2.1.1必要条件与充分条件(一)课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
§2　常用逻辑用语
2.1　必要条件与充分条件
2.1.1　必要条件与充分条件(一)
核心知识目标 核心素养目标
1.理解命题的概念并能判断所给语句是否为命题,并判断真假.
2.理解并掌握充分条件、必要条件的意义.
3.能够利用充分条件、必要条件的意义进行判定与证明.
4.会用充分条件、必要条件表述已学过的判定定理和性质定理. 1.通过必要条件、充分条件的判断,提升逻辑推理素养.
2.借助必要条件、充分条件的应用,培养数学运算素养.
知识探究·素养培育
探究点一
[问题1] 根据初中学过的命题知识,判断下列语句是不是命题 为什么
(1)对顶角相等.
(2)π是无限不循环小数.
(3)不相交的两条直线一定平行吗
(4)x>5.
命题的概念
提示:(1)(2)是命题;(3)是疑问句,不是命题;(4)不能判断真假,不是命题.
(1)定义:可以判断真假,用文字或符号表述的陈述句叫作命题.
(2)分类:判断为 的语句是真命题;
判断为 的语句是假命题.
(3)结构形式:“若p,则q”形式的命题中, 称为命题的条件, 称为命题的结论.
知识点1:命题的概念
真
假
p
q
解:(1)是命题,且是真命题.
(2)不是命题,因为语句中含有变量x,在没有给x赋值前,无法判断x2+3x+2=0的真假.
(3)是命题,且是真命题.
(4)不是命题,因为它是疑问句,没有作出任何判断,所以不是命题.
(5)是命题,且是假命题.因为数1.5既不是奇数也不是偶数.
(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗
(5)一个数不是奇数就是偶数.
变式训练1-1:指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假.
(1)两个周长相等的三角形面积相等;
(2)已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2.
解:(1)条件是“两个三角形周长相等”,结论是“两个三角形面积相等”,假命题.
(2)条件是“已知x,y为正整数且y=x+1”,结论是“y=3,x=2”,假命题.
方法总结
(1)命题是可以判断真假的陈述句,因此,一般疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.
(2)对于含变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断其真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题.
探究点二
[问题2] 观察如图所示电路图,条件p:开关A闭合,结论q:灯泡B亮.
(1)当开关A闭合时,灯泡B一定会亮吗 说明了什么
(2)如果“灯泡B不亮”,开关A可以闭合吗
必要条件与充分条件
提示:(1)一定会亮,说明要使“灯泡B亮”,有“开关A闭合”这个条件就可以.
(2)如果“灯泡B不亮”,则开关A肯定不闭合.
知识点2:必要条件与充分条件的概念
一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的 条件;当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的 条件.
必要
充分
[思考1] (1)“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”所表示的推出关系是否相同
(2)以下五种表述形式:①p q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗
提示:(1)相同,都是p q.(2)等价.
[思考2] 记集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若p是q的充分不必要条件,则集合A,B的关系是什么 若p是q的必要不充分条件呢
提示:若p是q的充分不必要条件,则A B;若p是q的必要不充分条件,则B A.
[例2] 指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)p:x=1,q:x2=1;
(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等;
(3)p:a>b,q:ac>bc.
变式训练2-1:指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)在△ABC中,p:AB=AC,q:∠B=∠C;
(2)p:x=2,q:x>1;
解:(1)由等腰三角形的性质定理与判定定理知,p是q的充要条件.
方法总结
充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法:
①确定谁是条件,谁是结论.
②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.
③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.
(2)命题判断法:
①如果命题“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.
②如果命题“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
(3)利用集合间的包含关系判断法:如果条件p和结论q都是集合,那么若p q,则p是q的充分条件;若p q,则p是q的必要条件;若p=q,则p既是q的充分条件,又是q的必要条件.
探究点三
[问题3] 分析下列性质定理与判定定理,定理中的条件与结论是什么关系 你认为有什么规律
(1)性质定理:如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
(2)判定定理:有一个角是直角的平行四边形是矩形.
充分、必要条件与判定、性质定理
提示:(1)两个角是对顶角,那么这两个角一定相等,故两个角相等是两个角是对顶角的必要条件.
(2)如果一个平行四边形有一个角是直角,那么这个平行四边形一定是矩形,故一个平行四边形有一个角是直角是这个平行四边形是矩形的充分条件.
性质定理体现了条件与结论的必要性,判定定理体现了条件与结论的充分性.
(1)判定定理是数学中一类重要的定理,阐述了结论成立的依据,也就是说判定定理给出了结论成立的 .
(2)性质定理同样是数学中一类重要的定理,阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质,其作用是揭示这个研究对象的某个特征,性质定理给出了结论成立的 .
知识点3:充分、必要条件与判定定理、性质定理的关系
充分条件
必要条件
[例3] 指出下面的定理是判定定理还是性质定理,并用充分、必要条件的语言来表述.
(1)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形;
(2)正方形的对角线互相垂直且相等.
解:(1)是判定定理,用充分条件的语言表述为“一个平行四边形是正方形”的充分条件是“这个平行四边形的对角线互相垂直且相等”.
(2)是性质定理,用必要条件的语言表述为“四边形的对角线互相垂直且相等”是“这个四边形为正方形”的必要条件.
变式训练3-1:指出下面的定理是判定定理还是性质定理,并用充分、必要条件的语言来表述.
(1)有一个角是直角的菱形是正方形;
(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
解:(1)是判定定理,用充分条件的语言表述为“一个菱形是正方形”的充分条件是“这个菱形有一个角是直角”.
(2)是性质定理,用必要条件的语言表述为“两个平面同时和第三个平面相交,它们的交线平行”是“这两个平面平行”的必要条件.
方法总结
(1)区分一个定理是判定定理还是性质定理关键是看定理阐述了结论成立的依据还是揭示了一个研究对象的某个特征,若定理阐述了结论成立的依据,则是判定定理,否则是性质定理.
(2)判定定理给出了结论成立的充分条件,性质定理给出了结论成立的必要条件,所以判定定理可用充分条件的语言来表述,性质定理可用必要条件的语言来表述.
拓展探索素养培优
根据充分、必要条件确定参数的取值范围
[典例] 已知p:1(1)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:充分条件,必要条件.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
[素养演练] 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m,若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
方法总结
根据条件与结论之间的充分、必要性求解参数范围问题,首先根据条件和结论对应的命题理出推出关系,并将该推出关系转化为构成条件和结论对应的集合的子集、真子集关系,再构建不等式(组)求解.
备用例题
[例2] 设条件p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为　　　　;若p是q的必要条件,则m的最小值为　　　　.
答案:1　4
[例3] 集合P={x|a+1≤x≤a+3},M={x|-2≤x≤5}.
(1)若a=3,求( RP)∩M;
(2)若“x∈P”是“x∈M”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=3时,P={x|4≤x≤6},则 RP={x|x<4或x>6},
所以( RP)∩M={x|x<4或x>6}∩{x|-2≤x≤5}={x|-2≤x<4}.
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