26.2 二次函数的图象与性质
— 月考热身 —
一、选择题
1、［2021广阳区·六中月考］已知一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2、［2022澧县·王家厂中学月考］已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则抛物线y＝ax2+bx+c必过点（ ）
A．（2，0） B．（0，0） C．（﹣1，0） D．（1，0）
3、［2022垦利区·月考］当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝（x+m）2+m+1有最大值5，则m的值为（ ）
A．或 B．或﹣
C．或 D．或﹣
4、［2022江都区·月考］若实数x、y满足2x2﹣6x+y＝0，则x2+y+2x的最大值是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
5、［2021青县·月考］一次函数y＝x+a与二次函数y＝ax2﹣a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6、［2022东宝区·德艺学校月考］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c），其中2≤c≤3．对称轴为直线x＝1，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x≥3时，y＜0；③这个二次函数的最大值的最小值为；④﹣1≤a≤﹣，其中正确结论的个数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
7、［2021汝州市·月考］如图正方形的边长为1，A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么
抛物线表达式为（ ）
A．y＝2x2+ B．y＝﹣x2+ C．y＝ D．y＝﹣（x﹣2）2
二、填空题
8、［2022江西·月考］二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3的最大值是 ．
9、［2022西城区·三帆中学月考］二次函数y＝x2﹣6x+5的对称轴为 ．
10、［2022崇川区·启秀中学月考］若A（m﹣1，n）、B（m+3，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2022上两点，则n＝ ．
11、［2022江都区·月考］若定义一种新运算：a b＝，例如：4 1＝4×1＝4；5 4＝10﹣4﹣2＝4．则函数y＝（﹣x+3） （x+1）的最大值是 ．
12、［2022龙华区·高峰学校月考］已知（﹣2，y1），（3，y2）在y＝x2+2x+c图象上，比较y1 y2．（填＞、＜或＝）
13、［2022洪山区·月考］如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连结CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连结AF．在整个变化过程中，△AEF面积的最大值是 ．
14、［2022绿园区·汽开九中月考］在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+mx+2m（m为常数，m＜0），若对于任意的x满足m≤x≤m+2，且此时x所对应的函数值的最小值为12，则m＝ ．
15、［2022宜兴市·月考］直线y＝4x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC恰有一个公共点，则a的取值范围是 ．
三、解答题
16、［2022西城区·月考］二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 …
y … ﹣ 0 0 ﹣ …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出此二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当﹣4≤x＜0时，y的取值范围 ．
17、［2021临沭县·月考］已知二次函数y＝x2﹣6x+8．
（1）将解析式化成顶点式；
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．
18、［2022江干区·养正中学月考］在平面直角坐标系内，设二次函数（a为常数）．
（1）若函数y1的图象经过点（1，2），求函数y1的表达式；
（2）若y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，求b值；
（3）已知（x0，n）（x0＞0）在函数y1的图象上，当x0＞2a时，求证：．
19、［2021常熟市·月考］已知二次函数y＝﹣2x2+3x﹣1．
（1）利用配方法求顶点坐标A；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）如果将该函数向左平移，当图象第一次经过原点时，求新图象的解析式．
20、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+1．
（1）若点（2，﹣1）在抛物线上，求此时m的值以及顶点坐标；
（2）不论m取何值时，抛物线的顶点始在一条直线上，求该直线的解析式；
（3）求抛物线的顶点M与原点O的距离的最小值；
（4）若有两点A（﹣1，0），B（1，0），且该抛物线与线段AB始终有交点，求m的取值范围．
21、已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
22、已知y与x2成正比例，并且x＝1时y＝2．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当x＝﹣1时y的值．
23、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a+2）x+2a．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）若点（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范围．26.2 二次函数的图象与性质
— 月考热身 —
> > > 精品解析 < < <
一、选择题
1、［2021广阳区·六中月考］已知一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
［思路分析］对四个选项进行逐个分析，即可得出答案．
［答案详解］解：由一次函数经过一、三、四象限可得a＞0，
由二次函数开口向下可得a＜0，两者相矛盾，
∴选项A不符合题意；
由一次函数经过一、二、三象限可得b＞0与已知b＜0相矛盾，
∴选项B不符合题意；
由一次函数经过二、三、四象限可得a＜0，b＜0，
由抛物线开口向下可知a＜0，
∴选项C符合题意；
由一次函数经过一、二、四象限可得a＜0，b＞0与已知b＜0相矛盾，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质及一次函数的性质，掌握一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质是解决问题的关键．
2、［2022澧县·王家厂中学月考］已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则抛物线y＝ax2+bx+c必过点（ ）
A．（2，0） B．（0，0） C．（﹣1，0） D．（1，0）
［思路分析］由于a+b+c＝0，即自变量为1时，函数值为0，根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点（1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c．
［答案详解］解：∵a+b+c＝0，
∴x＝1时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝0，
∴点（1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c．
故选：D．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
3、［2022垦利区·月考］当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝（x+m）2+m+1有最大值5，则m的值为（ ）
A．或 B．或﹣
C．或 D．或﹣
［思路分析］分类讨论，①对称轴在x＝1左侧，②对称轴在x＝1右侧，求得m的值，即可解题．
［答案详解］解：∵二次函数y＝（x+m）2+m+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣m，
①当对称轴x＝﹣m≤1时，x＝3，二次函数有最大值，此时m≥﹣1，
代入x＝3得：m2+6m+9+m+1＝5，
化简得：m2+7m+5＝0，
解得：m＝，或m＝（舍去）；
②当对称轴x＝﹣m≥1时，x＝﹣1，二次函数有最大值，此时m≤﹣1，
代入x＝﹣1得：m2﹣2m+1+m+1＝5，
化简得：m2﹣m﹣3＝0，
解得：m＝，或m＝（舍去）；
综上所述，m的值为：或．
故选：C．
［经验总结］本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4、［2022江都区·月考］若实数x、y满足2x2﹣6x+y＝0，则x2+y+2x的最大值是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
［思路分析］由2x2﹣6x+y＝0，得y＝﹣2x2+6x，代入x2+y+2x即可得到x2+y+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣（x﹣4）2+16，利用二次函数的性质即可得到结论．
［答案详解］解：由2x2﹣6x+y＝0，得y＝﹣2x2+6x，
∴x2+y+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，
故当x＝4时，x2+y+2x的最大值是16．
故选：C．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的最值问题，用含x的代数式代替y，得到关于x的函数解析式是解题的关键．
5、［2021青县·月考］一次函数y＝x+a与二次函数y＝ax2﹣a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
［思路分析］根据二次函数的图象和一次函数与x轴，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
［答案详解］解：由一次函数y＝x+a可知，一次函数的图象与x轴交于（﹣a，0），与y轴交于点（0，a），由二次函数y＝ax2﹣a可知，抛物线与x轴交于（﹣1，0）和（1，0），与y轴交于点（0，﹣a），
∵两个函数的图象与x轴交于不同的两点，与y轴交于不同的两点，
∴A、B、D不可能，
选项C中，由直线经过一、三、四象限可知a＜0，由抛物线可知开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，故C有可能；
故选：C．
［经验总结］本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，函数图象与坐标轴的交点，以及函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．
6、［2022东宝区·德艺学校月考］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c），其中2≤c≤3．对称轴为直线x＝1，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x≥3时，y＜0；③这个二次函数的最大值的最小值为；④﹣1≤a≤﹣，其中正确结论的个数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
［思路分析］根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
［答案详解］解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
∴①正确．
∵抛物线过点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）．
∵抛物线与y轴交于C（0，c），2≤c≤3，
∴a＜0，
∴当x≥3时，y≤0，
∴②错误．
∵抛物线过点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴a＝﹣c．
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，y有最大值＝a+b+c＝﹣c+c+c＝c．
∵2≤c≤3，
∴≤≤4．
∴这个二次函数的最大值的最小值为，
∴③正确．
∵a＝﹣c，2≤c≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，
∴④正确．
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
7、［2021汝州市·月考］如图正方形的边长为1，A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么
抛物线表达式为（ ）
A．y＝2x2+ B．y＝﹣x2+ C．y＝ D．y＝﹣（x﹣2）2
［思路分析］作CD⊥x轴，如图所示，由题意可设y＝ax2+，由勾股定理得OD＝OC＝，把C（，），代入y＝ax2+，计算即可．
［答案详解］解：由题意可得，OA＝，
∴A（0，），
设y＝ax2+，
作CD⊥x轴，如图所示：
在正方形ABOC中，OC＝1，∠AOC＝45°，
∴∠DOC＝45°，△OCD为等腰直角三角形，
∴OD＝CD，
由勾股定理得OD＝OC＝，
∴C（，），
把C（，），代入y＝ax2+，
得a＝，
解得a＝﹣，
∴抛物线表达式为y＝x2+，
故选：B．
［经验总结］此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、正方形的性质，掌握这几个知识点的综合应用，其中求C点坐标是解题关键．
二、填空题
8、［2022江西·月考］二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3的最大值是 ．
［思路分析］由二次函数解析式可得函数最大值为3．
［答案详解］解：∵y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴x＝2时，y取最大值为y＝3，
故答案为：3．
［经验总结］本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
9、［2022西城区·三帆中学月考］二次函数y＝x2﹣6x+5的对称轴为 ．
［思路分析］将二次函数解析式化为顶点式求解．
［答案详解］解：∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
故答案为：x＝3．
［经验总结］此题考查二次函数的对称轴，关键是将二次函数解析式化为顶点式求解．
10、［2022崇川区·启秀中学月考］若A（m﹣1，n）、B（m+3，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2022上两点，则n＝ ．
［思路分析］利用抛物线的对称性得到h＝m+1，然后把A（m﹣1，n）代入y＝﹣（x﹣m﹣1）2+2022中可求出n的值．
［答案详解］解：∴A（m﹣1，n）、B（m+3，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2022上两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝m+1，
∴h＝m+1，
∴y＝﹣（x﹣m﹣1）2+2022，
把A（m﹣1，n）代入得n＝﹣（m﹣1﹣m﹣1）2+2022＝﹣4+2022＝2018．
故答案为：2018．
［经验总结］本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，得到h＝m+1是解题的关键．
11、［2022江都区·月考］若定义一种新运算：a b＝，例如：4 1＝4×1＝4；5 4＝10﹣4﹣2＝4．则函数y＝（﹣x+3） （x+1）的最大值是 ．
［思路分析］根据新运算的定义，对（﹣x+3）和3（x+1）的大小进行比较，列出不同的情况分类讨论，得到不同的函数表达式求出最值即可．
［答案详解］解：由题可得，
①当﹣x+3≥3（x+1）时，
即：x≤0，
y＝（﹣x+3）（x+1）＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4．
由抛物线性质可得，
当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴只有当x＝0时，y的最大值为y＝3；
②当﹣x+3＜3（x+1）时，
即：x＞0，
y＝2×（﹣x+3）﹣（x+1）﹣2
＝﹣3x+3．
∵﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，当x＝0时，y＝﹣3×0+3＝3．
∵x＞0，
∴y＜3，
综上①②得y≤3．
故函数y＝（﹣x+3） （x+1）的最大值是3．
［经验总结］本题考查了二次函数的最值以及一次函数的最值，熟练掌握函数最值的求法是解题的关键．
12、［2022龙华区·高峰学校月考］已知（﹣2，y1），（3，y2）在y＝x2+2x+c图象上，比较y1 y2．（填＞、＜或＝）
［思路分析］由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
［答案详解］解：∵y＝x2+2x+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1﹣（﹣2）＜3﹣（﹣1），
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
［经验总结］本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
13、［2022洪山区·月考］如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连结CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连结AF．在整个变化过程中，△AEF面积的最大值是 ．
［思路分析］证明Rt△EFH≌Rt△CED，设AE＝a，用含a代数式表示△AEF的面积，进而求解．
［答案详解］解：∠FEH+∠CED＝90°，∠FEH+∠EFH＝90°，
∴∠CED＝∠EFH，
在Rt△EFH和Rt△CED中，
，
∴Rt△EFH≌Rt△CED（AAS），
∴ED＝FH，
设AE＝a，则ED＝FH＝3﹣a，
∴S△AEF＝AE FH＝a（3﹣a）＝﹣（a﹣）2+，
∴当AE＝时，△AEF面积的最大值为．
故答案为：．
［经验总结］本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质．
14、［2022绿园区·汽开九中月考］在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+mx+2m（m为常数，m＜0），若对于任意的x满足m≤x≤m+2，且此时x所对应的函数值的最小值为12，则m＝ ．
［思路分析］将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴与开口方向分类讨论顶点为图象最低点或直线x＝m+2与抛物线交点为最低点，进而求解．
［答案详解］解：∵y＝x2+mx+2m＝（x+）2﹣+2m，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣，﹣+2m），
当m＜﹣＜m+2时，﹣＜m＜0，
﹣+2m＝12，方程无解．
当m≤﹣时，将x＝m+2代入y＝x2+mx+2m得y＝（m+2）2+m（m+2）+2m＝2m2+8m+4，
令2m2+8m+4＝12，
解得m＝（舍）或m＝﹣2﹣2，
故答案为：﹣2﹣2．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
15、［2022宜兴市·月考］直线y＝4x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC恰有一个公共点，则a的取值范围是 ．
［思路分析］根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标，根据一次函数与x轴交点特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴，然后结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．
［答案详解］解：直线y＝4x+4中，令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，4），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（5，4）；
将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；
∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＜4，
∴a＞﹣，
将x＝5代入抛物线得y＝12a，
∴12a≥4，
∴a≥，
∴a≥；
②a＜0时，如图2，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＞4，
∴a＜﹣；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，
将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣1．
综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．
故答案为：a≥或a＜﹣或a＝﹣1．
［经验总结］本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，有难度，且涉及知识点较多．
三、解答题
16、［2022西城区·月考］二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 …
y … ﹣ 0 0 ﹣ …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出此二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当﹣4≤x＜0时，y的取值范围 ．
［思路分析］（1）根据表格数据，设二次函数的表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），结合点（﹣2，）利用待定系数法即可求出二次函数表达式；
（2）先求出顶点，再描点、连线，画出函数图象；
（3）根据x的取值范围可得答案．
［答案详解］解：（1）由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），
∵二次函数经过点（﹣2，），
∴﹣3a＝，
∴a＝﹣，
∴二次函数的表达式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+；
（2）y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+2，
顶点为（﹣1，2），
描点、连线，画出图形如图所示：
（3）观察函数图象可知：当﹣4≤x＜0时，y的取值范围是﹣≤y≤2，
故答案为：﹣≤y≤2．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据给定点的坐标画出函数图象；（3）观察函数图象结合顶点点坐标得出y的取值范围．
17、［2021临沭县·月考］已知二次函数y＝x2﹣6x+8．
（1）将解析式化成顶点式；
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．
［思路分析］（1）利用配方法将解析式化成顶点式；
（2）根据二次函数的性质解答；
（3）根据抛物线的开口方向、对称轴以及二次函数的性质解答．
［答案详解］解：（1）y＝x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1；
（2）开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，﹣1）；
（3）x＞3时，y随x的增大而增大；x＜3时，y随x增大而减小．
［经验总结］本题考查的是二次函数的三种形式、配方法的应用以及二次函数的性质，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
18、［2022江干区·养正中学月考］在平面直角坐标系内，设二次函数（a为常数）．
（1）若函数y1的图象经过点（1，2），求函数y1的表达式；
（2）若y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，求b值；
（3）已知（x0，n）（x0＞0）在函数y1的图象上，当x0＞2a时，求证：．
［思路分析］（1）将点（1，2）代入解析式可求解；
（2）由两图象仅有一个交点，可得（x﹣a）2+a﹣1＝x+b有两个相等的实数根，即Δ＝0，可求解；
（3）由题意可得x＝0的函数值小于x＝x0的函数值，即可求解．
［答案详解］解：（1）将（1，2）代入，
得到（1﹣a）2+a﹣1＝2，
解得a1＝﹣1，a2＝2，
∴y＝（x+1）2﹣2或；
（2）∵y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，
∴（x﹣a）2+a﹣1＝x+b有两个相等的实数根，
即x2﹣（2a+1）x+a2+a﹣b﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（2a+1）2﹣4（a2+a﹣b﹣1）＝0，
∴4b+5＝0，
∴；
（3）∵x0＞2a，
∴，
结合函数图象，可得|a﹣0|＜|a﹣x0|，
∴，
∴n＞a2+a﹣1，
∴，
∵，
∴，
∴．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的应用，灵活运用二次函数的性质是本题的关键．
19、［2021常熟市·月考］已知二次函数y＝﹣2x2+3x﹣1．
（1）利用配方法求顶点坐标A；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）如果将该函数向左平移，当图象第一次经过原点时，求新图象的解析式．
［思路分析］（1）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0）；
（2）抛物线与x轴交点的坐标的纵坐标等于零，与y轴交点的横坐标等于零；
（3）利用顶点坐标求出平移后的解析式．
［答案详解］解：（1）y＝﹣2x2+3x﹣1＝﹣2（x2﹣x）﹣1＝﹣2（x﹣）2+，则顶点A的坐标是（，）；
（2）当x＝0时，y＝﹣1，即抛物线与y轴的交点是（0，﹣1）．
当y＝0时，﹣2x2+3x﹣1＝0，
解得，x1＝1，x2＝，即抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（，0）；
（3）由（2）知，抛物线与x轴的两个交点是（1，0），（，0）；
∴该二次函数的图象向左平移个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点．
此时，图象顶点为（，）
∴平移后图象对应的二次函数的解析式为y＝﹣2（x﹣）2+．
［经验总结］本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象与几何变换，抛物线与x轴的交点．
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
20、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+1．
（1）若点（2，﹣1）在抛物线上，求此时m的值以及顶点坐标；
（2）不论m取何值时，抛物线的顶点始在一条直线上，求该直线的解析式；
（3）求抛物线的顶点M与原点O的距离的最小值；
（4）若有两点A（﹣1，0），B（1，0），且该抛物线与线段AB始终有交点，求m的取值范围．
［思路分析］（1）利用配方法求出抛物线的顶点坐标是（m，﹣m+1），根据点（2，﹣1）在抛物线上，求出m的值，即可得出顶点坐标；
（2）由于抛物线的顶点坐标是（m，﹣m+1），即可得出顶点在直线y＝﹣x+1上；
（3）根据勾股定理表示出OM＝，当m＝时，有最小值；
（4）把点A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m的值，再把B（1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m的值，即可求解．
［答案详解］解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，
∴顶点坐标是（m，﹣m+1），
∵（2，﹣1）在抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1上
∴﹣22+4m﹣m2﹣m+1＝﹣1，解得m＝2或1，
∴抛物线的顶点为（2，﹣1）或者（1，0）；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1的顶点坐标是（m，﹣m+1），
∴抛物线的顶点在直线y＝﹣x+1上；
（3）∵顶点M坐标是（m，﹣m+1），
∴OM＝
＝，
∵当m＝时，有最小值，
∴抛物线的顶点M与原点O的距离的最小值为；
（4）当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+1过点A（﹣1，0）时，
﹣1﹣2m﹣m2+1＝0，
解得m1＝0，m2＝﹣2，
当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+1过点B（1，0）时，
﹣1+2m﹣m2+1＝0，
解得m1＝0，m2＝2，
故﹣2≤m≤2．
［经验总结］本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，求直线的解析式等知识，有一定难度．把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．
21、已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
［思路分析］（1）将（2，4）代入解析式求解．
（2）由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．
［答案详解］解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
又∵m＞0，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
22、已知y与x2成正比例，并且x＝1时y＝2．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当x＝﹣1时y的值．
［思路分析］（1）根据题意可以设y＝kx2（k≠0），然后将x、y的值代入该函数解析式即可求得k的值，进而求得解析式．
（2）把x＝﹣1代入所求得的函数解析式即可求得相应的y的值．
［答案详解］解：（1）∵y与x2成正比例，
∴设y＝kx2（k≠0），
∵当x＝1时，y＝2，
∴2＝k 12，
解得，k＝2，
∴y与x之间的函数关系式为y＝2x2．
（2）∵函数关系式为y＝2x2，
∴当x＝﹣1时，y＝2×1＝2．
［经验总结］本题考查了待定系数法求正比例函数解析式．此题属于易错题，注意是y与x2成正比例，而不是“y与x成正比例”．
23、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a+2）x+2a．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）若点（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范围．
［思路分析］（1）由抛物线的对称轴公式即可得出答案；
（2）由二次函数的性质与不等式求解即可．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝x2+（a+2）x+2a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣﹣1，
即直线x＝﹣﹣1；
（2）y＝x2+（a+2）x+2a，
整理得：y＝（x+2）（x+a），
当x＝﹣1时，y1＝（﹣1+2）（﹣1+a）＝a﹣1，
当x＝a时，y2＝（a+2）（a+a）＝2a2+4a，
当x＝1时，y3＝（1+2）（1+a）＝3a+3，
∵y1＜y2，
∴a﹣1＜2a2+4a，
解得：a＞﹣或a＜﹣1，
∵y2＜y3，
∴2a2+4a＜3a+3，
解得：﹣＜a＜1，
∵y1＜y2＜y3，
∴﹣＜a＜﹣1或﹣＜a＜1，
∴a的取值范围为：﹣＜a＜﹣1或﹣＜a＜1．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及对称轴、不等式等知识，熟练掌握图象上点的坐标特征和二次函数的性质是解题的关键．
