2.1.2必要条件与充分条件(二)课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
2.1.2　必要条件与充分条件(二)
核心知识目标 核心素养目标
1.理解充要条件的意义,能够判定给定的两个命题的充要关系.
2.能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件.
3.能利用充要条件进行计算和推理论证. 1.通过充要条件的判断,提升逻辑推理素养.
2.借助充要条件的应用,培养数学运算素养.
知识探究·素养培育
探究点一
[问题1] 判断下列各题:p是q 的充分条件吗 p是 q的必要条件吗
(1)p:三角形的三条边相等,q:三角形的三个角相等;
(2)p:两条直线平行,q:内错角相等;
(3)p:整数a是 2 的倍数,q:整数a是偶数.
充要条件
提示:三个问题中均有p q且q p,故p是q的充分条件,同时p也是q的必要条件.
[问题2] 根据以上实例的共性,能用自己的语言描述你得到的结论吗
提示:p与q是等价命题.
一般地,如果p q,且q p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的
,记作p q.
知识点1:充要条件
充要条件
[思考1] 充分条件、必要条件与充要条件可以有几种情况
[思考2] 记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)},若M N,则p是q的什么条件 若N M,M=N呢
提示:若M N,则p是q的充分条件;若N M,则p是q的必要条件;若M=N,则p是q的充要条件.
解:(1)因为|x|=|y|时,x=±y,不一定有x3=y3,而x3=y3时一定有x=y,必有|x|=|y|,
所以p是q的必要不充分条件.
(2)由三角形中大边对大角,大角对大边的性质可知p是q的充要条件.
[例1] 判断下列各题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).
(1)p:|x|=|y|,q:x3=y3;
(2)p:△ABC中,AB>AC,q:△ABC中,∠C>∠B;
解:(3)若A B,则一定有A∪B=B,反之,若A∪B=B,则一定有A B,故p是q的充要条件.
(4)若两个三角形全等,则这两个三角形面积一定相等,若两个三角形面积相等(只需高和底边的乘积相等即可),却不一定有两个三角形全等,故p是q的充分不必要条件.
(3)p:A B,q:A∪B=B;
(4)p:两个三角形全等,q:两个三角形面积相等.
变式训练1-1:判断下列各题中,p是q的什么条件.
(1)p:四边形对角线相等,q:四边形是平行四边形;
(2)p:二次方程ax2+bx+c=0有实根,q:ac<0;
(3)p:A∩B=A,q: UB UA.
解:(1)四边形的对角线相等,不一定是平行四边形(如等腰梯形满足),而平行四边形的对角线不一定相等.
因此p是q的既不充分也不必要条件.
(2)若二次方程ax2+bx+c=0有实根,则b2-4ac≥0,此时不一定有ac<0,反之,若ac<0,则必有b2-4ac>0,即二次方程ax2+bx+c=0一定有实根,故p是q的必要不充分条件.
(3)若A∩B=A,则A B,此时必有 UB UA,反之也成立,因此p是q的充要条件.
方法总结
判断充分必要条件常用定义法,主要判断方法如下:
(1)分清条件p和结论q:分清哪个是条件,哪个是结论;
(2)找推式:判断“p q”及“q p”的真假;
(3)下结论:根据定义下结论.
探究点二
[例2] (1)已知p:0充要条件的探求
(2)使x>1成立的一个必要条件是(　　)
(A)x>0 (B)x>3
(C)x>2 (D)x<2
解析:(2)只有x>1 x>0,其他选项均不可由x>1推出,故选A.
变式训练2-1:(多选题)下列式子:①x<1;②0(A)① (B)②
(C)③ (D)④
解析:因为x2<1,所以-1所以②③④可以是x2<1的充分条件,故选BCD.
方法总结
(1)选择题中的充分不必要条件问题,是由选择项推出题干,但是题干不能推出选择项,而选择题中的必要不充分条件问题,是由题干推出选择项,但是选择项不能推出题干.
(2)对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解“充分性”即“有它就行”,“必要性”即“没它不行”.
拓展探索素养培优
充要条件的证明
[典例] 已知a+b≠0,证明:a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:充要条件.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
证明:先证充分性:若a+b=1,
则a2+b2-a-b+2ab=(a+b)2-(a+b)=1-1=0,
即充分性成立.
必要性:若a2+b2-a-b+2ab=0,则(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)=0.
因为a+b≠0,所以a+b-1=0,
即a+b=1成立.
综上,a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
[素养演练] 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根是1的充要条件是a+b+c=0.
证明:假设p:方程ax2+bx+c=0有一个根是1,
q:a+b+c=0.
①证明p q,即证明必要性.
因为x=1是方程ax2+bx+c=0的根,
所以a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.
②证明q p,即证明充分性.
由a+b+c=0,得c=-a-b.
因为ax2+bx+c=0,
所以ax2+bx-a-b=0,即a(x2-1)+b(x-1)=0.
故(x-1)(ax+a+b)=0.
所以x=1是方程的一个根.
故方程ax2+bx+c=0有一个根是1的充要条件是a+b+c=0.
方法总结
证明p是q的充要条件分两步:一是充分性,将p当作已知条件,结合命题的前提条件,推证q;二是必要性,将q当作已知条件,结合命题的前提条件,推证p.
备用例题
[例1] (多选题)已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则下列命题中正确的是(　　)
(A)r是q的充要条件
(B)p是q的充分不必要条件
(C)r是q的必要不充分条件
(D)r是s的充分不必要条件
解析:由已知有p r,q r,r s,s q,由此得r q且q r,A正确,C不正确,
p q,B正确,r是s的充要条件,D不正确,故选AB.
[例2] 充要条件与数学中的定义有关,数学中一些数学对象的定义是给出了这个对象的充要条件,试判断“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”是否可以作为直角三角形的定义,为什么
解:可以,因为“有两个角之和为90°的三角形”是“三角形为直角三角形”的充要条件.
[例3] 写出a>b的一个充分不必要条件,以及一个必要不充分条件.
解:a>b的一个充分不必要条件是a>b+1;a>b的一个必要不充分条件是a>b-1(本题答案不唯一,本质之处是a>b恒成立的充分不必要条件是a大于比b大的数,而a>b成立的必要不充分条件是a大于比b小的数).
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