2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
一、知识梳理
1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ______个 ______个 ______个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d___r d___r d___r
代数法：由 消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ___0 Δ___0 Δ___0
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图 示
d与 r1， r2的 关系 d＞ r1＋r2 d＝ r1＋r2 |r1－r2| ＜d＜ r1＋r2 d＝ |r1－r2| (r1≠r2) 0≤d＜ |r1－r2| (r1≠r2)
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
二、常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
3．圆系方程
(1)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．
三、核心考点
1、直线与圆的位置关系
例1判断直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系．
例2(2022·杭州模拟)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，求b的取值范围．
方法总结：判断直线与圆的位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．
(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．
①如果Δ<0，那么直线与圆相离；②如果Δ＝0，那么直线与圆相切；③如果Δ>0，那么直线与圆相交．
跟踪练习
1、直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
2、直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
3、已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， 则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
4、(2022·重庆巴蜀中学月考)直线l：mx＋(m＋1)y－5m－3＝0(m∈R)与圆O1：x2－6x＋y2－8y＋16＝0的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．与m有关
5、若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
6、(2022·宿州高三模拟)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是( )
A．(0，2] B．(1，2]
C．(0，2) D．(1，2)
7、直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )
A．0＜m≤1 B．－1＜m＜0
m＜1 D．－3＜m＜1
8、(2021·广东广州综合测试)若直线kx－y＋1＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共点，则实数k的取值范围是( )
A．[－3，＋∞) B．(－∞，－3]
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
9、若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
10、(2022·四川资阳、遂宁等七市联考)圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋＝0的距离为1的点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
11、(2022·陕西西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( )
A． B．
C． D．
12、(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有( )
A.直线l恒过定点(3，1)
B.直线l与圆C相切
C.直线l与圆C恒相交
D.直线l与圆C相离
13、(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )
A.0＜m＜1 B.－1＜m＜0
C.m＜1 D.－3＜m＜1
14、(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
15、两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________.
16、已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝_______，r＝________．
17、圆2x2＋2y2＝1与直线xsin θ＋y－1＝0的位置关系是___
18、(2020·浙江卷)已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝_________，b＝__________.
19、过点P的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，当∠ACB最小时，此时直线l的方程为______，∠ACB＝_______．
20、已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，直线l：(3m＋1)x＋(1－m)·y－4＝0.
(1)证明：直线l总与圆C相交；
(2)设直线l与圆C交于E，F两点，求△CEF面积最大时，直线l的方程．
2、圆的切线、弦长问题
例3过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________.
例4过x－y－2＝0上一点P(x0，y0)作直线与x2＋y2＝1相切于A，B两点．当x0＝3时，
（1）求切线长|PA|；
（2）当|PO|·|AB|最小时，求x0的值．
方法总结：圆的切线、弦长问题的解法
(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
跟踪练习
1、(2022·长沙市第一中学月考)已知圆x2＋y2＝25，则过圆上一点A的切线方程为( )
A．3x＋4y－25＝0 B．4x＋3y－24＝0
C．3x－4y＋7＝0 D．4x－3y＝0
2、过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
3、圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0被直线ax＋y－1＝0所截的线段长为2，则a＝( )
A．－ B．－ C. D．2
4、已知直线l：x＋my－1＝0与圆2＋2＝4相交于A，B两点，当AB取得最大值时，则m＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
5、已知圆(x－1)2＋y2＝4内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是( )
A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0
C．x＋y＋3＝0 D．x＝2
6、(2022·郑州调研)已知圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1与直线kx＋y＋1＝0相交于A，B两点，若△CAB为等边三角形，则k的值为( )
A.± B.±2 C.± D.±
7、(2022·天津市杨村第一中学月考)直线l：x＋y＋4－3a＝0与圆2＋y2＝9相交于A，B两点，则取最小值时，a的值是( )
A. B．－ C．－ D.
8、点P为射线x＝2(y≥0)上一点，过P作圆x2＋y2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P的坐标为( )
A.(2，1) B.(2，2) C.(2，) D.(2，0)
9、(2022·济南外国语学校高三测试)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0关于直线3x－2ay－11＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10、若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
11、(2022·惠州市高三第二次调研)已知直线l：ax－y＋2＝0与圆M：x2＋y2－4y＋3＝0的交点为A，B，点C是圆M上一动点，设点P，则|＋＋|的最大值为( )
A．9 B．10
C．11 D．12
12、(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A.圆M的圆心为(4，－3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.过原点的最短弦长为8
D.圆M被y轴截得的弦长为6
13、(多选)(2022·福州调研)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0，1)，则下列结论正确的是( )
A.实数a的取值范围为a＜3
B.实数a的取值范围为a＜5
C.直线l的方程为x＋y－1＝0
D.直线l的方程为x－y＋1＝0
14、(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：y－1＝k(x－3).则以下几个命题正确的有( )
A.直线l恒过定点(3，1)
B.圆C被y轴截得的弦长为4
C.直线l与圆C相交或相切
D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0
15、(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，|PB|＝3
D.当∠PBA最大时，|PB|＝3
16、已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为___x_____．
17、过点P(0，2)引一条直线l交圆(x－1)2＋y2＝4于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为___________．
18、在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为______.
19、点P在直线l：x＋y＝2上，过P作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAPB面积的最小值为________．
20、若一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为_______.
21、(2021·海南三模)已知点P(1，2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则实数k的取值范围是________.
22、已知直线l：kx＋y＋8k－2＝0过定点P，过点P向圆O：x2＋y2＝1作切线，切点分别为A，B，则弦AB所在的直线方程为________．
23、(2022·安徽省蚌埠市期末)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．
24、已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程；
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1).
25、(2022·重庆调研)已知A(2，0)，直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点.
(1)求|PA|的最大值与最小值；
(2)圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.
圆与圆的位置关系
例5 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
例6已知圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，
（1）求圆C1与圆C2公共弦所在直线的方程；
（2）求圆C1与圆C2公共弦长．
方法总结：圆与圆的位置关系求解策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
跟踪练习
(2022·蚌埠模拟)设圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与C2的位置关系是( )
A．相交 B．外离
C．外切 D．内含
2、圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
3、已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
4、已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则下列选项不正确的是( )
A．圆O与圆M有两条公切线
B．圆O与圆M关于直线AB对称
C．线段AB的长为
D．若E，F分别是圆O与圆M上的点，则|EF|的最大值为4＋
5、已知点A(m，m＋6)，B(m＋2，m＋8)，若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上存在不同的两点P，Q，使得PA⊥PB，且QA⊥QB，则m的取值范围是( )
A．(－2－，－2＋]
B．[－2－，－2＋)
C．(－2－，－2＋)
D．[－2－，－2＋]
6、两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________．
7、若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________．
若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．
8、圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
9、已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点.公共弦|AB|的长为________，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为________.
10、(2022·长沙调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋(y－1)2＝r2(r＞0)上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是_______.
11、在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.
12、已知圆A：x2＋(y＋1)2＝1，圆B：(x－4)2＋(y－3)2＝1.
(1)过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为，求直线l的斜率；
(2)若动圆P同时平分圆A与圆B的周长，
①求动圆圆心P的轨迹方程；
②问动圆P是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
一、知识梳理
1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法：由 消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图 示
d与 r1， r2的 关系 d＞ r1＋r2 d＝ r1＋r2 |r1－r2| ＜d＜ r1＋r2 d＝ |r1－r2| (r1≠r2) 0≤d＜ |r1－r2| (r1≠r2)
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
二、常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
3．圆系方程
(1)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．
三、核心考点
1、直线与圆的位置关系
例1判断直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系．
解：由消去y，
整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，
所以直线l与圆相交．
例2(2022·杭州模拟)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，求b的取值范围．
解：因为x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆，所以8－4b＞0，即b＜2.因为直线ax＋y＋a＋1＝0恒过定点(－1，－1)，所以点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部，所以6＋b＜0，解得b＜－6，所以b的取值范围是(－∞，－6)．
方法总结：判断直线与圆的位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．
(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．
①如果Δ<0，那么直线与圆相离；②如果Δ＝0，那么直线与圆相切；③如果Δ>0，那么直线与圆相交．
跟踪练习
1、直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( B )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
2、直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( A )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
3、已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， 则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( B )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
4、(2022·重庆巴蜀中学月考)直线l：mx＋(m＋1)y－5m－3＝0(m∈R)与圆O1：x2－6x＋y2－8y＋16＝0的位置关系是( A )
A．相交 B．相切
C．相离 D．与m有关
5、若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( A )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
6、(2022·宿州高三模拟)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是( C )
A．(0，2] B．(1，2]
C．(0，2) D．(1，2)
7、直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( B )
A．0＜m≤1 B．－1＜m＜0
m＜1 D．－3＜m＜1
8、(2021·广东广州综合测试)若直线kx－y＋1＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共点，则实数k的取值范围是( D )
A．[－3，＋∞) B．(－∞，－3]
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
9、若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( A )
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
10、(2022·四川资阳、遂宁等七市联考)圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋＝0的距离为1的点共有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
11、(2022·陕西西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( D )
A． B．
C． D．
12、(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有( AC )
A.直线l恒过定点(3，1)
B.直线l与圆C相切
C.直线l与圆C恒相交
D.直线l与圆C相离
13、(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( AB )
A.0＜m＜1 B.－1＜m＜0
C.m＜1 D.－3＜m＜1
14、(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( ABD )
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
15、两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是___内切_____.
16、已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝___－2_____，r＝___ _____．
17、圆2x2＋2y2＝1与直线xsin θ＋y－1＝0的位置关系是__相离__
18、(2020·浙江卷)已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝__________，b＝____－______.
19、过点P的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，当∠ACB最小时，此时直线l的方程为__x＋y－3＝0 ______，∠ACB＝________．
20、已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，直线l：(3m＋1)x＋(1－m)·y－4＝0.
(1)证明：直线l总与圆C相交；
(2)设直线l与圆C交于E，F两点，求△CEF面积最大时，直线l的方程．
解：(1)证明：因为圆C：x2＋(y－4)2＝4，所以圆心C(0，4)，半径r＝2，
因为直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0，
整理得(3x－y)m＋(x＋y－4)＝0，
令解得所以直线l过定点M(1，3)，
因为|CM|＝＝<2＝r，
所以定点M(1，3)在圆内，
所以直线l总与圆C相交．
(2)由题意S△CEF＝|CE|·|CF|·sin∠ECF＝r2·sin∠ECF，
当S△CEF最大时，∠ECF＝，此时△CEF是等腰直角三角形，
此时圆心C(0，4)到直线l的距离d等于r，即d＝.
因为圆心C(0，4)到直线l的距离
d＝＝，
所以＝，解得m＝－1，
将m＝－1代入直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0，得x－y＋2＝0，
所以当△CEF面积最大时直线l的方程为x－y＋2＝0.
2、圆的切线、弦长问题
例3过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________.
解：当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝1，解得k＝，
∴所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，
即4x－3y＋4＝0.
综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
例4过x－y－2＝0上一点P(x0，y0)作直线与x2＋y2＝1相切于A，B两点．当x0＝3时，
（1）求切线长|PA|；
（2）当|PO|·|AB|最小时，求x0的值．
解(1)当x0＝3时，y0＝1，即P(3，1)，
所以|PO|＝＝，
|PA|＝＝3；
（2）如图，PO⊥AB，PA⊥OA，PB⊥OB，
所以S四边形OAPB＝|PO|·|AB|＝|OA|·|PA|＋|OB|·|PB|＝|OA|·|PA|＝|PA|，
所以|PO|·|AB|＝2|PA|＝2＝2，
则当OP垂直于直线时，|PO|取得最小值为＝，
此时|PO|·|AB|取得最小值为2，且P的坐标为(1，－1)，即x0＝1.
方法总结：圆的切线、弦长问题的解法
(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
跟踪练习
1、(2022·长沙市第一中学月考)已知圆x2＋y2＝25，则过圆上一点A的切线方程为( A )
A．3x＋4y－25＝0 B．4x＋3y－24＝0
C．3x－4y＋7＝0 D．4x－3y＝0
2、过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( B )
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
3、圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0被直线ax＋y－1＝0所截的线段长为2，则a＝( A )
A．－ B．－ C. D．2
4、已知直线l：x＋my－1＝0与圆2＋2＝4相交于A，B两点，当AB取得最大值时，则m＝( C )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
5、已知圆(x－1)2＋y2＝4内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是( B )
A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0
C．x＋y＋3＝0 D．x＝2
6、(2022·郑州调研)已知圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1与直线kx＋y＋1＝0相交于A，B两点，若△CAB为等边三角形，则k的值为( A )
A.± B.±2 C.± D.±
7、(2022·天津市杨村第一中学月考)直线l：x＋y＋4－3a＝0与圆2＋y2＝9相交于A，B两点，则取最小值时，a的值是( D )
A. B．－ C．－ D.
8、点P为射线x＝2(y≥0)上一点，过P作圆x2＋y2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P的坐标为( C )
A.(2，1) B.(2，2) C.(2，) D.(2，0)
9、(2022·济南外国语学校高三测试)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0关于直线3x－2ay－11＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为( D )
A.1 B.2 C.3 D.4
10、若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是( C )
A．2 B．3
C．4 D．6
11、(2022·惠州市高三第二次调研)已知直线l：ax－y＋2＝0与圆M：x2＋y2－4y＋3＝0的交点为A，B，点C是圆M上一动点，设点P，则|＋＋|的最大值为( B )
A．9 B．10
C．11 D．12
12、(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( ABD )
A.圆M的圆心为(4，－3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.过原点的最短弦长为8
D.圆M被y轴截得的弦长为6
13、(多选)(2022·福州调研)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0，1)，则下列结论正确的是( AD )
A.实数a的取值范围为a＜3
B.实数a的取值范围为a＜5
C.直线l的方程为x＋y－1＝0
D.直线l的方程为x－y＋1＝0
14、(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：y－1＝k(x－3).则以下几个命题正确的有( ABD )
A.直线l恒过定点(3，1)
B.圆C被y轴截得的弦长为4
C.直线l与圆C相交或相切
D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0
15、(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( ACD )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，|PB|＝3
D.当∠PBA最大时，|PB|＝3
16、已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为___x＝3或4x＋3y－15＝0_____．
17、过点P(0，2)引一条直线l交圆(x－1)2＋y2＝4于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为____x＝0或3x＋4y－8＝0_______．
18、在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为__10____.
19、点P在直线l：x＋y＝2上，过P作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAPB面积的最小值为___1_____．
20、若一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为___－或－_____.
21、(2021·海南三模)已知点P(1，2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则实数k的取值范围是________.
22、已知直线l：kx＋y＋8k－2＝0过定点P，过点P向圆O：x2＋y2＝1作切线，切点分别为A，B，则弦AB所在的直线方程为___8x－2y＋1＝0_____．
23、(2022·安徽省蚌埠市期末)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．
解：(1)当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，符合题意；
当斜率存在时，设直线l的方程为kx－y－4k－1＝0，则圆心C到直线l的距离＝2，解得k＝－，所以l的方程为3x＋4y－8＝0.
综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.
(2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，圆心到直线l的距离d＝＝.
所以所求弦长为2×＝2.
24、已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程；
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1).
解 (1)设切线方程为x＋y＋b＝0(b≠－4)，
则＝，∴b＝1±2，
∴切线方程为x＋y＋1±2＝0.
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则＝，∴m＝±5，
∴切线方程为2x＋y±5＝0.
(3)∵kAC＝＝，
∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
25、(2022·重庆调研)已知A(2，0)，直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点.
(1)求|PA|的最大值与最小值；
(2)圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.
解 (1)∵直线4x＋3y＋1＝0
被圆C: (x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦长为4，∴圆心到直线的距离
d＝＝＝1.
∵m<3，∴m＝2，
∴|AC|＝＝，
∴|PA|的最大值与最小值分别为
＋，－.
(2)由(1)可得圆C的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13，令x＝0，得y＝0或4；令y＝0，得x＝0或－6，
∴圆C与坐标轴相交于三点M(0，4)，O(0，0)，N(－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝2，∴△MON内切圆的半径为＝5－.
圆与圆的位置关系
例5 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为
2×＝2.
例6已知圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，
（1）求圆C1与圆C2公共弦所在直线的方程；
（2）求圆C1与圆C2公共弦长．
解(1)联立两圆的方程得
两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程．
（2）设两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标满足方程组
解得或
所以|AB|＝＝2，
即公共弦长为2.
方法总结：圆与圆的位置关系求解策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
跟踪练习
1、(2022·蚌埠模拟)设圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与C2的位置关系是( B )
A．相交 B．外离
C．外切 D．内含
2、圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( B )
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
3、已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( B )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
4、已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则下列选项不正确的是( C )
A．圆O与圆M有两条公切线
B．圆O与圆M关于直线AB对称
C．线段AB的长为
D．若E，F分别是圆O与圆M上的点，则|EF|的最大值为4＋
5、已知点A(m，m＋6)，B(m＋2，m＋8)，若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上存在不同的两点P，Q，使得PA⊥PB，且QA⊥QB，则m的取值范围是( C )
A．(－2－，－2＋]
B．[－2－，－2＋)
C．(－2－，－2＋)
D．[－2－，－2＋]
6、两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是____内切____．
7、若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝___±2或0_____．
若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是____8____．
8、圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为__2______．
9、已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点.公共弦|AB|的长为___2_____，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为____(x＋2)2＋(y－1)2＝5____.
10、(2022·长沙调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋(y－1)2＝r2(r＞0)上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是___[－1，＋1]_____.
11、在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.
解 点C在直线l：y＝2x－4上，故设C的坐标为(a，2a－4).
因为半径r1＝1，所以圆C的方程是(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1.
设点M(x，y)，则由|MA|＝2|MO|可得点M的轨迹正是阿波罗尼斯圆D，
即＝2，
化简整理得x2＋(y＋1)2＝4.
所以点M(x，y)在以D(0，－1)为圆心，r2＝2为半径的圆上.
又点M(x，y)在圆C上，所以两圆有公共点的条件是|r1－r2|≤|DC|≤|r1＋r2|，
即1≤5a2－12a＋9≤9，解得0≤a≤.
即a的取值范围是.
12、已知圆A：x2＋(y＋1)2＝1，圆B：(x－4)2＋(y－3)2＝1.
(1)过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为，求直线l的斜率；
(2)若动圆P同时平分圆A与圆B的周长，
①求动圆圆心P的轨迹方程；
②问动圆P是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．
解：(1)由题意知，直线l的斜率存在，且圆心A(0，－1)，设直线l的方程为y＝kx－1，由弦长可得圆心B(4，3)到直线l的距离为，
即＝，化简得12k2－25k＋12＝0，
解得k＝或k＝.
(2)①由已知可得|PA|＝|PB|，故圆心P在线段AB的中垂线上．
因为直线AB的斜率为1，所以圆心P所在直线的斜率为－1，且该直线过点(2，1)，所以圆心P在直线x＋y－3＝0上．即动圆圆心P的轨迹方程为x＋y－3＝0.
②动圆P经过定点．设P(m，3－m)，则动圆P的半径为＝，
所以动圆P的方程为(x－m)2＋(y＋m－3)2＝m2＋(3－m＋1)2＋1，
即x2＋y2－6y－8－2m(x－y－1)＝0.
由得
或
故动圆P过定点(2＋，1＋)，(2－，1－)．
