8．2 消元（二）（第二课时）
一、创设情境,导入新课
七年级(3)班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上(如下表).
进球数n 0 1 2 3 4 5
投进球的人数 1 2 7 ● ● 2
同时,已知进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4个以下的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补上吗
二、师生互动,课堂探究
(一)指出问题,引发讨论
你能不能用二元一次方程组,帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢
(经过学生思考、讨论、交流)
(二)导入知识,解释疑难
1.例题讲解(见P109)
分析:如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷,那么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦______公顷,3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦_______公顷.
解:设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷.根据两种工作方式中的相等关系,得方程组
去括号,得
②-①,得11x=4.4
解这个方程,得x=0.4
把x=0.4代入①,得y=0.2
这个方程组的解是
答:1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷.
2.上面解方程组的过程可以用下面的框图表示:
3.做一做
为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总重量为460克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总重量为240克,试问1号电池和5号电池每节分别重多少克
分析:如果1号电池和5号电池每节分别重x克,y克,则4克1号电池和5节5号电池总重量为4x+5y克,2节1号电池和3节5号电池总重量为2x+3y克.
解:设1号电池每节重x克,5号电池每节重y克,根据题意可得
②×2-①,得y=20
把y=20代入②,得2x+3×20=240,x=90
所以这个方程组的解为
答:1号电池每节重90克,5号电池每节重20克.
4.练一练:P111练习第2、３题.
(三)归纳总结,知识回顾
这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程,体会到方程组是刻画现实世界的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.
作业：
1.王大伯承包了25亩土地,今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,用去了
44000元,其中种茄子每亩用了1700元,获纯利2400元,种西红柿每亩用了1800元,获纯利2600元,问王大伯一共获纯利多少元
2.一旅游者从下午2时步行到晚上7时,他先走平路,然后登山,到山顶后又沿原路下山回到出发点,已知他走平路时每小时走4千米,爬山时每小时走3千米,下坡时每小时走6千米,问旅游者一共走了多少路
参考答案
1.设王大析种了x亩茄子,y亩西红柿,根据题意得
解得
所以获纯利为10×2400+15×2600=63000元
2.旅游者一共走了20千米路.设平路长x千米,坡路长y千米,
依时间关系有=5 ,即(x+y)=5,2(x+y)=20.
①②
①②加减消元法课堂练习
1．用加减法解下列方程组较简便的消元方法是:将两个方程_______，消去未知数_______．毛
2．已知方程组 ，，用加减法消x的方法是__________；用加减法消y的方法是________．
3．用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数较简单，填写消元的过程．
(1) 消元方法___________．
(2) 消元方法_____________．
4．方程组 的解_________．
5．方程=3的解是_________．
6．已知方程3－5=8是关于x、y的二元一次方程，则m=_____，n=_______．
7．二元一次方程组的解满足2x－ky=10，则k的值等于( )
A．4 B．－4 C．8 D．－8
8．解方程组比较简便的方法为( )
A．代入法 B．加减法 C．换元法 D．三种方法都一样
9．若二元一次方程2x+y=3，3x－y=2和2x－my=－1有公共解，则m取值为( )
A．－2 B．－1 C．3 D．4
10．已知方程组的解是，则m=________，n=________．
11．已知(3x+2y－5)2与│5x+3y－8│互为相反数，则x=______，y=________．
12．若方程组与的解相同，则a=________，b=_________．
13．甲、乙两人同求方程ax－by=7的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把ax－by=7看成ax－by=1，求得一个解为，则a、b的值分别为( )
A． B． C． D．
14．解方程组:
(1) (2)
15．若方程组的解满足x+y=12，求m的值．
16．已知方程组和方程组的解相同，求(2a+b)2005的值．
17．已知方程组中，x、y的系数部已经模糊不清，但知道其中□表示同一个数，△也表示同一个数， 是这个方程组的解，你能求出原方程组吗
18．我省某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加
工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．
当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可以加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，因此，公司制定了三种可行方案:
方案一:将蔬菜全部进行精加工．
方案二:尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接出售．
方案三:将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行精加工，并恰好用15天完成．
你认为选择哪种方案获利最多 为什么
答案:
1．相加y 2．①×3－②×2，①×2+②×3 3．(1)①×2－②消y (2)①×2+②×3消n
4． 5． 6．－2、－1 7．A 8．B 9．C 10．1，4 11．1，1 12．22，8 13．B 14．(1) (2) 15．14 16．a=1，b=－1 17．
18．解:选择第三种方案获利最多．
方案一:因为每天粗加工16吨，140吨可以在15天内加工完，
总利润W1=4500×140=630000(元)．
方案二:因为每天精加工6吨，15天可以加工90吨，其余50吨直接销售，
总利润W2=90×7500+50×1000=725000(元)．
方案三:设15天内精加工蔬菜x吨，粗加工蔬菜y吨，
依题意得: ，解得，
总利润W3=60×7500+80×4500=810000(元)，
因为W1①②
－ 1 －8．2 消元（二）（第一课时）
一、知识与技能目标
1.用代入法、加减法解二元一次方程组.毛
2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想.
3.会用二元一次方程组解决实际问题.
4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力.
5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步提高解方程组的技能.
二、过程与方法目标
1.通过探索二元一次方程组的解法的过程,了解二元一次方程组的“消元”思想,培养学生良好的探索习惯.
2.通过对具体实际问题分解,组织学生自主交流、探索,去发现列方程建模的过程,培养学生用数学的意识.
三、情感态度与价值观目标
1.在学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中，享受学习数学的乐趣，增强学习数学的信息。
2.培养学生合作交流，自主探索的良好习惯。
3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养应用数学的意识。
4.在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣。
新授课：
一、创设情境，导入新课
甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。甲借给乙10元钱，乙借给丙8元钱，丙又给甲12元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，欠多少？
二、师生互动，课堂探究
（一）提高问题，引发讨论
我们知道，对于方程组 , 可以用代入消元法求解。
这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
（二）导入知识，解释疑难
1.问题的解决
上面的两个方程中未知数y的系数相同，②－①可消去未知数y，得(2x+y)-(x+y)=40-22 即x=18,把x=18代入①得y=4。另外，由①－②也能消去未知数y，得(x+y)-(2x+y)=22-40 即-x=-18,x=18,把x=18代入①得y=4.
2.想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组
分析：这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值。
解：由①＋②得 19x=11.6 x=
把x=代入①得y=- ∴这个方程组的解为
3.加减消元法的概念
从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
4.例题讲解
用加减法解方程组
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
解：①×3,得 9x+12y=48 ③
②×2,得 10x-12y=66 ④
③＋④,得 19x=114
x=6
把x=6代入①，得3×6+4y=16
4y=-2, y=-
所以，这个方程组的解是
议一议：本题如果用加减法消去x应如何解？解得结果与上面一样吗？
解：①×5，得 15x+20y=80 ③
②×3,得 15x-18=99 ④
③-④,得 38y=-19
y=-
把y=-代入①，得3x+4×(-)=16
3x=18
x=6
所以，这个方程组的解为
如果求出y=-后，把y=代入②也可以求出未知数x的值。
5.做一做
解方程组
分析：本题不能直接运用加减法求解，要进行化简整理后再求解。
解：化简方程组，得
③－④，得4x=36
x=9
把x=9代入④（也可代入③，但不佳），得
10×9-3y=48
-3y=-42
y=14
∴这个方程组的解为
点评:当方程组比较复杂时,应先化简,并整理成标准形式.本题还可以把2x+3y和2x-3y当成两个整体,用换元法,设2x+3y=A,2x-3y=B,转化为以A、B为未知数的二元一次方程组.
6.想一想
(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么
(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些
师生共析:
(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.
第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.
第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.
(三)归纳总结,知识回顾
本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法──加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.
作业：
1.用加减法解下面方程组时,你认为先消去哪个未知数较简单,填写消元的方法.
(1) ,消元方法_________.
(2) ,消元方法_________.
2.用加减法解下列方程组:
(1) (2)
(3) (4)
参考答案
1.(1)①×②-②消去y (2)①×2+②×3消去n
2.(1) (2) (3) (4)
①②
①②
①②
①②
①②
①②
①②
