函数的奇偶性
知识梳理
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
题型一 函数的奇偶性
例 1 （1）判断下列函数的奇偶性．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)奇函数
(2)既不是奇函数也不是偶函数
(3)既是奇函数又是偶函数
(4)偶函数
【分析】由奇偶性的定义对各个题一一判断即可得出答案.
（1）
的定义域是，关于原点对称，
又，所以是奇函数．
（2）
因为的定义域为，不关于原点对称，
所以既不是奇函数也不是偶函数．
（3）
因为的定义域为，所以，
则既是奇函数又是偶函数．
（4）
方法一（定义法） 因为函数的定义域为R，所以函数的定义域关于原点对称．
①当x＞1时，，所以；
②当时，；
③当时，，所以．
综上，可知函数为偶函数．
方法二（图象法） 作出函数的图象，如图所示，易知函数为偶函数．
（2）已知与分别是定义在R上的偶函数和奇函数，将下图补充完整．
【答案】见解析
【分析】利用函数的奇偶性的性质可得函数在另一则的图象.
【详解】偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称，
故可得的图象如图所示：
巩固训练
1.判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【答案】（1）奇函数
（2）既不是奇函数也不是偶函数
（3）既是奇函数又是偶函数
（4）奇函数
【分析】根据函数奇偶性的概念，逐问判断即可.
【详解】（1）由，得，且，
所以的定义域为，关于原点对称，
所以.
又，所以是奇函数.
（2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.
（3）对于函数，，其定义域为，关于原点对称.
因为对定义域内的每一个，都有，所以，，
所以既是奇函数又是偶函数.
（4）函数的定义域为，定义域关于原点对称.
①当时，，
所以，，所以；
②当时，，所以；
③当时，，所以.
综上，可知函数为奇函数.
2.设为定义在R上的偶函数，当时，；当时，，直线与抛物线的一个交点为，如图所示.
(1)补全的图像，写出的递增区间（不需要证明）；
(2)根据图象写出不等式的解集
【答案】(1)图像见解析，单调增区间为，
(2)
【分析】（1）由偶函数的图象关于轴对称可补全图象，然后写出递增区间；
（2）根据图象写出答案即可.
(1)
函数图象如图所示：
观察可知的单调增区间为，
(2)
当时，，可得，即
根据函数图象可得，当或时，
所以的解集为
题型二 函数奇偶性的应用
例2 （1）已知是R上的奇函数，是上的偶函数.若,则.
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由是奇函数，有.又是偶函数，有.
在中，以代，
得,
即.
故. 选A.
（2）若函数是偶函数，函数是奇函数，则（ ）
A．函数是奇函数 B．函数是奇函数
C．函数是奇函数 D．函数是奇函数
【答案】B
【分析】由奇偶性定义可知，，根据奇偶性定义依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】是偶函数，是奇函数，，；
对于A，，A错误；
对于B，，是奇函数，B正确；
对于C，，是偶函数，C错误；
对于D，，是偶函数，D错误.
故选：B.
（3）若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义可得，整理化简可求得a的值，即得答案.
【详解】由函数为奇函数，可得，
所以，
所以，化简得恒成立，
所以，即,
经验证，定义域关于原点对称，且满足，故；
故选:A．
（4）已知是定义在上的奇函数，且，则与的大小关系是______．（填“>”“=”或“<”）
【答案】＞
【分析】利用奇函数的性质与不等式的性质即可求得.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，．
又，所以，即．
故答案为：＞.
（5）已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______.
【答案】
【分析】把不等式化成不等式组，再利用函数的奇偶性、单调性求解作答.
【详解】因为奇函数，且在上是增函数，，
则在上是增函数，且，
不等式化为： 或 ，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：
巩固训练
3.设为奇函数，当时，，则=_______
【答案】
【分析】根据奇偶性的定义，求得解析式.
【详解】由于是定义在上的奇函数，所以.当时，，所以.所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求函数解析式，属于基础题.
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，，则不等式 x·f(x)＞0 的解集为_______________.
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性，单调性以及符号法则即可解出．
【详解】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，，所以，且在上单调递增．因此，当时，，当时，，当时，，当时，，
所以x·f(x)＞0 的解集为．
故答案为：．
5.已知，且，那么___________
【答案】
【分析】设，得到，且求得，进而求得的值，得到答案.
【详解】设，则，
易得定义域为R，又，
所以函数为奇函数，
又因为，即，可得，所以，
则.
故答案为：.
6.设函数f（x），a∈R的最大值为M，最小值为m，则M+m＝__．
【答案】1
【分析】令g（x）＝f（x），易判断g（x）为奇函数，由奇函数的性质，可得（M）+（m）＝0，即可求出M+m的值.
【详解】解：f（x），
令g（x）＝f（x），
则g（﹣x）g（x），所以g（x）为奇函数，
所以g（x）的最大最小值分别为M，m，
由奇函数的性质，可得（M）+（m）＝0，
所以M+m＝1．
故答案为：1．
题型三 抽象函数的奇偶性
例 3 （1）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式：.
【答案】(1)；
(2)函数在上单调递增，证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；
（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
（1）
解：因为函数是定义在上的奇函数，则，
即，可得，则，
所以，，则，因此，.
（2）
证明：函数在上是增函数，证明如下：
任取、且，则
，
因为，则，，故，即.
因此，函数在上是增函数.
（3）
解：因为函数是上的奇函数且为增函数，
由得，
由已知可得，解得.
因此，不等式的解集为.
（2）已知函数的定义域为，对于任意的，都有，且当时，，若.
（1）求证：为奇函数；
（2）求证:是上的减函数；
（3）求函数在区间上的值域.
【答案】(1)证明：见解析；
（2）证明：见解析；（3）函数在区间上的值域为.
【详解】（1）赋值求出，即证出为奇函数；（2）利用函数单调性定义和奇函数证出是上的减函数；（3）由（2）得函数在区间上的最大值是；最小值是.
(1)证明：的定义域为,令,则， 令,则，即.
，故为奇函数. 4分
（2）证明：任取且,
则
又，，，
即.
故是上的减函数. 8分
（3）解:
又为奇函数,
由(2)知是上的减函数,
所以当时，取得最大值，最大值为；
当时，取得最小值，最小值为. 11分
所以函数在区间上的值域为. 12分
巩固训练
7.已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先由函数的奇偶性得到b=0，然后由求解；
（2）利用函数单调性定义证明；
（3）将，转化为，利用单调性求解.
（1）
解：因为函数，恒成立，
所以，则，
此时，所以，
解得，
所以；
（2）
证明：设，
则，
，
，且，则，
则，即，
所以函数是增函数．
（3）
，
，
是定义在上的增函数，
，得，
所以不等式的解集为．
8.定义在R上的奇函数是单调函数，满足.且
（1）求；
（2）若对于任意都有成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）； （2）.
【分析】（1）令可求得，再令可求得，再令、可求得，然后即可求出；
（2）根据奇偶性得，再根据和判断出函数的单调性，化简去掉f得，得，再根据二次函数的性质进行研究．
【详解】（1）；
（2）是奇函数，且在上恒成立，
在上恒成立，且；
在上是增函数，
在上恒成立，在上恒成立
令.
由于，.，
即实数k的取值范围为.
【点睛】本题考查抽象函数的性质，往往结合抽象函数的奇偶性与单调性解不等式，本题还考查分离变量法求参数的范围，属于中档题．
课后练习
1.下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】对于A，为奇函数，所以A不符合题意；
对于B，为偶函数，在上单调递减，所以B不符合题意；
对于C，既是偶函数，又在上单调递增，所以C符合题意；
对于D，为奇函数，所以D不符合题意．
故选：C．
2.函数（ ）
A．是奇函数，在上是增函数 B．是偶函数，在上是减函数
C．不是偶函数，在上是增函数 D．是偶函数，且在是增函数
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义，分析可得函数是偶函数，因此在上不单调，当时，结合二次函数的性质，即可判断
【详解】函数的定义域为R，
且f(－x)＝(－x)2＋|－x|＝x2＋|x|＝f(x)，
所以函数是偶函数，
所以f(x)＝x2＋|x|在上不单调，
故排除ABC；
当时，为对称轴为的开口向上的二次函数
故在是增函数，选项D正确
故选：D
3.已知，且是定义在R上的奇函数，，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义，判断与的关系即可求解.
【详解】由已知的定义域为R，
因为是定义在R上的奇函数，所以，
所以，
所以为偶函数，
又，，又，
所以，所以不为奇函数，
故选：B．
4.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据奇函数的性质，利用，即可求出结果.
【详解】设，则，所以，
又为奇函数，所以，
所以当时，.
故选：B.
5.（多选）下列函数中，在上单调递增且图像关于轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据单调性与奇偶性可得答案
【详解】关于A选项，函数为奇函数，其图像关于原点对称，故A错误；
关于B选项，函数为偶函数，其图像图像关于轴对称，且函数在上单调递增，故B正确；
关于C选项，函数的定义域是，故函数为非奇非偶函数，故C错误；
关于D选项，函数的定义域为，，所以函数为偶函数，当时，，所以函数在上单调递增，故D正确．
故选：BD.
6．（多选）已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】ABC
【分析】根据题意，函数，均为定义在上的奇函数，利用奇偶函数的定义，可以依次判断ABC正确，可以证明D是奇函数，故D错误.
【详解】因为函数，均为定义在上的奇函数，所以，，
对于A选项，设，则，所以为奇函数，故A正确；
对于B选项，设，则，所以为奇函数，故B正确；
对于C选项，设，则，
所以为偶函数，故C正确；
对于D选项，设，则，所以是奇函数，故D错误.
故选：ABC.
7．（多选）已知是定义在R上的偶函数，但不是奇函数，则下列函数中为偶函数的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用函数奇偶性的定义逐一判断即可.
【详解】解：因为是定义在R上的偶函数，所以，
对于A，因为，所以为偶函数，故满足题意；
对于B，因为，所以为奇函数，故不满足题意；
对于C，易得为偶函数，故满足题意；
对于D，因为，所以不为偶函数，故不满足题意；
故选：AC
8.已知函数是定义在上的偶函数，则函数在上的最小值为______．
【答案】－6
【分析】先利用题意能得到和，解得和，代入中，再代入，再结合二次函数的性质求最小值
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，
故，即，则解得，
所以，，
所以，，
则，
故答案为：-6
9．已知函数，，则的值是_______.
【答案】
【分析】因为是奇函数，由奇函数的性质可求出的值，进一步可求出的值.
【详解】是奇函数
.
故答案为: .
10.若定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的x的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据函数的单调性结合分类讨论可求的解.
【详解】等价于或或，
因为为偶函数，且，故即为，
即为，
而在区间上单调递增，故即，
同理的解为或，
故的解为，
而的解为，
故的解为.
故答案为：
11.设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.
【答案】1
【分析】先将函数化简变形得，然后构造函数，可判断为奇函数，再利用奇函数的性质结合可得，从而可求得结果
【详解】由题意知，（），
设，则，
因为，
所以为奇函数，
在区间上的最大值与最小值的和为0，
故，
所以.
故答案为：1
12.设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，试确定，，之间的大小关系．
【答案】
【分析】先比较、、的大小，再根据奇偶性可得题设中三者之间的大小.
【详解】因为当时，是减函数，故，
而为偶函数，故，
故.
13.已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示．
(1)在坐标系中补全函数的图象；
(2)解不等式．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）首先求出函数在上的函数解析式，再根据奇偶性求出函数在上的解析式，再根据奇函数的性质可得，即可得到的解析式，从而画出函数图象；
（2）由奇函数的性质可得原不等式等价于，再结合函数图象计算可得；
（1）
解：由函数可得当时，且函数过点，所以，解得，即
当时，，因为为定义在奇函数，所以，所以，且，所以，
所以的图象如图所示．
（2）
解：因为是R上的奇函数，所以，
所以原不等式可化为．
要想，只需与同号．
由图知，或，
即不等式的解集为．
14.已知函数是上的偶函数，当时，.
(1)用单调性定义证明函数在上单调递增；
(2)求当时，函数的解析式.
【答案】(1)详见解析；
(2).
【分析】（1）利用单调性的定义即证；
（2）当时，可得，再利用函数的奇偶性即得.
(1)
，且，则
，
∵，且，
∴，
∴，即，
∴函数在上单调递增；
(2)
当时，，
∴，又函数是上的偶函数，
∴，
即当时，.
15.函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，又由，解可得的值，将、的值代入函数解析式即可得答案；
（2）根据题意，设，由作差法分析可得结论；
（3）由函数的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可
（1）
解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，解得，
又由，则有，解得，则，所以，满足条件，所以；
（2）
解：由（1）知，
证明：设，
则，
又由，所以、、
则，，，，
则，
则函数在上为增函数；
（3）
解：根据题意，即 ，即 ，即，解得：，
即不等式的解集为．
16.已知函数的定义域为，对于任意的，都有且当时，，若.
(1)求证：为奇函数；
(2)求证: 是上的减函数；
(3)求函数在区间[-2,4]上的值域.
【答案】(1)见解析,(2)见解析,(3) [-8,4]
【分析】（1）先利用特殊值法，求证f（0）＝0，令y＝﹣x即可求证；
（2）由（1）得f（x）为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），利用定义法进行证明；
（3）由函数为减函数，求出f（﹣2）和f（4）继而求出函数的值域，
【详解】（1）∵f（x）的定义域为R，令x＝y＝0，则f（0+0）＝f（0）+f（0）＝2f（0），
∴f（0）＝0．
令y＝﹣x，则f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x），
即f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0．
∴f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数．
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x2）﹣f（x1）＝f（x2）+f（﹣x1）＝f（x2﹣x1）．
又∵x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＜0，
∴f（x2）﹣f（x1）＜0，
即f（x1）＞f（x2）．
故f（x）是R上的减函数．
（3）∵f（﹣1）＝2，∴f（﹣2）＝f（﹣1）+f（﹣1）＝4．
又f（x）为奇函数，∴f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣4，
∴f（4）＝f（2）+f（2）＝﹣8．
由（2）知f（x）是R上的减函数，
所以当x＝﹣2时，f（x）取得最大值，最大值为f（﹣2）＝4；
当x＝4时，f（x）取得最小值，最小值为f（4）＝﹣8．
所以函数f（x）在区间[﹣2，4]上的值域为[﹣8，4]．
【点睛】本题主要考查了抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．函数的奇偶性
知识梳理
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
题型一 函数的奇偶性
例 1 （1）判断下列函数的奇偶性．
； (2)；
(3)； (4)．
（2）已知与分别是定义在R上的偶函数和奇函数，将下图补充完整．
巩固训练
1.判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
2.设为定义在R上的偶函数，当时，；当时，，直线与抛物线的一个交点为，如图所示.
(1)补全的图像，写出的递增区间（不需要证明）；
(2)根据图象写出不等式的解集
题型二 函数奇偶性的应用
例2 （1）已知是R上的奇函数，是上的偶函数.若,则.
A． B．
C． D．
（2）若函数是偶函数，函数是奇函数，则（ ）
A．函数是奇函数 B．函数是奇函数
C．函数是奇函数 D．函数是奇函数
（3）若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
（4）已知是定义在上的奇函数，且，则与的大小关系是______．（填“>”“=”或“<”）
（5）已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______.
巩固训练
3.设为奇函数，当时，，则=_______
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，，则不等式 x·f(x)＞0 的解集为_______________.
5.已知，且，那么___________
6.设函数f（x），a∈R的最大值为M，最小值为m，则M+m＝__．
题型三 抽象函数的奇偶性
例 3 （1）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式：.
（2）已知函数的定义域为，对于任意的，都有，且当时，，若.
（1）求证：为奇函数；
（2）求证:是上的减函数；
（3）求函数在区间上的值域.
巩固训练
7.已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
8.定义在R上的奇函数是单调函数，满足.且
（1）求；
（2）若对于任意都有成立，求实数k的取值范围.
课后练习
1.下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2.函数（ ）
A．是奇函数，在上是增函数 B．是偶函数，在上是减函数
C．不是偶函数，在上是增函数 D．是偶函数，且在是增函数
3.已知，且是定义在R上的奇函数，，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
4.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
5.（多选）下列函数中，在上单调递增且图像关于轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
7．（多选）已知是定义在R上的偶函数，但不是奇函数，则下列函数中为偶函数的有（ ）
A． B．
C． D．
8.已知函数是定义在上的偶函数，则函数在上的最小值为______．
9．已知函数，，则的值是_______.
10.若定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的x的取值范围为___________.
11.设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.
12.设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，试确定，，之间的大小关系．
13.已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示．
(1)在坐标系中补全函数的图象；
(2)解不等式．
14.已知函数是上的偶函数，当时，.
(1)用单调性定义证明函数在上单调递增；
(2)求当时，函数的解析式.
15.函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解关于的不等式．
16.已知函数的定义域为，对于任意的，都有且当时，，若.
(1)求证：为奇函数；
(2)求证: 是上的减函数；
(3)求函数在区间[-2,4]上的值域.
