初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.1.2 定理与证明
一、单选题
1．（2019八下·南浔期末）用反证法证明命题“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”，第一步应假设（ ）
A．这两条直线互相垂直 B．这两条直线互相平行
C．这两条直线不平行 D．这两条直线不垂直
2．（2019九上·萧山开学考）下列命题中，逆命题错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．有两对邻角互补的四边形是平行四边形
C．平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3．（2019八下·瑞安期末）下列选项，可以用来证明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题的反例是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝2，b＝1
C．a＝﹣3，b＝2 D．a＝﹣2，b＝3
4．（2019七下·河池期中）已知下列命题：
①相等的角是对顶角；②在同一平面内，若 ， ，则 ；③同旁内角互补；④互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直。其中，是真命题的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
5．（2019八上·松桃期中）“两点确定一条直线”这句话是（ ）
A．定理 B．基本事实 C．结论 D．定义
6．“a＜b”的反面是（ ）
A．a≠b B．a＞b C．a≥b D．a=b
二、填空题
7．（2019八下·义乌期末）
用反证法证明“a>b”时，首先应该假设 ．
8．（2019七下·孝南月考）把命题“等角的余角相等”写成“如果……，那么……”的形式为 .
三、解答题
9．叙述三角形的中位线定理，并结合图形进行证明．
定理：
证明：
10．（2019八上·贵州期中）证明:三角形内角和定理.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】 解：两条直线互相平行的反面应是两条直线不平行，同一平面内不平行有重合和
相交两种情况，其中相交包含垂直。
故答案为：C
【分析】 用反证法证明命，第一步应假结论的反面成立，两条直线互相平行的反面应是两条直线不平行。
2．【答案】C
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：A、逆命题是“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，正确，不符合题意；
B、逆命题是“平行四边形有两对邻角互补"，平行四边形共有四对邻角互补，∴有两对邻角互补是正确的，不符合题意；
C、逆命题是“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形"，如等腰梯形就是一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形，不正确，符合题意；
D、逆命题是“平行四边形的两组对边分别相等”，正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先分别写出逆命题，再根据平行四边形的判定定理或性质定理分别分析判断即可。
3．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、32=9>(-2)2=4, 3>2, 正确，不符合题意；
B、22=4>12=1, 2>1, 正确，不符合题意；
C、(-3)2=9>(2)2=4, -3<2, 错误，符合题意；
D、(-2)2=4<32=9, 条件不适合，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】把每个选项a、b的取值代入命题，逐一验证即可作答。
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质；邻补角；同旁内角；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①、相等的角不一定是对顶角，①错误；
②、在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c，②正确；
③、同旁内角不一定互补，③错误；
④、互为邻补角的两角的角平分线互相垂直，④正确，
故答案为：C.
【分析】①、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故①错误；
②、由平行于同一直线的两条直线互相平行可知：若a∥b，b∥c，则a∥c，②正确；
③、两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，故同旁内角不一定互补，③错误；
④、根据角平分线的定义及邻补角的定义可知：互为邻补角的两角的角平分线互相垂直，④正确。
5．【答案】B
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：“两点确定一条直线”这句话是基本事实；
故答案为：B.
【分析】“两点确定一条直线”是陈述句，是事实存在的，故是基本事实。
6．【答案】C
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：a＜b的反面是a=b或a＞b，即a≥b．
故答案为：C
【分析】a＜b的反面是a=b或a＞b，即a≥b．
7．【答案】a≤b
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据题意，用反证法首先应假设a≤b,
故答案为：a≤b .
【分析】用反证法证明时，应先假设命题的结论的反面成立，原命题的结论是 a> b,所以它的反面是a≤b，应先假设a≤b。
8．【答案】如果两个角相同(或相等),那么这两个角的余角相等.
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】两个角相等是题设部分，结论是它们的余角相等．
【分析】先找出命题的题设部分和结论，题设部分即两个角相等，结论是它们的余角相等，按照 “如果+题设部分，那么+结论”，进行补充即可。
9．【答案】解：定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，
求证：EF= AB，EF∥AB，
证明：如图，延长EF到D，使FD=EF，连接CD，
∵点F是AC的中点，
∴AF=CF，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（SAS），
∴AE=CD，∠D=∠AEF，
∴AB∥CD，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴BE=CD，
∴BECD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴DE∥BC且DE= BC．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】作出图形，然后写出已知、求证，延长EF到D，使FD=EF，利用“边角边”证明△AEF和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，全等三角形对应角相等可得∠D=∠AEF，再求出CE=CD，根据内错角相等，两直线平行判断出AB∥CD，然后判断出四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DE∥BC，DE=BC．
10．【答案】解：如图，已知△ABC，
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：如图，过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵∠1＋∠2＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
即三角形内角和等于180°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据题设和结论画出图形，同时写出已知求证；再进行证明， 过点A作EF∥BC， 利用平行线的性质，易证∠1＝∠B，∠2＝∠C，然后利用平角的定义及等量代换可证得结论。
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一、单选题
1．（2019八下·南浔期末）用反证法证明命题“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”，第一步应假设（ ）
A．这两条直线互相垂直 B．这两条直线互相平行
C．这两条直线不平行 D．这两条直线不垂直
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】 解：两条直线互相平行的反面应是两条直线不平行，同一平面内不平行有重合和
相交两种情况，其中相交包含垂直。
故答案为：C
【分析】 用反证法证明命，第一步应假结论的反面成立，两条直线互相平行的反面应是两条直线不平行。
2．（2019九上·萧山开学考）下列命题中，逆命题错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．有两对邻角互补的四边形是平行四边形
C．平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：A、逆命题是“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，正确，不符合题意；
B、逆命题是“平行四边形有两对邻角互补"，平行四边形共有四对邻角互补，∴有两对邻角互补是正确的，不符合题意；
C、逆命题是“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形"，如等腰梯形就是一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形，不正确，符合题意；
D、逆命题是“平行四边形的两组对边分别相等”，正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先分别写出逆命题，再根据平行四边形的判定定理或性质定理分别分析判断即可。
3．（2019八下·瑞安期末）下列选项，可以用来证明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题的反例是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝2，b＝1
C．a＝﹣3，b＝2 D．a＝﹣2，b＝3
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、32=9>(-2)2=4, 3>2, 正确，不符合题意；
B、22=4>12=1, 2>1, 正确，不符合题意；
C、(-3)2=9>(2)2=4, -3<2, 错误，符合题意；
D、(-2)2=4<32=9, 条件不适合，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】把每个选项a、b的取值代入命题，逐一验证即可作答。
4．（2019七下·河池期中）已知下列命题：
①相等的角是对顶角；②在同一平面内，若 ， ，则 ；③同旁内角互补；④互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直。其中，是真命题的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质；邻补角；同旁内角；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①、相等的角不一定是对顶角，①错误；
②、在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c，②正确；
③、同旁内角不一定互补，③错误；
④、互为邻补角的两角的角平分线互相垂直，④正确，
故答案为：C.
【分析】①、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故①错误；
②、由平行于同一直线的两条直线互相平行可知：若a∥b，b∥c，则a∥c，②正确；
③、两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，故同旁内角不一定互补，③错误；
④、根据角平分线的定义及邻补角的定义可知：互为邻补角的两角的角平分线互相垂直，④正确。
5．（2019八上·松桃期中）“两点确定一条直线”这句话是（ ）
A．定理 B．基本事实 C．结论 D．定义
【答案】B
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：“两点确定一条直线”这句话是基本事实；
故答案为：B.
【分析】“两点确定一条直线”是陈述句，是事实存在的，故是基本事实。
6．“a＜b”的反面是（ ）
A．a≠b B．a＞b C．a≥b D．a=b
【答案】C
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：a＜b的反面是a=b或a＞b，即a≥b．
故答案为：C
【分析】a＜b的反面是a=b或a＞b，即a≥b．
二、填空题
7．（2019八下·义乌期末）
用反证法证明“a>b”时，首先应该假设 ．
【答案】a≤b
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据题意，用反证法首先应假设a≤b,
故答案为：a≤b .
【分析】用反证法证明时，应先假设命题的结论的反面成立，原命题的结论是 a> b,所以它的反面是a≤b，应先假设a≤b。
8．（2019七下·孝南月考）把命题“等角的余角相等”写成“如果……，那么……”的形式为 .
【答案】如果两个角相同(或相等),那么这两个角的余角相等.
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】两个角相等是题设部分，结论是它们的余角相等．
【分析】先找出命题的题设部分和结论，题设部分即两个角相等，结论是它们的余角相等，按照 “如果+题设部分，那么+结论”，进行补充即可。
三、解答题
9．叙述三角形的中位线定理，并结合图形进行证明．
定理：
证明：
【答案】解：定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，
求证：EF= AB，EF∥AB，
证明：如图，延长EF到D，使FD=EF，连接CD，
∵点F是AC的中点，
∴AF=CF，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（SAS），
∴AE=CD，∠D=∠AEF，
∴AB∥CD，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴BE=CD，
∴BECD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴DE∥BC且DE= BC．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】作出图形，然后写出已知、求证，延长EF到D，使FD=EF，利用“边角边”证明△AEF和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，全等三角形对应角相等可得∠D=∠AEF，再求出CE=CD，根据内错角相等，两直线平行判断出AB∥CD，然后判断出四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DE∥BC，DE=BC．
10．（2019八上·贵州期中）证明:三角形内角和定理.
【答案】解：如图，已知△ABC，
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：如图，过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵∠1＋∠2＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
即三角形内角和等于180°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据题设和结论画出图形，同时写出已知求证；再进行证明， 过点A作EF∥BC， 利用平行线的性质，易证∠1＝∠B，∠2＝∠C，然后利用平角的定义及等量代换可证得结论。
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