4.3.1等比数列的概念 同步测试-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）

第四章 第三节 课时1 等比数列的概念
一、单选题
1．已知数列的奇数项依次成等比数列，偶数项依次也成等比数列，且公比相同．若，，，则（ ）
A．12 B．18 C．24 D．48
2．定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列,若仍是比数列，则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数：
①；
②；
③；
④
则其中是“保等比数列函数”的的序号为
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
3．设数列为等比数列，且，则必有（ ）
A． B． C． D．
4．设，若成等比数列，且成等差数列，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知等差数列{an}，a1＝2，若a1，a3+2，a6+8成等比数列，则S10＝（ ）
A． B． C．﹣70或 D．﹣16或
6．已知数列是各项均为正数的等比数列，且，则
A． B． C．12 D．8
7．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是：确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ）
A．243 B．248 C．363 D．1092
8．已知数列是公差为4的等差数列，且，若，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则＝
A． B． C． D．
10．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．已知数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，即此数列第一项是，接下来两项是，再接下来三项是，以此类推，设是此数列的前n项和，则
A． B． C． D．
12．已知数列是递增的等比数列，是其前n项和，若，则（ ）
A．62 B．48 C．36 D．31
13．在等比数列中，，，则与的等比中项为
A． B． C． D．
二、多选题
14．已知数列的前n项和为，且，，p为非零常数，则下列结论正确的是（ ）
A．是等比数列 B．当时，
C．当时， D．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an-2，若存在两项am，an，使得aman＝64，则下列结论正确的是（ ）
A．数列{an}为等比数列
B．数列{an}为等差数列
C．m+n为定值
D．设数列{bn}的前n项和为Tn，bn＝log2an，则数列为等差数列
16．已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．必是递减数列 B． C．公比或 D．或
三、填空题
17．等比数列中，，，则数列的前项和为________．
18．已知中三边，，成等差数列，，，也成等差数列，则的形状为___________.
19．设函数，则__________．
20．已知函数满足以下条件：①在上单调递增；②对任意，，均有；则的一个解析式为___________.
21．数列满足，，则等于__________.
22．已知等比数列中，，，则________．
23．给出下列叙述：
①正四面体的棱长为，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是；
②在等比数列中前项和为，前项和为，则前项和为；
③直线关于直线对称的直线方程为；
④若，，且，则的最小值为；
其中所有正确叙述的序号是_____________．
24．记为不超过实数的最大整数，例如，，，．设为正整数，数列满足， ，现有下列命题：
①函数为奇函数；
②当时，数列的前3项依次为4,2,2；
③对数列存在正整数的值，使得数列为常数列；
④当时，；
其中的真命题有____________.（写出所有真命题的编号）
四、解答题
25．设是数列的前项的和，且.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）数列满足，证明：.
26．已知数列满足，，，，且是等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）①求证：为等比数列；
②记，求数列的前n项和.
27．已知定义在R上的函数f（x） 满足条件：（1）f（x）+f（﹣x）＝2；（2）对非零实数x，都有2f（x）+f（）＝2x3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）（x≥0），直线yn﹣x分别与函数g（x）及g（x）的反函数交于An，Bn两点，（其中n∈N*），设an＝|AnBn|，sn为数列an 的前n项和．求证：当n≥2 时，总有 Sn2＞2（）成立．
28．设等差数列的前n项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）若 30 成等差数列， 18 成等比数列，求正整数p q的值；
（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.
29．【江苏省南通市2018届高三最后一卷 --- 备用题数学试题】已知等差数列与等比数列是非常数的实数列，设.
（1）请举出一对数列，使集合中有三个元素；
（2）问集合中最多有多少个元素？并证明你的结论；
30．设数列的前项和为，且，数列为等差数列，且，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）若对任意正整数，不等式均成立，求的最大值.
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
设公比为，用，，求出公比，再求
【详解】
解：设公比为，则
又，，
则，
，
故选：D
【点睛】
考查等比数列的有关性质应用，基础题.
2．C
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，验证是否为非零常数，由此可得出正确选项.
【详解】
设等比数列的公比为，则.
对于①中的函数，，该函数为“保等比数列函数”；
对于②中的函数，不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”；
对于③中的函数，，该函数为“保等比数列函数”；
对于④中的函数，不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选C.
【点睛】
本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3．D
【解析】
【分析】
由等比数列的性质即可求解.
【详解】
因为为等比数列，
所以，又，所以，
故选：D.
4．D
【解析】
【分析】
根据等比中项、等差中项的定义，得到等式，结合绝对值的性质和重要不等式、基本不等式、特殊值法，比较之间的大小关系、之间的大小即可.
【详解】
因为成等比数列，且成等差数列，所以有同号.
当同正时，，若，选项B成立，
当同负，同正，显然选项A成立，因此选项A,B都不是恒成立，
因为同正，所以有.
，显然选项C不正确，选项D正确.
故选：D
【点睛】
本题考查了代数式的比较大小，考查了等比中项、等差中项的定义，考查了重要不等式、基本不等式的应用，考查了绝对值的性质.
5．A
【解析】
【分析】
先a1，a3+2，a6+8成等比数列求出等差数列的公差，结合求和公式可得.
【详解】
设等差数列的公差为，
因为a1，a3+2，a6+8成等比数列，所以，
，解得或，
当时，与等比数列不符，舍去；
当时，；
故选：A.
【点睛】
本题主要考查等差数列和等比数列的综合，等差数列的求和的关键是确定基本量，侧重考查数学运算的核心素养.
6．B
【解析】
【分析】
利用等比数列下标和性质，即可得的结果.
【详解】
∵数列是各项均为正数的等比数列，且，
∴，即，
∴，
故选B
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．D
【解析】
【分析】
可知每轮传播人数是等比数列，先求出传播指数RO，即可由等比数列前6项和得出．
【详解】
记第1轮感染人数为，第2轮感染人数为，…，第轮感染人数为，则数列是等比数列，公比为，
由题意，即，所以，
总人数为人.
故选：D．
【点睛】
本题考查数列的应用，解题关键是理解新概念“传播指数”，可以用数列表示该问题，传播指数就是等比数列的公比，从第一轮开始每轮传播的人数为数列的项，问题就是求等比数列的前6项和．
8．C
【解析】
【分析】
根据等差数列的公式，列出关于首项和的方程组，即可求解.
【详解】
因为，，数列的公差为4，所以，解得.
故选:C．
9．D
【解析】
【分析】
：先设第一个音的频率为，设相邻两个音之间的频率之比为，得出通项公式，
根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值．
【详解】
：设第一个音的频率为，设相邻两个音之间的频率之比为，那么，根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，，所以，故选D
【点睛】
：本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等比数列．
10．C
【解析】
根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.
【详解】
当时，；
当时，，
所以“”是“”的充要条件．
故选：C．
【点睛】
结论点睛：
判断充分条件与必要条件时，可根据概念直接判断，有时也根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
11．A
【解析】
【分析】
将已知数列按每组1,2,3…个数分组,再利用等比数列的求和公式分别求每组的和,再分析的组数与最后一组的情况再求和即可.
【详解】
将已知数列如下分组：
第一组：；
第二组：；
第三组：；
第四组：；
…
第组：.
根据等比数列的求和公式有第组的和为.
且每组含有的项数为项.
又前63组共项,
故第64组有两项,共2018项.
故.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了等差数列的求和计算项数以及等比数列的求和公式与计算等.需要根据题意分析前2018项共有多少组,同时确定最后一组的各项情况进行求解.属于中档题.
12．D
【解析】
【分析】
联立解方程组，求出，，再求出，利用前项和公式求出.
【详解】
数列是递增的等比数列，
，，
所以，；或者，，
因为数列是递增，
故，，设公比为，
所以，，
所以，
故选：．
【点睛】
考查等比数列的性质和求等比数列的前项和公式的应用，中档题．
13．D
【解析】
【分析】
根据等比中项的性质进行求解即可.
【详解】
因为，，所以与的等比中项为.
故选：D
【点睛】
本题考查了等比中项的性质，考查了数学运算能力.
14．ABC
【解析】
【分析】
利用数列的递推关系得和当时，，再利用，结合等比数列的概念对进行判断；利用的结论，结合等比数列的通项公式得，当时，利用等比数列的求和，计算出，对进行判断；当时，利用指数幂的运算，对进行判断；利用，计算得，对进行判断.
【详解】
解：对于：在数列中，
因为， 为非零常数，
所以当时，，解得，
当时，，
由得，即，又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，因此正确；
对于：由得，因此当时，，
所以，因此正确；
对于C：由得，因此当时，，
所以，因此C正确；
对于：由得，
因此，
，
所以，因此不正确．
故选：．
15．ACD
【解析】
【分析】
根据与的关系式，可求出数列的通项公式，从而可判断选项A，B；根据数列的通项公式可求出选项C中的值；根据数列的通项公式可求出数列的通项公式，从而求出，然后即可判断数列为等差数列，从而判断选项D.
【详解】
因为数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an-2，
所以当n＝1时，，所以a1＝2；
当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，
所以an＝Sn-Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，整理得an＝2an﹣1，即，
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故选项A正确，选项B错误；
所以.
由于，故存在两项am，an，使得aman＝64，此时2m+n＝26，即m+n＝6，故选项C正确.
bn＝，所以，
所以，所以，故数列为等差数列，故选项D正确.
故选：ACD.
16．BD
【解析】
设设等比数列的公比为，则，由已知得，解方程计算即可得答案.
【详解】
解：设等比数列的公比为，则，
因为， ，
所以，
解得或，
当，时，，数列是递减数列；
当，时，，数列是递增数列；
综上，.
故选：BD.
【点睛】
本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为，进而解方程计算.
17．
【解析】
【详解】
试题分析：由，可得，，．
考点：1、等比数列的通项及性质；2、等比数列前n项和公式．
18．等边三角形
【解析】
根据等差数列条件列方程化简得即可判断结果.
【详解】
因为，，成等差数列，，，也成等差数列，
所以 则 即
所以 故 所以为等边三角形，
故答案为：等边三角形
19．##
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，求出的值，从而求出的值即可．
【详解】
因为，所以，则，
故答案为：．
20．，答案不唯一
【解析】
【分析】
根据满足的条件写出的一个解析式.
【详解】
依题意可知为增函数，且，
故的一个解析式可以为.
故答案为：，答案不唯一
21．
【解析】
【分析】
由题知数列是以为首项，为公比的等比数列，进而得答案.
【详解】
因为，故，
故数列是以为首项，为公比的等比数列.
故.
故答案为：
22．16
【解析】
由等比中项，即得.
【详解】
等比数列，，.
故答案为：16
【点睛】
本题考查等比中项，是基础题.
23．①③④
【解析】
【分析】
由异面直线所成角的定义可判断①;由等比数列的性质:当公比不为,由成等比数列,计算可判断②;由直线关于直线对称的求法可判断③;由乘“1”法和基本不等式的运用可判断④
【详解】
①,正四面体OABC的棱长为1,D是棱OA的中点,取OC的中点H,连接DH,
由,可得∠BDH(或补角)为异面直线BD与AC所成角,
由，
则异面直线BD与AC所成角的余弦值是，故①正确；
②,在等比数列中,前m项和为30,前2m项和为100,则公比不为-1,
由成等比数列,
可得成等比数列,
则,解得前3m项和为,故②错误;
③直线与直线的交点为，在直线上取点，关于直线的对称点为
则 解得
可得对称直线方差为
即，故③正确；
④若，且，即
则
当时，取得最小值，故④正确；
故答案为：①③④
【点睛】
此题考查立体正四面体异面直线夹角，等比数列间隔相同项和也为等比数列，直线关于直线对称，均值不等式等知识点，比较综合属于一般性题目。
24．②③④
【解析】
【详解】
试题分析：对于①：，，，故①错误；对于②：当时，，，故②正确；对于③，当时，验证可得，故③正确；对于④，当时，∵，∴成立，假设当时，则时，，∵（当且仅当时等号成立），∴，∴对任意正整数，当时，，④正确；故答案为②③④．
考点：函数的性质及应用.
【方法点晴】本题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方
法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力．按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假．对于①：需举反例；对于②：验证即可；对于③，列举即可；对于④：可用数学归纳法加以证明．
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先根据求得的关系，然后将的关系变形可证是等比数列；
（2）先求解出的通项公式，由此可求，利用放缩法进行不等式证明即可.
【详解】
解：（1）由题设，，
∴，∴，
由题设∵，∴，∴，
∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列.
（2）由题设及（1）得，∴，.
∴，∴.
∴.
26．（1）（2）①证明见解析②
【解析】
【分析】
(1 )根据条件计算，求出公比，由等比数列的通项公式求解;(2 )①根据等比数列的定义证明
②由①知，代入可得，错位相减法求和即可.
【详解】
（1）
是等比数列，
公比，
（2）①
又
是首项为，公比为的等比数列；
②由①可知，
，
，
，
两式相减得：
，
【点睛】
本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，错位相减法求和，考查了运算能力，推理能力，属于难题.
27．（1）f（x）＝x+1. （2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）令解析式中的x用代入，得到一个方程组，消去f（）可求出函数的解析式；
（2）先求出An的坐标，依题意得Bn与An关于y＝x对称求出Bn的坐标，求出an，从而求出Sn，将sn2﹣sn﹣12进行累加可求证得结论．
【详解】
（1）由②知x≠0时，
f（x）＝x+1.
（2）g（x）由 An（，），
依题意得Bn与An关于y＝x对称 Bn（，），
sn﹣sn﹣12，
2﹣2（n≥2），
累加得sn2﹣s12＝2（）﹣（）
sn2＝2（）+1﹣（）
又1﹣（）＞1﹣（）0
∴sn2
【点睛】
本题主要考查了函数解析式的求解，以及数列的通项公式和求和，同时考查了利用累加法证明不等式，属于难题．
28．（1）；（2）；（3）存在，或14.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，由题设可得关于的方程组，求出其解后可得列的通项公式.
（2）由（1）可得关于的方程组，其解即为所求的正整数p q的值；
（3）根据题设条件可得关于的方程，利用该方程有正整数解可求的值.
【详解】
（1），所以，
.
（2）由（1）可得.
因为成等差数列，成等比数列，
故，故或
所以或（因不是正整数，舍），
故.
（3）假设存在使得为数列中的项，
故，其中，
，
故，而，
所以（无正整数解，舍）或或
故或，所以或.
29．(1) .
(2)3个，证明见解析.
【解析】
【详解】
分析：（1），则；（2）不妨设，由，令，原问题转化为关于的方程最多有多少个解，可以证明当时，方程①最多有个解：时，方程①最多有个解，从而可得结果.
详解：（1），则
（2）不妨设，由
令，原问题转化为关于的方程
①
最多有多少个解.
下面我们证明：当时，方程①最多有个解：时，方程①最多有个解
当时，考虑函数，则
如果，则为单调函数，故方程①最多只有一个解；
如果，且不妨设由由唯一零点，于是当时，
恒大于或恒小于，当时，恒小于或恒大于
这样在区间上是单调函数，故方程①最多有个解
当时，如果
如果为奇数，则方程①变为
显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①
如果为偶数，则方程①变为
，由的情形，上式最多有个解，即满足①的偶数最多有个
这样，最多有个正数满足方程①
对于，同理可以证明，方程①最多有个解.
综上所述，集合中的元素个数最多有个.
再由（1）可知集合中的元素个数最多有个.
点睛：本题主要考查数列的综合性质以及分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.
30．（1）.；（2）；（3）最大值为4.
【解析】
【分析】
根据即可求出数列的通项公式,再结合，，即可求出等差数列的通项公式;
由知,,利用错位相减法求其前n项和即可;
由知,,利用分离参数法可得, 等价于,令,利用数列单调性的定义求数列的最小值即可.
【详解】
（1）当时，；
当时，，此式当时也成立.
∴.
∴，.
∵，，
∴，，公差，
由等差数列通项公式得,;
（2）由（1）知, ，，
所以，
所以数列的前n项和为，
，
两式相减可得，
；
（3）因为，
所以等价于，
令，
则
当时，.
而，数列从第2项起是递增数列，
故，
所以即实数的最大值为4.
【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解及错位相减法对数列求和;重点考查学生的运算求解能力和转化与化归的思想;属于中档题、常考题型.