2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册(含答案)

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名称 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册(含答案)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-10-12 15:07:31

文档简介

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
一、知识梳理
1.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ______个 ______个 ______个
判定方法 几何法:设圆心到直线的距离d= d___r d___r d___r
代数法:由 消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ___0 Δ___0 Δ___0
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图 示
d与 r1, r2的 关系 d> r1+r2 d= r1+r2 |r1-r2| <d< r1+r2 d= |r1-r2| (r1≠r2) 0≤d< |r1-r2| (r1≠r2)
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.
一元二次方程
二、常用结论
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2.两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线方程由①-②所得,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
3.圆系方程
(1)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);
(2)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).
三、核心考点
1、直线与圆的位置关系
例1判断直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系.
例2(2022·杭州模拟)若无论实数a取何值时,直线ax+y+a+1=0与圆x2+y2-2x-2y+b=0都相交,求b的取值范围.
方法总结:判断直线与圆的位置关系的方法
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.
(2)代数法:联立直线与圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断.
①如果Δ<0,那么直线与圆相离;②如果Δ=0,那么直线与圆相切;③如果Δ>0,那么直线与圆相交.
跟踪练习
1、直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为(  )
A.相切          B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
2、直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是(  )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
3、已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外, 则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(  )
A.相切           B.相交
C.相离 D.不确定
4、(2022·重庆巴蜀中学月考)直线l:mx+(m+1)y-5m-3=0(m∈R)与圆O1:x2-6x+y2-8y+16=0的位置关系是(  )
A.相交 B.相切
C.相离 D.与m有关
5、若直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系是(  )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
6、(2022·宿州高三模拟)若直线x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=m相离,则实数m的取值范围是(  )
A.(0,2] B.(1,2]
C.(0,2) D.(1,2)
7、直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是(  )
A.0<m≤1 B.-1<m<0
m<1 D.-3<m<1
8、(2021·广东广州综合测试)若直线kx-y+1=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0有公共点,则实数k的取值范围是(  )
A.[-3,+∞) B.(-∞,-3]
C.(0,+∞) D.(-∞,+∞)
9、若圆x2+y2=r2(r>0)上恒有4个点到直线x-y-2=0的距离为1,则实数r的取值范围是(  )
A.(+1,+∞) B.(-1,+1)
C.(0,-1) D.(0,+1)
10、(2022·四川资阳、遂宁等七市联考)圆x2+y2+2x-2y-2=0上到直线l:x+y+=0的距离为1的点共有(  )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
11、(2022·陕西西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为(  )
A. B.
C. D.
12、(多选)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.则以下几个命题正确的有(  )
A.直线l恒过定点(3,1)
B.直线l与圆C相切
C.直线l与圆C恒相交
D.直线l与圆C相离
13、(多选)直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是(  )
A.0<m<1 B.-1<m<0
C.m<1 D.-3<m<1
14、(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(  )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
15、两圆x2+y2-2y=0与x2+y2-4=0的位置关系是________.
16、已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=_______,r=________.
17、圆2x2+2y2=1与直线xsin θ+y-1=0的位置关系是___
18、(2020·浙江卷)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k=_________,b=__________.
19、过点P的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,当∠ACB最小时,此时直线l的方程为______,∠ACB=_______.
20、已知圆C:x2+(y-4)2=4,直线l:(3m+1)x+(1-m)·y-4=0.
(1)证明:直线l总与圆C相交;
(2)设直线l与圆C交于E,F两点,求△CEF面积最大时,直线l的方程.
2、圆的切线、弦长问题
例3过点P(2,4)引圆C:(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程为________.
例4过x-y-2=0上一点P(x0,y0)作直线与x2+y2=1相切于A,B两点.当x0=3时,
(1)求切线长|PA|;
(2)当|PO|·|AB|最小时,求x0的值.
方法总结:圆的切线、弦长问题的解法
(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题.
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.
跟踪练习
1、(2022·长沙市第一中学月考)已知圆x2+y2=25,则过圆上一点A的切线方程为(  )
A.3x+4y-25=0      B.4x+3y-24=0
C.3x-4y+7=0 D.4x-3y=0
2、过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为(  )
A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0
C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0
3、圆x2+y2-2x-8y+13=0被直线ax+y-1=0所截的线段长为2,则a=(  )
A.- B.- C. D.2
4、已知直线l:x+my-1=0与圆2+2=4相交于A,B两点,当AB取得最大值时,则m=(  )
A.-3    B.-1    C.1    D.3
5、已知圆(x-1)2+y2=4内一点P(2,1),则过P点的最短弦所在的直线方程是(  )
A.x-y-1=0 B.x+y-3=0
C.x+y+3=0 D.x=2
6、(2022·郑州调研)已知圆C:(x-1)2+(y+1)2=1与直线kx+y+1=0相交于A,B两点,若△CAB为等边三角形,则k的值为(  )
A.± B.±2 C.± D.±
7、(2022·天津市杨村第一中学月考)直线l:x+y+4-3a=0与圆2+y2=9相交于A,B两点,则取最小值时,a的值是(  )
A. B.- C.- D.
8、点P为射线x=2(y≥0)上一点,过P作圆x2+y2=3的两条切线,若两条切线的夹角为90°,则点P的坐标为(  )
A.(2,1) B.(2,2) C.(2,) D.(2,0)
9、(2022·济南外国语学校高三测试)已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-2ay-11=0对称,则圆C中以为中点的弦长为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
10、若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点向圆所作的切线长的最小值是(  )
A.2 B.3
C.4 D.6
11、(2022·惠州市高三第二次调研)已知直线l:ax-y+2=0与圆M:x2+y2-4y+3=0的交点为A,B,点C是圆M上一动点,设点P,则|++|的最大值为(  )
A.9 B.10
C.11 D.12
12、(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是(  )
A.圆M的圆心为(4,-3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.过原点的最短弦长为8
D.圆M被y轴截得的弦长为6
13、(多选)(2022·福州调研)已知直线l与圆C:x2+y2+2x-4y+a=0相交于A,B两点,弦AB的中点为M(0,1),则下列结论正确的是(  )
A.实数a的取值范围为a<3
B.实数a的取值范围为a<5
C.直线l的方程为x+y-1=0
D.直线l的方程为x-y+1=0
14、(多选)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:y-1=k(x-3).则以下几个命题正确的有(  )
A.直线l恒过定点(3,1)
B.圆C被y轴截得的弦长为4
C.直线l与圆C相交或相切
D.直线l被圆C截得弦长最短时,直线l的方程为2x-y-5=0
15、(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(  )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
16、已知圆C:x2+y2=9,过点P(3,1)作圆C的切线,则切线方程为___x_____.
17、过点P(0,2)引一条直线l交圆(x-1)2+y2=4于A,B两点,若|AB|=2,则直线l的方程为___________.
18、在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为______.
19、点P在直线l:x+y=2上,过P作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则四边形OAPB面积的最小值为________.
20、若一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为_______.
21、(2021·海南三模)已知点P(1,2)和圆C:x2+y2+kx+2y+k2=0,过点P作圆C的切线有两条,则实数k的取值范围是________.
22、已知直线l:kx+y+8k-2=0过定点P,过点P向圆O:x2+y2=1作切线,切点分别为A,B,则弦AB所在的直线方程为________.
23、(2022·安徽省蚌埠市期末)已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=4外有一点P(4,-1),过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时,求直线l的方程;
(2)当直线l的倾斜角为135°时,求直线l被圆C所截得的弦长.
24、已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=10,求满足下列条件的圆的切线方程;
(1)与直线l1:x+y-4=0平行;
(2)与直线l2:x-2y+4=0垂直;
(3)过切点A(4,-1).
25、(2022·重庆调研)已知A(2,0),直线4x+3y+1=0被圆C:(x+3)2+(y-m)2=13(m<3)所截得的弦长为4,且P为圆C上任意一点.
(1)求|PA|的最大值与最小值;
(2)圆C与坐标轴相交于三点,求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.
圆与圆的位置关系
例5 已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求:
(1)m取何值时两圆外切?
(2)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
例6已知圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0,
(1)求圆C1与圆C2公共弦所在直线的方程;
(2)求圆C1与圆C2公共弦长.
方法总结:圆与圆的位置关系求解策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.
跟踪练习
(2022·蚌埠模拟)设圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-2)2+(y+2)2=1,则圆C1与C2的位置关系是(  )
A.相交           B.外离
C.外切 D.内含
2、圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是(  )
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
3、已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(  )
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
4、已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+1=0相交于A,B两点,则下列选项不正确的是(  )
A.圆O与圆M有两条公切线
B.圆O与圆M关于直线AB对称
C.线段AB的长为
D.若E,F分别是圆O与圆M上的点,则|EF|的最大值为4+
5、已知点A(m,m+6),B(m+2,m+8),若圆C:x2+y2-4x-4y-10=0上存在不同的两点P,Q,使得PA⊥PB,且QA⊥QB,则m的取值范围是(  )
A.(-2-,-2+]
B.[-2-,-2+)
C.(-2-,-2+)
D.[-2-,-2+]
6、两圆x2+y2-2y=0与x2+y2-4=0的位置关系是________.
7、若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数a=________.
若A为圆C1:x2+y2=1上的动点,B为圆C2:(x-3)2+(y+4)2=4上的动点,则线段AB长度的最大值是________.
8、圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦长为________.
9、已知圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于A,B两点.公共弦|AB|的长为________,经过A,B两点且面积最小的圆的方程为________.
10、(2022·长沙调研)在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)上存在点P,且点P关于直线x-y=0的对称点Q在圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,则r的取值范围是_______.
11、在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.
12、已知圆A:x2+(y+1)2=1,圆B:(x-4)2+(y-3)2=1.
(1)过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为,求直线l的斜率;
(2)若动圆P同时平分圆A与圆B的周长,
①求动圆圆心P的轨迹方程;
②问动圆P是否过定点?若经过,求出定点坐标;若不经过,请说明理由.2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
一、知识梳理
1.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法:设圆心到直线的距离d= d<r d=r d>r
代数法:由 消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图 示
d与 r1, r2的 关系 d> r1+r2 d= r1+r2 |r1-r2| <d< r1+r2 d= |r1-r2| (r1≠r2) 0≤d< |r1-r2| (r1≠r2)
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.
一元二次方程
二、常用结论
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2.两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线方程由①-②所得,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
3.圆系方程
(1)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);
(2)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).
三、核心考点
1、直线与圆的位置关系
例1判断直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系.
解:由消去y,
整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,
因为Δ=16m2+20>0,
所以直线l与圆相交.
例2(2022·杭州模拟)若无论实数a取何值时,直线ax+y+a+1=0与圆x2+y2-2x-2y+b=0都相交,求b的取值范围.
解:因为x2+y2-2x-2y+b=0表示圆,所以8-4b>0,即b<2.因为直线ax+y+a+1=0恒过定点(-1,-1),所以点(-1,-1)在圆x2+y2-2x-2y+b=0的内部,所以6+b<0,解得b<-6,所以b的取值范围是(-∞,-6).
方法总结:判断直线与圆的位置关系的方法
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.
(2)代数法:联立直线与圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断.
①如果Δ<0,那么直线与圆相离;②如果Δ=0,那么直线与圆相切;③如果Δ>0,那么直线与圆相交.
跟踪练习
1、直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为( B )
A.相切          B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
2、直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是( A )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
3、已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外, 则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( B )
A.相切           B.相交
C.相离 D.不确定
4、(2022·重庆巴蜀中学月考)直线l:mx+(m+1)y-5m-3=0(m∈R)与圆O1:x2-6x+y2-8y+16=0的位置关系是( A )
A.相交 B.相切
C.相离 D.与m有关
5、若直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系是( A )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
6、(2022·宿州高三模拟)若直线x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=m相离,则实数m的取值范围是( C )
A.(0,2] B.(1,2]
C.(0,2) D.(1,2)
7、直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( B )
A.0<m≤1 B.-1<m<0
m<1 D.-3<m<1
8、(2021·广东广州综合测试)若直线kx-y+1=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0有公共点,则实数k的取值范围是( D )
A.[-3,+∞) B.(-∞,-3]
C.(0,+∞) D.(-∞,+∞)
9、若圆x2+y2=r2(r>0)上恒有4个点到直线x-y-2=0的距离为1,则实数r的取值范围是( A )
A.(+1,+∞) B.(-1,+1)
C.(0,-1) D.(0,+1)
10、(2022·四川资阳、遂宁等七市联考)圆x2+y2+2x-2y-2=0上到直线l:x+y+=0的距离为1的点共有( C )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
11、(2022·陕西西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为( D )
A. B.
C. D.
12、(多选)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.则以下几个命题正确的有( AC )
A.直线l恒过定点(3,1)
B.直线l与圆C相切
C.直线l与圆C恒相交
D.直线l与圆C相离
13、(多选)直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( AB )
A.0<m<1 B.-1<m<0
C.m<1 D.-3<m<1
14、(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( ABD )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
15、两圆x2+y2-2y=0与x2+y2-4=0的位置关系是___内切_____.
16、已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=___-2_____,r=___ _____.
17、圆2x2+2y2=1与直线xsin θ+y-1=0的位置关系是__相离__
18、(2020·浙江卷)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k=__________,b=____-______.
19、过点P的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,当∠ACB最小时,此时直线l的方程为__x+y-3=0 ______,∠ACB=________.
20、已知圆C:x2+(y-4)2=4,直线l:(3m+1)x+(1-m)·y-4=0.
(1)证明:直线l总与圆C相交;
(2)设直线l与圆C交于E,F两点,求△CEF面积最大时,直线l的方程.
解:(1)证明:因为圆C:x2+(y-4)2=4,所以圆心C(0,4),半径r=2,
因为直线l:(3m+1)x+(1-m)y-4=0,
整理得(3x-y)m+(x+y-4)=0,
令解得所以直线l过定点M(1,3),
因为|CM|==<2=r,
所以定点M(1,3)在圆内,
所以直线l总与圆C相交.
(2)由题意S△CEF=|CE|·|CF|·sin∠ECF=r2·sin∠ECF,
当S△CEF最大时,∠ECF=,此时△CEF是等腰直角三角形,
此时圆心C(0,4)到直线l的距离d等于r,即d=.
因为圆心C(0,4)到直线l的距离
d==,
所以=,解得m=-1,
将m=-1代入直线l:(3m+1)x+(1-m)y-4=0,得x-y+2=0,
所以当△CEF面积最大时直线l的方程为x-y+2=0.
2、圆的切线、弦长问题
例3过点P(2,4)引圆C:(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程为________.
解:当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,此时,圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切,符合题意;当直线的斜率存在时,设直线方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径,即d===1,解得k=,
∴所求切线方程为x-y+4-2×=0,
即4x-3y+4=0.
综上,切线方程为x=2或4x-3y+4=0.
例4过x-y-2=0上一点P(x0,y0)作直线与x2+y2=1相切于A,B两点.当x0=3时,
(1)求切线长|PA|;
(2)当|PO|·|AB|最小时,求x0的值.
解(1)当x0=3时,y0=1,即P(3,1),
所以|PO|==,
|PA|==3;
(2)如图,PO⊥AB,PA⊥OA,PB⊥OB,
所以S四边形OAPB=|PO|·|AB|=|OA|·|PA|+|OB|·|PB|=|OA|·|PA|=|PA|,
所以|PO|·|AB|=2|PA|=2=2,
则当OP垂直于直线时,|PO|取得最小值为=,
此时|PO|·|AB|取得最小值为2,且P的坐标为(1,-1),即x0=1.
方法总结:圆的切线、弦长问题的解法
(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题.
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.
跟踪练习
1、(2022·长沙市第一中学月考)已知圆x2+y2=25,则过圆上一点A的切线方程为( A )
A.3x+4y-25=0      B.4x+3y-24=0
C.3x-4y+7=0 D.4x-3y=0
2、过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为( B )
A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0
C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0
3、圆x2+y2-2x-8y+13=0被直线ax+y-1=0所截的线段长为2,则a=( A )
A.- B.- C. D.2
4、已知直线l:x+my-1=0与圆2+2=4相交于A,B两点,当AB取得最大值时,则m=( C )
A.-3    B.-1    C.1    D.3
5、已知圆(x-1)2+y2=4内一点P(2,1),则过P点的最短弦所在的直线方程是( B )
A.x-y-1=0 B.x+y-3=0
C.x+y+3=0 D.x=2
6、(2022·郑州调研)已知圆C:(x-1)2+(y+1)2=1与直线kx+y+1=0相交于A,B两点,若△CAB为等边三角形,则k的值为( A )
A.± B.±2 C.± D.±
7、(2022·天津市杨村第一中学月考)直线l:x+y+4-3a=0与圆2+y2=9相交于A,B两点,则取最小值时,a的值是( D )
A. B.- C.- D.
8、点P为射线x=2(y≥0)上一点,过P作圆x2+y2=3的两条切线,若两条切线的夹角为90°,则点P的坐标为( C )
A.(2,1) B.(2,2) C.(2,) D.(2,0)
9、(2022·济南外国语学校高三测试)已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-2ay-11=0对称,则圆C中以为中点的弦长为( D )
A.1 B.2 C.3 D.4
10、若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点向圆所作的切线长的最小值是( C )
A.2 B.3
C.4 D.6
11、(2022·惠州市高三第二次调研)已知直线l:ax-y+2=0与圆M:x2+y2-4y+3=0的交点为A,B,点C是圆M上一动点,设点P,则|++|的最大值为( B )
A.9 B.10
C.11 D.12
12、(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是( ABD )
A.圆M的圆心为(4,-3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.过原点的最短弦长为8
D.圆M被y轴截得的弦长为6
13、(多选)(2022·福州调研)已知直线l与圆C:x2+y2+2x-4y+a=0相交于A,B两点,弦AB的中点为M(0,1),则下列结论正确的是( AD )
A.实数a的取值范围为a<3
B.实数a的取值范围为a<5
C.直线l的方程为x+y-1=0
D.直线l的方程为x-y+1=0
14、(多选)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:y-1=k(x-3).则以下几个命题正确的有( ABD )
A.直线l恒过定点(3,1)
B.圆C被y轴截得的弦长为4
C.直线l与圆C相交或相切
D.直线l被圆C截得弦长最短时,直线l的方程为2x-y-5=0
15、(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则( ACD )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
16、已知圆C:x2+y2=9,过点P(3,1)作圆C的切线,则切线方程为___x=3或4x+3y-15=0_____.
17、过点P(0,2)引一条直线l交圆(x-1)2+y2=4于A,B两点,若|AB|=2,则直线l的方程为____x=0或3x+4y-8=0_______.
18、在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为__10____.
19、点P在直线l:x+y=2上,过P作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则四边形OAPB面积的最小值为___1_____.
20、若一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为___-或-_____.
21、(2021·海南三模)已知点P(1,2)和圆C:x2+y2+kx+2y+k2=0,过点P作圆C的切线有两条,则实数k的取值范围是________.
22、已知直线l:kx+y+8k-2=0过定点P,过点P向圆O:x2+y2=1作切线,切点分别为A,B,则弦AB所在的直线方程为___8x-2y+1=0_____.
23、(2022·安徽省蚌埠市期末)已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=4外有一点P(4,-1),过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时,求直线l的方程;
(2)当直线l的倾斜角为135°时,求直线l被圆C所截得的弦长.
解:(1)当斜率不存在时,直线l的方程为x=4,符合题意;
当斜率存在时,设直线l的方程为kx-y-4k-1=0,则圆心C到直线l的距离=2,解得k=-,所以l的方程为3x+4y-8=0.
综上,直线l的方程为x=4或3x+4y-8=0.
(2)当直线l的倾斜角为135°时,直线l的方程为x+y-3=0,圆心到直线l的距离d==.
所以所求弦长为2×=2.
24、已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=10,求满足下列条件的圆的切线方程;
(1)与直线l1:x+y-4=0平行;
(2)与直线l2:x-2y+4=0垂直;
(3)过切点A(4,-1).
解 (1)设切线方程为x+y+b=0(b≠-4),
则=,∴b=1±2,
∴切线方程为x+y+1±2=0.
(2)设切线方程为2x+y+m=0,
则=,∴m=±5,
∴切线方程为2x+y±5=0.
(3)∵kAC==,
∴过切点A(4,-1)的切线斜率为-3,
∴过切点A(4,-1)的切线方程为y+1=-3(x-4),
即3x+y-11=0.
25、(2022·重庆调研)已知A(2,0),直线4x+3y+1=0被圆C:(x+3)2+(y-m)2=13(m<3)所截得的弦长为4,且P为圆C上任意一点.
(1)求|PA|的最大值与最小值;
(2)圆C与坐标轴相交于三点,求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.
解 (1)∵直线4x+3y+1=0
被圆C: (x+3)2+(y-m)2=13(m<3)所截得的弦长为4,∴圆心到直线的距离
d===1.
∵m<3,∴m=2,
∴|AC|==,
∴|PA|的最大值与最小值分别为
+,-.
(2)由(1)可得圆C的方程为(x+3)2+(y-2)2=13,令x=0,得y=0或4;令y=0,得x=0或-6,
∴圆C与坐标轴相交于三点M(0,4),O(0,0),N(-6,0),∴△MON为直角三角形,斜边|MN|=2,∴△MON内切圆的半径为=5-.
圆与圆的位置关系
例5 已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求:
(1)m取何值时两圆外切?
(2)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解 两圆的标准方程分别为
(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,
圆心分别为M(1,3),N(5,6),
半径分别为和.
(1)当两圆外切时,
=+.
解得m=25+10.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系,不难求得公共弦的长为
2×=2.
例6已知圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0,
(1)求圆C1与圆C2公共弦所在直线的方程;
(2)求圆C1与圆C2公共弦长.
解(1)联立两圆的方程得
两式相减并化简,得x-2y+4=0,此即两圆公共弦所在直线的方程.
(2)设两圆相交于A,B两点,则A,B两点的坐标满足方程组
解得或
所以|AB|==2,
即公共弦长为2.
方法总结:圆与圆的位置关系求解策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.
跟踪练习
1、(2022·蚌埠模拟)设圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-2)2+(y+2)2=1,则圆C1与C2的位置关系是( B )
A.相交           B.外离
C.外切 D.内含
2、圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是( B )
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
3、已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( B )
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
4、已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+1=0相交于A,B两点,则下列选项不正确的是( C )
A.圆O与圆M有两条公切线
B.圆O与圆M关于直线AB对称
C.线段AB的长为
D.若E,F分别是圆O与圆M上的点,则|EF|的最大值为4+
5、已知点A(m,m+6),B(m+2,m+8),若圆C:x2+y2-4x-4y-10=0上存在不同的两点P,Q,使得PA⊥PB,且QA⊥QB,则m的取值范围是( C )
A.(-2-,-2+]
B.[-2-,-2+)
C.(-2-,-2+)
D.[-2-,-2+]
6、两圆x2+y2-2y=0与x2+y2-4=0的位置关系是____内切____.
7、若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数a=___±2或0_____.
若A为圆C1:x2+y2=1上的动点,B为圆C2:(x-3)2+(y+4)2=4上的动点,则线段AB长度的最大值是____8____.
8、圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦长为__2______.
9、已知圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于A,B两点.公共弦|AB|的长为___2_____,经过A,B两点且面积最小的圆的方程为____(x+2)2+(y-1)2=5____.
10、(2022·长沙调研)在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)上存在点P,且点P关于直线x-y=0的对称点Q在圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,则r的取值范围是___[-1,+1]_____.
11、在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.
解 点C在直线l:y=2x-4上,故设C的坐标为(a,2a-4).
因为半径r1=1,所以圆C的方程是(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.
设点M(x,y),则由|MA|=2|MO|可得点M的轨迹正是阿波罗尼斯圆D,
即=2,
化简整理得x2+(y+1)2=4.
所以点M(x,y)在以D(0,-1)为圆心,r2=2为半径的圆上.
又点M(x,y)在圆C上,所以两圆有公共点的条件是|r1-r2|≤|DC|≤|r1+r2|,
即1≤5a2-12a+9≤9,解得0≤a≤.
即a的取值范围是.
12、已知圆A:x2+(y+1)2=1,圆B:(x-4)2+(y-3)2=1.
(1)过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为,求直线l的斜率;
(2)若动圆P同时平分圆A与圆B的周长,
①求动圆圆心P的轨迹方程;
②问动圆P是否过定点?若经过,求出定点坐标;若不经过,请说明理由.
解:(1)由题意知,直线l的斜率存在,且圆心A(0,-1),设直线l的方程为y=kx-1,由弦长可得圆心B(4,3)到直线l的距离为,
即=,化简得12k2-25k+12=0,
解得k=或k=.
(2)①由已知可得|PA|=|PB|,故圆心P在线段AB的中垂线上.
因为直线AB的斜率为1,所以圆心P所在直线的斜率为-1,且该直线过点(2,1),所以圆心P在直线x+y-3=0上.即动圆圆心P的轨迹方程为x+y-3=0.
②动圆P经过定点.设P(m,3-m),则动圆P的半径为=,
所以动圆P的方程为(x-m)2+(y+m-3)2=m2+(3-m+1)2+1,
即x2+y2-6y-8-2m(x-y-1)=0.
由得

故动圆P过定点(2+,1+),(2-,1-).