1.4充分条件与必要条件-2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一（含解析）

2022年10月11日的高中数学考试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1. “两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2. 集合，的关系如图所示，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. ，的一个必要条件为
A． B． C． D．
4. .若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
5. 下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
A． B． C． D．
6. 已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7. 已知都是实数，设关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
8. 设是实数，则成立的一个必要不充分条件是．
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题）
9. 下面命题为真命题的是（ ）
A．设，则“”是“”的既不充分也不必要条件
B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件
C．“”是“为单元素集”的充分而不必要条件
D．“”是“”的充分不必要条件
10. 对任意实数、、，给出下列命题，其中真命题是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件
11. (多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是（ ）
A． B．
C． D．
12. （多选题）对任意实数,,,下列命题中正确的是
A．“”是“”的充要条件
B．“是无理数”是“是无理数”的充要条件
C．“”是“”的充分条件
D．“”是“”的必要条件
E.“”是“”的必要条件
三、填空题（本大题共4小题）
13. ．设，一元二次方程有整数根的充要条件是
14. 在下列陈述句：①或；②且；③且；④或；中，能成为“且”的必要非充分条件的是 .（填正确的序号）
15. 是的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
16. 对任意实数，，，给出下列命题：①“”是“”的充要条件；②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；③“”是“”的充分条件；④“”是“”的必要条件.其中真命题的序号是 ．
四、解答题（本大题共4小题）
17. 已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a．
(1)若α是β必要非充分条件，求实数a的取值范围；
(2)求证：a≥2是α β成立的充要条件．
18. 求证：关于的方程有实数根，且两根均小于2的充分不必要条件是且.
19. 已知集合或，．
（1）求实数的取值范围，使它成为的充要条件；
（2）求实数的一个值，使它成为的一个充分不必要条件；
（3）求实数的取值范围，使它成为的一个必要不充分条件．
20. 已知:,:,若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
参考答案
1. 【答案】B
【分析】
由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等反之不成立即可判断出结论．
【详解】
由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等反之不成立．
“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．
故选B．
2. 【答案】A
【分析】
根据韦恩图判断集合间的包含关系，进而判断题设条件的充分、必要关系.
【详解】
由韦恩图知：，
∴是的充分不必要条件.
故选：A
3. 【答案】C
【分析】
选择，的一个必要条件，即选出可以由，推出的结果．
【详解】
，，故选C．
4. 【答案】A
【分析】
由题意，由充分条件和必要条件的概念即可得解．
【详解】
由题意，
由，可得，故“”是“”的充分条件；
由不能推出，故“”是“”的不必要条件．
故选：A．
5. 【答案】A
【详解】
试题分析：由，但无法得出，A满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.
考点：不等式性质、充分必要性.
6. 【答案】C
【分析】
由两个集合相等可求得参数．
【详解】
由已知，，
由p是q充要条件得，因此解得，
故选：C.
7. 【答案】D
【分析】当时，说明不是充分条件；当，，时，说明不是必要条件，即可得解.
【详解】当时，，但是不满足，
所以“”不是“”的充分条件；
当，，时，满足，但此时，，不满足，
所以“”不是“”的必要条件.
综上所述：“”是“”的既非充分也非必要条件.
故选：D
8. 【答案】A
【详解】
由题意：的必要不充分条件，即可推答案，由此可知符合题意，故选A.
9. 【答案】BCD
【分析】A 由，则都不为0则可判断命题；B结合韦达定理即可判断命题；C根据方程根的个数求出参数即可判断；D结合不等式的性质以及解分式不等式即可判断.
【详解】A若，，则；若，则都不为0，则“”是“”的必要不充分条件；故A为假命题；
B若二次方程有一正根一负根，则两根之积为负，即，从而，故“”是“二次方程有一正根一负根”的必要条件，
若，则，即方程有两根且两根之积为负，所以二次方程有一正根一负根，故“”是“二次方程有一正根一负根”的充分条件，综上“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件，故B为真命题；
C因为为单元素集，若，则符合题意；若，则，则，则符合题意；综上：为单元素集，则或2，因此“”是“为单元素集”的充分而不必要条件，故C是真命题；
D因为，所以，但是若，则或，则“”是“”的充分不必要条件，故D是真命题，
故选：BCD.
10. 【答案】CD
【分析】
利用特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A、B选项的正误；利用必要条件的定义可判断C选项的正误；利用充要条件的定义可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，因为“”时成立，且时，不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A错；
对于B，，，时，；，，时，.
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错；
对于C，因为“”时一定有“”成立，所以“”是“”的必要条件，C正确；
对于D“是无理数”是“是无理数”的充要条件，D正确.
故选：CD.
11. 【答案】BD
【分析】
利用充分条件，必要条件和充要条件的定义判断.
【详解】
电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；
电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；
电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；
电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．
故选：BD．
12. 【答案】BDE
【分析】
本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断及不等式的性质，我们根据充要条件的定义对题目中的五个选项逐一进行分析即可得到答案．
【详解】
解：A中“” “”为真命题，但当c＝0时，“” “”为假命题，
故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题；
B中“＋5是无理数” “是无理数”为真命题，“是无理数” “＋5是无理数”也为真命题，
故“＋5是无理数”是“是无理数”的充要条件，故B为真命题；
C中“” “” 为假命题，“” “”也为假命题，
故“”是“”的即不充分也不必要条件，故C为假命题；
D中是的真子集，故“”是“”的必要条件，故D为真命题．
E中当c＝0时，“” “”为假命题，“” “”为真命题，故“”是“”的必要条件，故E为真命题；
故选BDE
13. 【答案】3或4
【详解】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．
，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根．
14. 【答案】①②④
【分析】由充分条件、必要条件的定义可求解.
【详解】解：由题意得：
由“且”可推出“或”，反之则不行，①正确；
由“且”可推出“且”，反之则不行，②正确；
由“且”不可推出“且”，反之则可行，③是“且”的充分非必要条件，③正确；
由“且”可推出“或”，反之则不行，④正确.
故答案为：①②④
15. 【答案】必要不充分
【分析】
解一元二次不等式求解集，再判断题设条件间的推出关系，即知它们的充分、必要关系.
【详解】
由，可得且，
∴是的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
16. 【答案】②④
【分析】
命题①中，当时，结论不一定能推出条件
命题②中，证明命题的充分性和必要性即可
命题③显然不成立，通过列举法说明即可
命题④通过范围大小判断即可
【详解】
①中由“”可得，但由“”得不到“”，所以不是充要条件，所以①是假命题；
②中，充分性： 若“是无理数”，判断一定是无理数，充分性成立；必要性：若是无理数，则一定是无理数，必要性成立，②是真命题
③中时，不一定成立，所以③是假命题；
④中由“”得不到“”，但由“”可以得出“”，所以“”是“”的必要条件，所以④是真命题．
17. 【答案】(1){a|a＜2}
(2)证明见解析
【分析】（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，由α是β必要非充分条件，得到B是A的真子集，分类讨论，求出实数a的取值范围；
（2）分别证明充分性和必要性即可．
【详解】解：（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，
若α是β必要非充分条件，则B是A的真子集，
当B＝ 时，a＜1，此时满足B是A的真子集，符合题意，
当B≠ 时，若B是A的真子集，则，解得1≤a＜2，
综上所述实数a的取值范围为{a|a＜2}，
证明：（2）充分性（若a≥2，则α β）．
若a≥2，则{x|1≤x≤2} {x|1≤x≤a}，
所以命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a，故充分性成立，
必要性（若α β，则a≥2）．
若命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a，
则{x|1≤x≤2} {x|1≤x≤a}，所以a≥2，故必要性成立，
综上所述：a≥2是α β成立的充要条件．
18. 【答案】见解析.
【分析】
根据方程有实数根，且两根均小于2 ,转化成关于的不等式，解不等式得出的范围，证明必要性是否成立，根据满足且的条件，判定关于的方程有实数根,且两根均小于2 ,证明充分性是否成立.
【详解】
先证明条件的充分性：
∵
∴，
∴方程有实数根. ①
∵
∴，
而，
∴②
由①②知，“且”是“方程有实数根，且两根均小于2”.
再验证条件的不必要性：
∵方程的两个根为，
则方程有实数根，且两根均小于2，而，
∴“方程的两根均小于2”“且”.
综上所述，“且”是“方程有实数根，且两根均小于2”的充分不必要条件.
19. 【答案】(1) ；（2）是所求的一个充分不必要条件(答案不唯一)；（3）是所求的一个必要但不充分条件.(答案不唯一)．
【分析】
讨论的取值范围，得到集合的等价条件．根据充分条件和必要条件的定义分别进行求解即可
【详解】
（1）的充要条件是，所以实数的取值范围是．
(2)由(1)知,的充要条件是,
则当时,是的一个充分但不必要条件;
比如是所求的一个充分但不必要条件.(答案不唯一)
(3)求实数a的取值范围,使它成为的一个必要但不充分条件就是另求一个集合, 故是它的一个真子集.
如果时,未必有,
但是时,必有,
故是所求的一个必要但不充分条件.(答案不唯一)
20. 【答案】.
【分析】
计算得到，或，，根据条件得到是的真子集，计算得到答案.
【详解】
令或
由已知是的充分不必要条件得,是的真子集,
所以或解得或,所以,
即所求的取值范围是.
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