2022～2023学年第1次学情检测数学试卷
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
1．【答案】A；
2．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．【答案】A；
3．若，则二次函数的图象的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．【答案】C；
4．已知点（，），（，），（，）在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．【答案】B；
5．已知反比例函数的图象如左图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
5．【答案】D；
6．一枚炮弹射出秒后的高度为米，且与之间的关系为（）若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第3.3s B．第4.3s C．第5.2s D．第4.6s
6．【答案】D；
7．已知点，均在抛物线上，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．【答案】D；
8．已知直线（）与双曲线交于点A（，），B（，）两点，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．3
8．【答案】A；
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝4 cm，AB＝3 cm，动点P从点B出发以2 cm/s的速度沿B→A→C方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以1 cm/s的速度沿B→C方向匀速移动．设△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（ s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A B C D
9．【解析】∵在△ABC中，∠B＝90°，BC＝4 cm，AB＝3 cm，
∴8， ∴0≤t≤4．
（1）0≤t时，S△BPQ BQ BPt 2t＝t2，图象为开口向上的抛物线；
（2）当t≤4时，如下图所示，
PH，
S△BPQ BQ HPt×（8﹣2t），图象为开口向下的抛物线； 故选：B．
10．如图，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，0），点D在反比例函数y的图象上，B点在反比例函数y的图象上，AB的中点E在y轴上，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣6 D．﹣8
10．【解析】作DM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，如图，∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA＝1，
∵AE＝BE，BN∥y轴， ∴OA＝ON＝1， ∴AN＝2，B的横坐标为1，
把x＝1代入y，得y＝2， ∴B（1，2）， ∴BN＝2，
∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠MAD+∠BAN＝90°， 而∠MAD+∠ADM＝90°，∴∠BAN＝∠ADM，
在△ADM和△BAN中，，∴△ADM≌△BAN（AAS），
∴DM＝AN＝2，AM＝BN＝2，
∴OM＝OA+AM＝1+2＝3， ∴D（﹣3，2），
∵点D在反比例函数y的图象上， ∴m＝﹣3×2＝﹣6， 故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知二次函数，其中、、满足和，则该二次函数图象的对称轴是直线 。
11． x= -1 ;
12．二次函数中与自变量之间的部分对应值如下表：
－2 －1 0 1 2 3 4
7 2 －1 －2 m 2 7
则的值是 。
12． -1 ;
13．若关于的函数的图象与轴只有一个公共点，则实数的取值范围是 。
13．k=0或 -1；
14．函数，其中m是常数且m≠0，该函数的图象记为G．
（1）当时，图象G与x轴的交点坐标为 ．
（2）若直线y＝m与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为 ．
14．【解析】（1）当x≥0时，对称轴为直线x1，
当x＜0时，对称轴为直线x1，
又当m时，函数y，
当x≥0时，令x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0， ∴x1＝3或x2＝﹣1（舍去），
∴x≥0时，x＝3；
当x＜0时，令﹣x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2+2x+3＝0， ∵Δ＝9﹣12＜0， ∴x＜0，无解。
∴与x轴的交点坐标为（3，0）；
（2）当m＞0时，图象大致如图1所示，
当y＝m经过顶点时，恰有2个交点，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣2m+4m﹣3＝2m﹣3＝m， ∴m＝3；
∴当x＝1时，y＝2m﹣4m﹣3＝﹣2m﹣3＝m， ∴m＝﹣1（舍去），
当m＜0时，图象大致如图2所示，
当y＝m经过顶点时，恰有2个交点，
当x＝﹣1时，y＝﹣2m+4m﹣3＝2m﹣3＝m， ∴m＝3（舍去），
当x＝1时，y＝2m﹣4m﹣3＝﹣2m﹣3＝m， ∴m＝﹣1，
综上所述，m取值为3或﹣1．
三、解答题（共9小题，15～18每题8分，19～20每题10分，21～22每题12分，23题14分，共计90分）
15．已知二次函数。
（1）用配方法把该函数化为的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求函数图象与轴的交点坐标。
15．【解析】（1）配方得，对称轴是直线x=4，顶点坐标为（4，4.5）；
（2）函数图象与x轴的交点坐标是（7，0）、（1，0）。
16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．
16．【解析】（1）B（2，4），C（6，4），D（6，6）； …………（3分）
（2）A、C落在反比例函数的图象上， …………（4分）
设矩形平移后A的坐标是（2，），C的坐标是（6，）
∵A、C落在反比例函数的图象上，
∴，解得
即矩形平移后A的坐标是（2，3） …………（6分）
代入反比例函数的解析式得：
即：矩形的平移距离是3，反比例函数的解析式是．…………（8分）
17．已知二次函数．
（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同交点；
（2）若此函数有最小值，求这个函数表达式．
17．【解析】（1）证明：，
∵不论为何值时，， ∴，即，
∴此二次函数图象与轴有两个不同交点． …………（4分）
（2），即 解得，
故所求函数表达式为或。 …………（8分）
18．为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释效过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.9毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
18．【详解】（1）当时，，
设正比例函数解析式为：，反比例函数解析式为：，
将分别代入，， 解得：，
（）， （）．
（2）将代入：， 解得， 分钟小时，
答：从药物释放开始，至少需要经过2小时后，学生才能进入教室．
19．如图，学校要用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米．
（1）若矩形ABCD的面积为144平方米，求矩形的边AB的长．
（2）要想使花圃的面积最大、AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？
19．【解析】（1）设AB为x米，则BC＝（36﹣2x）米，
由题意得：x（36﹣2x）＝144， 解得：x1＝6，x2＝12，
∵墙长为16米，36米的篱笆，
∴36﹣2x≤16，2x＜36， ∴10≤x＜18，
∴x＝12， ∴AB＝12，
答：矩形的边AB的长为12米；
（2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（36﹣2x）米，
∴y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，
∵10≤x＜18，且﹣2＜0，故抛物线开口向下，
∴当x＝10时，y有最大值是160，
答：AB边的长应为10米时，有最大面积，且最大面积为160平方米．
20．已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），
（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围；
（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．
20．【解析】（1）将（3，m）代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，
将（n，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2， 解得n＝﹣2，
∴抛物线经过点（3，4），（﹣2，﹣6），
将（3，4），（﹣2，﹣6）代入y2＝﹣x2+bx+c得， 解得，
∴y＝﹣x2+3x+4。
由图象可得﹣2＜x＜3时，抛物线在直线上方， ∴y1＜y2时x的取值范围是﹣2＜x＜3．
（2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0，
当Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0时，两函数图象只有一个公共点，
∴b＝2，c＝﹣2，满足题意．
21．如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点A(1，3)、B(，)。
（1）求这两个函数的解析式；
（2）观察图象，请直接写出不等式的解集；
（3）点C为轴正半轴上一点，连接AO、AC，且AO=AC，求△AOC的面积。
21．【解析】（1）把A（1，3）的坐标代入，得m=3，
∴反比例函数的解析式为，把B（n，-1）的坐标代入，得-n=3，n= -3；
把A（1，3）和B（-3，-1）的坐标分别代入，
得， 解得k=1，b=2 ∴一次函数的解析式为y2= x+2；
（2）x＞1或-3＜x＜0；
（3）过A点作AD⊥OC于点D， ∵AO=AC， ∴OD=CD
∵A（1，3）在双曲线图象上，∴OD·AD=3，∴OC·AD=3， ∴S⊿AOC=3。
22．跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线解析式为．
（1）求绳子所对应的抛物线解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
（3）身高1.64m的小军，站在绳子的下方，设他距离甲拿绳子的手sm，为确保绳子能通过他的头顶，请求出s的取值范围．
22．【解析】（1）根据题意，抛物线经过点（0，1），（4，1）．
∴ 解得
∴绳子所对应的抛物线解析式为：y．
（2）身高1.70m的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
理由如下：∵y，当x时，
y最大值1.7．
∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
（3）当y＝1.64时，1.64，
即x2﹣4x﹣3.84＝0， 解得：x． ∴x1＝2.4，x2＝1.6．
∴1.6＜s＜2.4．
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．
23．【解析】（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，
y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，
∵对称轴是直线x＝1． ∴1， ∴b＝﹣2a，
∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，
∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，
∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5， ∴a＜0不合题意；
②a＞0时，抛物线开口向上，
∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，
∴x＝﹣2时，y的值最大，
∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，
将b＝﹣2a代入得，a＝1；
（3）①t＜0时，∵a＝1， ∴b＝﹣2a＝﹣2，
∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，
∵m﹣n＝3， ∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；
②t＜1时， ∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4，
∵m﹣n＝3， ∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；
③0＜t时， ∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4，
∵m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±1（不成立）；
④t≥1时， ∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3，
∵m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；
综上，t的值为﹣1或2．2022～2023学年第1次学情检测数学试卷
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则二次函数的图象的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知点（，），（，），（，）在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知反比例函数的图象如左图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
6．一枚炮弹射出秒后的高度为米，且与之间的关系为（）若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第3.3s B．第4.3s C．第5.2s D．第4.6s
7．已知点，均在抛物线上，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．已知直线（）与双曲线交于点A（，），B（，）两点，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．3
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝4 cm，AB＝3 cm，动点P从点B出发以2 cm/s的速度沿B→A→C方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以1 cm/s的速度沿B→C方向匀速移动．设△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（ s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A B C D
10．如图，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，0），点D在反比例函数y的图象上，B点在反比例函数y的图象上，AB的中点E在y轴上，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣6 D．﹣8
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知二次函数，其中、、满足和，则该二次函数图象的对称轴是直线 。
12．二次函数中与自变量之间的部分对应值如下表：
－2 －1 0 1 2 3 4
7 2 －1 －2 m 2 7
则的值是 。
13．若关于的函数的图象与轴只有一个公共点，则实数的取值范围是 。
14．函数，其中m是常数且m≠0，该函数的图象记为G．
（1）当时，图象G与x轴的交点坐标为 ．
（2）若直线y＝m与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为 ．
三、解答题（共9小题，15～18每题8分，19～20每题10分，21～22每题12分，23题14分，共计90分）
15．已知二次函数。
（1）用配方法把该函数化为的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求函数图象与轴的交点坐标。
16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．
17．已知二次函数．
（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同交点；
（2）若此函数有最小值，求这个函数表达式．
18．为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释效过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.9毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
19．如图，学校要用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米．
（1）若矩形ABCD的面积为144平方米，求矩形的边AB的长；
（2）要想使花圃的面积最大、AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？
20．已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），
（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围；
（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．
21．如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点A(1，3)、B(，)。
（1）求这两个函数的解析式；
（2）观察图象，请直接写出不等式的解集；
（3）点C为轴正半轴上一点，连接AO、AC，且AO=AC，求△AOC的面积。
22．跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线解析式为．
（1）求绳子所对应的抛物线解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
（3）身高1.64m的小军，站在绳子的下方，设他距离甲拿绳子的手sm，为确保绳子能通过他的头顶，请求出s的取值范围．
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．
