5.3.1函数的单调性 同步测试-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性
一、单选题
1．定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，函数的递增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
4．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
5．若方程有四个不同的实数根，且，
则 的取值范围是
A． B． C． D．
6．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数的导函数的图象如图，则
A．函数有2个极大值点，3个极小值点
B．函数有1个极大值点，1个极小值点
C．函数有3个极大值点，1个极小值点
D．函数有1个极大值点，3个极小值点
8．当时，，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．定义域为的可导函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
11．已知f(x)为R上的减函数,则满足f>f(1)的实数x的取值范围是(　　)
A．(-∞,1) B．(1,+∞) C．(-∞,0)∪(0,1) D．(-∞,0)∪(1,+∞)
12．已知函数，则（ ）
A．在上为增函数 B．在上为减函数
C．在上有极大值 D．在上有极小值
13．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．-3是的极小值点 B．-1是的极小值点
C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零
14．已知函数，若函数f(x)在[1，2]上为单调函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．[1，+∞) C． D．
15．若函数 在内单调递减,则实数的取值范围是
A． B． C． D．
16．已知函数，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
17．下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是　　
A． B．
C． D．
18．函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
19．游客从杭州城站到西湖之滨，最先看到的是公园濒湖一带的护栏，南北绵延约1公里，柱与柱之间是一条条轻匀悬链，映照湖上的水光山色.德国数学家莱布尼兹把这种架在等高两柱间 自然下垂有均匀密度的曲线称为悬链线.如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断中，正确的有（ ）
A．为偶函数 B．为奇函数
C．的最小值为 D．的单调增区间为
三、填空题
20．已知函数．若函数在上单调递减，则实数的最小值为________．
21．如图为的导函数的图象，则下列判断正确的是________．(填序号)①在内是增函数；②是的极小值点；③在内是减函数，在内是增函数；④是的极大值点．
22．已知矩形ABCD的边长，，点P，Q分别在边BC，CD上，且，则的最小值为______．
23．若函数在上单调递减，则的取值范围___________.
24．若对任意的实数，不等式恒成立，则正数k的取值范围是__________．
25．已知是上的奇函数，当时，，则____．
26．函数的单调减区间为________．
四、解答题
27．设是定义在的可导函数，且不恒为0，记．若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数 ”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）．
（1）若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数的取值范围；
（2）对任给的“2阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是否为“2阶负函数”？并说明理由．
28．已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）设，若，，使得成立，求实数的取值范围．
29．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值．
30．已知函数.
(1)若函数在(0,+∞)时上为单调递增函数，求实数的取值范围;
(2)若函数在和处取得极值，且(为自然对数的底数)，求的最大值.
31．已知函数，．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）求函数在上的零点个数．
32．设函数．
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；
(Ⅱ)若当时，恒有，试确定的取值范围；
(Ⅲ)当时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围．
33．已知，
（1）讨论的单调性；
（2）求证：当时，.
34．已知函数，
（1）若函数的图像上有与轴平行的切线，求参数的取值范围；
（2）若函数在处取得极值，且时，恒成立，求参数的取值范围．
35．已知函数，．
⑴ 若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；
⑵ 若函数在区间上单调，求实数的取值范围；
⑶ 设，若对，，使得成立，求整数的最小值．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
令，利用导数说明的单调性，将的解集等价于的解集，最后根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，从而解得；
【详解】
解：因为，所以．令．则，所以在上单调递减，又，，所以的解集等价于的解集，所以有．即．
故选：A
【点睛】
本题考查导数的应用，考查构造函数分析解决不等式问题的能力，属于中档题．
2．C
【解析】
【分析】
先求解出，然后根据的正负分析出在上的单调性，由此可知的递增区间.
【详解】
因为，所以，
令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的单调递增区间为，
故选：C.
3．C
【解析】
【分析】
根据可知在上单调递减；利用定义可求得；将不等式变为，根据单调性可得不等式，从而求得结果.
【详解】
由得：
令，则在上单调递减
由定义域为可得：，解得：
即： ，解得：
综上所述：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用函数的单调性求解不等式的问题，涉及到利用导数研究函数的单调性、抽象函数定义域的求解.关键是能够通过构造函数的方式将不等式转变为两个函数值之间的比较，再利用单调性转变为自变量的不等关系.
4．C
【解析】
【分析】
利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值点，然后判断选项即可．
【详解】
解：由题意可知：和时，，函数是增函数，
时，，函数是减函数；
是函数的极大值点，是函数的极小值点；
所以函数的图象只能是．
故选：C．
5．D
【解析】
【详解】
由题意作出函数的图象如下：
由图象可知：
∵
∴，即或
∴，
∴
令，则
令，得
故在上是增函数，在上是减函数
∴
∵，
∴的取值范围是
故选D
点睛：本题考查函数与方程、导数与函数的单调性、极值以及一元二次方程，属难题.函数与方程是高考的热点内容，通常通过数形结合、构造函数、利用导数研究函数单调性、极值，零点存在定理研究函数的零点问题，本题则研究零点之间的距离，把距离表示成函数，从而求其范围.
6．D
【解析】
首先求出函数的定义域，判定函数的奇偶性及单调性即可得解.
【详解】
解：定义域为
即函数是奇函数，图象关于原点对称，
由，为奇函数，排除B；又，排除C；
当时，，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，排除A；
故选：
【点睛】
本题考查函数图象的识别，关键是函数的奇偶性，单调性的应用，属于基础题.
7．B
【解析】
【详解】
解：根据导函数图像可知，只有导数图像穿过x轴时的交点才是极值点，因此结合图像可以知道共有两个极值点，其中在x2处为极大值点在x3处为极小值点，而x1,和x4不是极值点．因此选择B
8．D
【解析】
【分析】
求出导函数，可得数在内单调递增，根据函数的单调性可判断出函数值的大小.
【详解】
根据得到，因为，
当时，，从而可得，所以函数在内单调递增，
所以，
而，所以有.
故选：D.
9．C
【解析】
【分析】
求得，然后分,两种情况讨论，得到的单调性，然后可建立不等式求解.
【详解】
由可得，
当时，，在上单调递增，不满足题意；
当时，由得，由得
所以在上单调递减，在上单调递增，
要使得函数在区间上不是单调函数，
则有，解得：.
故选：C
【点睛】
本题考查的是利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想.
10．A
【解析】
【分析】
构造函数，判断函数的单调性，计算特殊值，解得不等式值.
【详解】
构造函数
因为单调递减.
故答案选A
【点睛】
本题考查了根据函数单调性解不等式，构造函数是解题的关键.
11．D
【解析】
【分析】
由题意结合函数的单调性得到关于x的不等式，分类讨论求解不等式的解集即可.
【详解】
由题意,得<1,当x<0时显然成立,当x>0时,x>1.
综上可得：实数x的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞)
本题选择D选项.
【点睛】
对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
12．A
【解析】
【分析】
求导后，令，需要再次求导，从而求得的正负，来判断原函数的单调性及极值情况.
【详解】
，，令，则，
因此在上，，单减；在上，，单增；
又，因此，即，
故在及上，单增，无极值，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：求导后，需要对导数再次求导，从而求得原函数的单调性及极值情况.
13．D
【解析】
【分析】
根据导函数的图象，结合极值和导数的性质逐一判断即可.
【详解】
由导函数的图象可知：当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增，因此是函数的极大值点，
是函数极小值点，因此选项A、B、C不正确，
由导函数的图象可知：，选项D正确，
故选：D
14．D
【解析】
【分析】
函数在上为单调函数，等价于或在上恒成立，分离参数，转化为求函数最值，进而可得结果.
【详解】
，若函数在上为单调函数，
则或在上恒成立，即或
在上恒成立，令，则，
则在上单调递增，所以或，
又，则或，故选D.
【点睛】
本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围．
15．A
【解析】
【分析】
先求导数，再由“在（0，1）内单调递减”，转化为导数小于或等于零，在（0，1）上恒成立
求解.
【详解】
∵函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+6在（0，1）内单调递减，
∴f′（x）=3x2﹣2ax﹣1≤0，在（0，1）内恒成立，
即：a≥ =（3x﹣）在（0，1）内恒成立，
令h（x）=3x﹣，则它在区间（0，1）上为增函数，
∴h（x）＜2，
∴a≥1，
故答案为：A
【点睛】
本题主以及要考查用函数的导数来研究函数的单调性，当为增函数时，导数恒大于或等于零，
当为减函数时，导数恒小于或等于零．
16．A
【解析】
【分析】
先求函数的导函数，由在R上单调，可知恒成立或恒成立，构造函数，分类讨论a的取值范围，利用导数研究函数的单调区间及最值即可得解.
【详解】
求导，令，
由在R上单调，可知恒成立或恒成立，分类讨论：
（1）当时，，令，得
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；
，即恒成立，符合题意；
（2）当时，，令，得
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
，即恒成立，符合题意；
（3）当时，令，得或，
研究内的情况即可：
当时，，函数单调递减；当时， ，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
当时，函数取得极小值，且满足；当时，函数取得极小值，且满足
，且
同理，且
又，当时，；当时，，故不符合；
所以a的取值范围是
故选：A
【点睛】
方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立.
17．C
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及上的单调性，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝|sinx|，为偶函数，不符合题意；
对于B，f（x）＝ln，其定义域为（﹣e，e），有f（﹣x）＝lnlnf（x），为奇函数，
设t1，在（﹣e，e）上为减函数，而y＝lnt为增函数，
则f（x）＝ln在（﹣e，e）上为减函数，不符合题意；
对于C，f（x）（ex﹣e﹣x），有f（﹣x）（e﹣x﹣ex）（ex﹣e﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，且f′（x）（ex+e﹣x）＞0，在R上为增函数，符合题意；
对于D，f（x）＝ln（x），其定义域为R，
f（﹣x）＝ln（x）＝﹣ln（x）＝﹣f（x），为奇函数，
设tx，y＝lnt，t在R上为减函数，而y＝lnt为增函数，
则f（x）＝ln（x）在R上为减函数，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
18．B
【解析】
【分析】
直接由函数值的变化情况判断即可
【详解】
因为当且时，，所以排除ACD
故选：B.
19．ACD
【解析】
【分析】
利用奇偶函数的定义，均值不等式，导数等知识逐项判断即可.
【详解】
函数的定义域为,定义域关于原点对称 且
为偶函数,故A选项正确，B选项错误；
当且仅当 时,即取等号，故C选项正确；
当时，
在上单调递增,故D选项正确.
故选： ACD
【点睛】
关键点点睛：使用均值不等式的时候，应注意“一正，二定，三相等”.
20．6
【解析】
求导函数，令恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值.
【详解】
，，可得，
令，
若函数在上单调递减，即
当时，单调增，
，
所以函数在上单调递增
，所以.
故答案为:6
【点睛】
关键点睛：变量分离，转化为不等式恒成立问题，进而求又一函数的最值.
21．②③
【解析】
【分析】
根据导函数大于0，原函数单调递增，导函数小于0，原函数单调递减，由导函数的图象可判断①和③的正误；导函数图象与坐标轴的交点即为原函数可能的极值点，再根据 该点左右区间的单调性即可判断出其是极大值还是极小值，进而可判断①与④的正误.
【详解】
① 错，因上，在 上，
故在内是减函数，在内是增函数；
②正确，因在上为负，，在上为正；
③正确，因在内，故f(x)在内是减函数；
在内，故在内为增函数，
④错，，故不是极值点．
所以本题答案为答案　②③
【点睛】
本题主要考查了学生对利用导数求解函数的单调性与极值的掌握情况，涉及到的知识点有导数与极值的关系，导数的符号与函数单调性的关系，在解题的过程中，判断的符号是解题的关键.
22．
【解析】
【分析】
根据矩形建立直角坐标系，设，得出点的坐标，进而得到的坐标，利用向量的数量积的运算公式，求得的表达式，构造函数，利用导数得到函数的单调性，即可求解最小值.
设，所以，
【详解】
由题意矩形的边长，，建立如图所示的直角坐标系，
因为点分别在边上，且，
设，则，则，
所以，
所以 ，且，
设，所以，
设，则，
令，解得或（舍去）
当时，，所以函数单调递减；
当时，，所以函数单调递增，
所以当时，函数有最小值，此时最小值为，
即的最小值为.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和利用导数求解函数的单调性和最值，其中根据题意建立平面直角坐标系，利用向量的数量积的运算公式，建立函数的解析式，利用导数求得函数的单调性是解答本题的关键，试题综合性强，有一定难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
23．
【解析】
【分析】
求出，由在上恒成立可得参数范围．
【详解】
由题意，
在上递减，则在上恒成立，即在上恒成立，
，显然时，取得最大值，所以，又，所以的范围是．
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的单调性，解题关键是把问题转化为导函数的不等式恒成立，再转化为求函数的最值．第一个转化应用的单调性与导数的关系，第二个转化利用分离参数法．
24．
【解析】
【分析】
对给定不等式等价变形，构造函数借助其单调性转化成新函数最值即可得解.
【详解】
，，，
令，，即在上单调递增，
则，
令，，时，时，
在上递增，在上递减，时，即，
正数k的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
关键点睛：不等式恒成立问题，等价转化，分离参数是解题的关键.
25．
【解析】
【详解】
∵当时，，
∴，
∵是上的奇函数，
∴，
故答案为．
26．
【解析】
【详解】
【分析】
试题分析：因为函数的定义域为 ，且，由 ，所以函数的单调递减区间为.
考点：函数的单调性与导数.
27．（1）
（2）所有满足题设的都是“2阶负函数”
【解析】
【详解】
试题分析：(1)利用在上单调递增，借助求导的方法进行探究；（2）通过反证法进行证明.本
题关键在于判断 在时无上界，再用单调性即可证出结论．
试题解析：（1）依题意，在上单调递增，
故 恒成立，得， 2分
因为，所以． 4分
而当时，显然在恒成立，
所以． 6分
（2）①先证：
若不存在正实数，使得，则恒成立． 8分
假设存在正实数，使得，则有，
由题意，当时，，可得在上单调递增，
当时，恒成立，即恒成立，
故必存在，使得（其中为任意常数），
这与恒成立（即有上界）矛盾，故假设不成立，
所以当时，，即； 13分
②再证无解：
假设存在正实数，使得，
则对于任意，有，即有，
这与①矛盾，故假设不成立，
所以无解，
综上得，即，
故所有满足题设的都是“2阶负函数”． 16分
考点：1.导数的应用；2.新定义问题；3.反证法.
28．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据导数的几何意义求出斜率，写出切线方程；
（Ⅱ） 由题意问题转化为求，利用导数分别求函数的最小值，建立不等关系即可求解.
【详解】
（Ⅰ）当时，，，
则，，故曲线在处的切线方程为．
（Ⅱ）问题等价于，，．
由得，
由得，
所以在上，是增函数，故．
定义域为，
而．
当时，恒成立，在上是减函数，
所以，不成立；
当时，由，得；由，得，
所以在单调递减，在单调递减．
若，即时，在是减函数，
所以，不成立；
若，即时，在处取得最小值，
，
令，
则在上恒成立，
所以在是增函数且，
此时成立，满足条件．
综上所述，．
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，利用导数研究函数的最小值，转化思想，属于难题.
29．（1）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为,（2）函数在区间上的最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】
（1）求导后，利用导数的符号可得函数的单调区间；
（2）由（1）知，函数在上递增，在上递减，在上递增，根据单调性可得最大最小值.
【详解】
（1），
由，得或；由，得，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）由（1）知，函数在上递增，在上递减，在上递增，
因为，，
，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了根据函数的单调性求函数的最值，属于基础题.
30．(1) ;(2) .
【解析】
【详解】
分析：(1) 因为在上单调递增，所以恒有，即 恒成立，，结合基本不等式可得结果；⑵是方程的两个实根， 由韦达定理得：，可得，
设，令 ，利用导数研究函数的单调性可得，从而可得结果.
详解：⑴，又因为在上单调递增，所以恒有，即 恒成立，，而，当且仅当时取“”, .
即函数在上为单调增函数时的取值范围是；
⑵，
又，所以是方程的两个实根， 由韦达定理得：，
∴
，
设，令
∴在上是减函数，，
故的最大值为.
点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
31．（1）函数在上的单调递减；（2）有且只有一个零点．
【解析】
（1）由题设得，求导，可判断，故函数在上的单调递减．
（2）由题设，求，可判断，故函数在上单调递减，又，，可知函数在上有且只有一个零点．
【详解】
（1），则．
当时， ，，，即，
，故函数在上的单调递减．
（2），则
，
时，，，
又，且，
，故函数在上单调递减，
又，，
因此，函数在上有且只有一个零点．
【点睛】
方法点睛：本题考查判断函数单调性，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：
（1）方程法：令，如果能求出解，有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
32．（Ⅰ）在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数．，（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求导，并求出函数的极值点，列表分析函数的单调性与极值，从而可得出函数的单调区间与极小值和极大值；
（Ⅱ）由条件得知，考查函数的单调性知，得知函数在区间上单调递减，于是得出，解该不等式组即可；
（Ⅲ）将代入函数的解析式，利用导数研究该函数在区间上的单调性，将问题转化为解出不等式即可得出实数的取值范围．
【详解】
（Ⅰ）．
令，得x＝a或x＝3a.
当x变化时，的变化情况如下表：
x (－∞，a) a (a,3a) 3a (3a，＋∞)
－ 0 ＋ 0 －
↘ 极小 ↗ 极大 ↘
∴在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数．
当时，取得极小值，；
当时，取得极大值，；
（Ⅱ），其对称轴为.
因为，所以.
所以在区间上是减函数．
当时，取得最大值，；
当时，取得最小值，.
于是有即.又因为，所以.
（Ⅲ）当时，.
，由，即，
解得，即在上是减函数，
在上是增函数，在上是减函数．
要使在[1,3]上恒有两个相异实根，即在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，
于是有即解得.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间、利用导数求解函数不等式恒成立以及利用导数研究函数的零点，解题时注意这些问题的等价转化，在处理零点问题时，可充分利用图象来理解，考查化归与转化、数形结合的数学思想，属于中等题．
33．（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据导函数的正负，即可求得单调区间.
(2) 欲证，只需证,设，，分别求出最值，即可证明.
【详解】
（1），
当a≤0时，，在上单调递减；
a>0时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
（2）证明：当a=1时，原不等式等价于
欲证，
只需证
设，，
，当 时，，单调递减；
当时，，单调递增，∴
，当）时，，单调递增；
当时，，单调递减，∴
所以，即原命题成立.
34．（1）；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，由题意可知，当导函数等于零时，方程有实数解，求出参数的取值范围；
（2）函数在处取得极值，可以求出的值，这样函数的单调性就确定了，可以求出在时的最大值，恒成立，只要满足，即可，这样可以求出参数的取值范围．
【详解】
（1），依题意知，方程有实根，
所以，得. 即参数的取值范围为．
（2）由函数在处取得极值，知是方程的一个根，所以，方程的另一个根为.
因此，当或时，；
当时，.
所以在]和上为增函数，在上为减函数，
∴有极大值.
极小值，又，
∴当时，.
∵恒成立，∴.
∴或.
即参数的取值范围为．
【点睛】
本题考查了导函数为零有实数解的问题.重点考查了不等式恒成立时，求参数的取值范围问题，解决问题的关键是利用导数，研究函数的单调性.
35．⑴⑵⑶
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据题意，对函数求导，由导数的几何意义分析可得曲线 在点处的切线方程，代入点，计算可得答案；
（2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；
（3）由题意得， 分析可得必有 ，对求导，对分类讨论即可得答案．
试题解析：
⑴由题意得，，
，，
曲线在点处的切线方程为，
代入点，得，.
⑵，
若函数在区间上单调递增，则在恒成立，
，得；
若函数在区间上单调递减，则在恒成立，
，得，
综上，实数的取值范围为；
⑶由题意得，，
，
，即，
由，
当时，，则不合题意；
当时，由，得或（舍去），
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
，即，
整理得，，
设，，单调递增，
，为偶数，
又 ，，
，故整数的最小值为．