能够将所求量表示成韦达定理的形式，通过韦达定理代入整理，消去变量即可得到定值.
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