1.1集合的概念与表示课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
第一章　预备知识
§1　集　合
1.1　集合的概念与表示
核心知识目标 核心素养目标
1.通过实例了解集合的含义.
2.掌握集合中元素的特性.
3.体会元素与集合的“属于”关系.
4.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法,感受集合语言的意义与作用.
5.在具体情境中,了解空集的含义. 1.通过集合概念的学习,逐步形成数学抽象素养.
2.借助集合元素互异性的应用,培养逻辑推理素养.
知识探究·素养培育
探究点一
[问题1] 集合是一个古老而又非常自然的概念,成语“物以类聚”“人以群分”就蕴含着集合的概念.其实在初中,也接触过“集合”一词.在现代数学里,集合是一种简单、高雅的数学语言.那么我们怎样理解数学中的“集合”呢
集合及相关概念
提示:①自然数的集合;②不等式解的集合;③到一个定点的距离等于定长的点的集合.
知识点1:集合和元素的相关概念
全体
(1)集合:把指定的某些对象的 称为集合,通常用大写英文字母A,B,
C,…表示.
(2)元素:集合中的每个对象叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,
c,…表示.
[思考1] 某班身高高于175 cm的所有男生能否构成一个集合
提示:能构成一个集合,因为标准确定.
[例1] 下列四组对象,能构成集合的是(　)
(A)某班所有高个子的学生
(B)著名的艺术家
(C)一切很大的书
(D)倒数等于它自身的实数
解析:某班所有高个子的学生,因为高个子学生不确定,所以不满足集合元素的确定性;著名的艺术家,因为著名的艺术家不确定,所以不满足集合元素的确定性;一切很大的书,因为很大的书不确定,所以不满足集合元素的确定性;倒数等于它自身的实数为1与-1,所以满足集合的定义,故正确.故选D.
变式训练1-1:(多选题)下列各组对象能够组成集合的是(　　)
(A)2019年国际篮联篮球世界杯参赛队伍
(B)中国文学四大名著
(C)著名的歌唱家
(D)我国的直辖市
解析:A,B,D所表示的对象都能确定,能组成集合.由于著名没有一个确定的标准,因此选项C著名的歌唱家不能组成集合.故选ABD.
方法总结
判定一组对象能否构成集合的关键是看集合中的对象是否是确定的,也就是有明确的标准,即给定的对象必须是“确定无疑”的,而不能是“模棱两可”的.
探究点二
[问题2] 我国古代的四大发明可以构成一个集合,它们分别是造纸术、活字印刷术、指南针和火药.当我们提到指南针时就知道它是四大发明的一种,而《西游记》不是四大发明.那么指南针、《西游记》和四大发明所构成的集合之间各有什么关系
元素与集合的关系
提示:指南针是四大发明之一,属于这个集合;《西游记》不是四大发明,不属于这个集合.
知识点2:元素与集合的关系
(1)元素与集合的关系
①属于:如果元素a在集合A中,就说元素a属于集合A,记作a A.
②不属于:如果元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A,记作a A.
(2)常用数集及符号表示
数集名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集
字母
表示 . . Z Q R R+
∈

N
N*或N+
[思考2] 设集合A表示“1～10以内的所有素数”,3,4这两个元素与集合A有什么关系 如何用数学语言表示
提示:3是集合A中的元素,即3属于集合A,记作3∈A;4不是集合A中的元素,即4不属于集合A,记作4 A.　
(1)解析:①π是实数,所以π∈R正确;
(2)已知集合A由三个数a-2,2a2+5a,3组成,且-3∈A,求实数a的值.
(2)解:由-3∈A,得a-2=-3或2a2+5a=-3.
①若a-2=-3,则a=-1,
当a=-1时,2a2+5a=-3,不满足集合元素的互异性,
所以a=-1不符合题意.
变式训练2-1:已知集合A中的元素满足2x+a>0,a∈R.若1 A,2∈A,则实数a的取值范围为　　　　.
答案:-4方法总结
根据确定的元素属于集合求解含参数(未知量)的问题,求解时,先根据集合中元素的确定性解出参数的所有可能的值,再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.另外,在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.
探究点三
[问题3] 地球上的四大洋组成的集合如何表示 不等式x-5<0的解组成的集合又如何表示呢 两个集合中的元素个数有何区别
集合的表示方法
提示:地球上的四大洋组成的集合可以一一列举出来.而不等式x-5<0的解组成的集合不能一一列举.第一个集合中的元素是有限个,而第二个集合中的元素是无限个.
(1)集合的表示方法
①列举法:把集合中的元素 出来写在花括号“{ }”内表示集合的方法叫作列举法.
②描述法:通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.
(2)集合的分类
①有限集:含有 元素的集合叫作有限集.
知识点3:集合的表示方法
一一列举
有限个
②无限集:含有 元素的集合叫作无限集.
无限个
(3)区间的概念
设a,b是两个实数,且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 .
{x|a{x|a≤x闭区间 .
[a,b]
(a,b)
[a,b)
{x|a闭区间 .
{x|x≥a} [a,+∞)
{x|x>a} (a,+∞)
{x|x≤b} (-∞,b]
{x|xR (-∞,+∞)
(a,b]
[例3] (1)用列举法表示下列集合:
①不大于7的所有非负偶数组成的集合;
②方程2x2-x-1=0的所有实数解组成的集合;
解:(1)①不大于7的所有非负偶数分别是0,2,4,6,所以该集合可用列举法表示为{0,2,4,6}.
③一次函数y=x+3与y=2x的图象的交点组成的集合.
(2)用描述法表示下列集合:
①不等式2x-3>0的解集;
②平面直角坐标系中第二象限内的所有点组成的集合;
③被3除余1的所有整数组成的集合.
解:(2)①{x∈R|2x-3>0}.
②{(x,y)|x<0,且y>0}.
③{x|x=3n+1,n∈Z}.
变式训练3-1:用适当的方法表示下列集合.
(1)所有奇数组成的集合;
(2)不大于10的所有素数组成的集合;
(3)平面直角坐标系中的所有点组成的集合;
(4)满足-1<2x-1≤3的x的取值集合.
解:(1){x|x=2n-1,n∈Z}.
(2)不大于10的所有素数分别是2,3,5,7,所以该集合可用列举法表示为{2,3,5,7}.
(3){(x,y)|x∈R,且y∈R}.
(4)由-1<2x-1≤3,得0方法总结
(1)列举法表示集合的一般形式为{a1,a2,…,an},其中ai,i=1,2,…,n为集合的元素.
(2)描述法表示集合的一般形式为{x|p(x)},其中x为集合的一般符号及范围,p(x)为元素所具有的共同特征.
提醒:在用列举法表示集合时,不能用{所有实数}或{R}来表示实数集R.
拓展探索素养培优
集合表示方法的综合应用
[典例] 已知集合A={x|kx2-8x+16=0}.
(1)若集合A中只有一个元素,求实数k的值组成的集合;
(2)若集合A中只有两个元素,求实数k的值组成的集合;
(3)若集合A中至少有一个元素,求实数k的值组成的集合.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:集合的含义,集合的表示方法,一元二次方程.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
解:(1)①当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,满足题意;
②当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程
kx2-8x+16=0有两个相等的实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意.
综上所述,k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为{0,1}.
(3)由题意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根.
①当k=0时,由-8x+16=0得x=2,符合题意;
②当k≠0时,要使方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根,则Δ=64-64k≥0,即k≤1.
综合①②可知,实数k的值组成的集合为{k|k≤1}.
[素养演练] 已知M={a|a≤-2,或a≥2},A={a|(a-2)(a2-3)=0,a∈M},则集合A的元素个数为(　　)
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
备用例题
[例1] 直角坐标平面中除去两点A(1,1),B(2,-2)可用集合表示为(　　)
解析:直角坐标平面中除去两点A(1,1),B(2,-2),其余的点全部在集合中,
A选项中除去的是四条直线x=1,y=1,x=2,y=-2;
B选项中除去的是A(1,1)或除去B(2,-2)或者同时除去A,B两个点,共有三种情况,不符合题意;
C选项{(x,y)|[(x-1)2+(y-1)2][(x-2)2+(y+2)2]≠0},则(x-1)2+(y-1)2≠0且(x-2)2+(y+2)2≠0,即除去两点A(1,1),B(2,-2),符合题意;
D选项{(x,y)|[(x-1)2+(y-1)2]+[(x-2)2+(y+2)2]≠0},则任意点(x,y)都不满足[(x-1)2+(y-1)2]+[(x-2)2+(y+2)2]=0,即不能同时除去A,B两点.
故选C.
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