2.2.1全称量词命题与存在量词命题课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
2.2　全称量词与存在量词
2.2.1　全称量词命题与存在量词命题
核心知识目标 核心素养目标
1.理解全称量词、存在量词和全称量词命题、存在量词命题的概念.
2.掌握判断全称量词命题和存在量词命题的真假的基本原则和方法. 1.通过对命题、全称量词、存在量词的理解,培养数学抽象的素养.
2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用,提升数学运算能力.
知识探究·素养培育
探究点一
[问题1] 给出下列命题:①所有的矩形都是平行四边形;②对任意一个x∈R,都有x2>0;③每一个菱形的对角线都垂直;④自然数是正整数.
(1)上述命题①②③中的“所有的”“任意一个”“每一个”都表示什么含义 如何定义这类命题
(2)命题④是全称量词命题吗 它的量词是什么
全称量词与全称量词命题
提示:(1)这些短语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的词叫作全称量词.含有全称量词的命题叫作全称量词命题.
(2)是全称量词命题.它的量词是“所有的”(“每一个”等),即所有的自然数都是正整数.
(1)全称量词命题:在给定集合中,断言 都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.
(2)全称量词:在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号 表示.
知识点1:全称量词与全称量词命题
所有元素

[思考1] “相似三角形是全等三角形”是否是全称量词命题
提示:该命题是全称量词命题,只不过省略了全称量词.
(1)解析:命题①含有全称量词,而命题③可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”,故有2个全称量词命题.②为存在量词命题.故选C.
[例1] (1)下列命题是全称量词命题的个数是(　　)
①任何实数都有立方根;②有的平行四边形是矩形;③三角形的内角和是180°.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
(2)判断下列命题是否是全称量词命题,若是,判断其真假.
①对任意实数x,都有x2+2>0;
②对每一个无理数x,x2也是无理数.
(2)解:①是全称量词命题,真命题.
②是全称量词命题,假命题.
解析:全称量词命题为选项B,C,D,其中真命题为选项B,C.故选BC.
变式训练1-1:(多选题)下列命题中,既是真命题又是全称量词命题的是
( 　)
(A)至少有一个x∈Z,使得x2<3成立
(B)对任意a,b∈R,都有a2+b2≥2(a+b-1)
(C)平行四边形的对角线互相平分
(D)菱形的两条对角线长度相等
解:(1)是全称量词命题,真命题.
(2)是全称量词命题,假命题.
(3)是全称量词命题,真命题.
变式训练1-2:判断下列命题是否是全称量词命题,若是,判断其真假.
(1)任意一个二次函数的图象都与y轴相交;
(2)所有的素数都是奇数;
(3)三角形都有外接圆.
方法总结
(1)判断一个命题是否是全称量词命题,主要看命题中是否含有全称量词,有些全称量词命题虽然不含全称量词,但是可以根据命题的意义去判断.
(2)要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x,使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).但要判断全称量词命题是真命题,必须经过严格的证明.
探究点二
[问题2] 给出下列命题:①有些矩形不是平行四边形;②存在一个x∈R,使得x2≤0;③至少有一个菱形的对角线不垂直;④有的自然数不是正整数.
上述命题中的“有些”“存在一个”“至少有一个”“有的”都表示什么含义 如何定义这类命题
存在量词与存在量词命题
提示:这些短语在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词.含有存在量词的命题叫作存在量词命题.
知识点2:存在量词与存在量词命题
(1)存在量词命题:在给定集合中,断言 具有一种性质的命题叫作存在量词命题.
(2)存在量词:在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号 表示.
某些元素
[思考2] “不等式x2-1<0有解”是全称量词命题还是存在量词命题 用符号表示该命题.
提示:是存在量词命题,可表示为“ x∈R,x2-1<0”.

[例2] 下列命题中存在量词命题的个数是(　　)
①至少有一个偶数是质数;② x∈R,2x2-1>0; ③有的平行四边形是菱形.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:①中含有存在量词“至少有一个”,②中含有存在量词符号“ ”,③中含有存在量词“有的”,所以都是存在量词命题.故选D.
变式训练2-1:(1)下列语句是存在量词命题的是 (　　)
(A)整数n是2和5的倍数
(B)存在整数n,使n能被7整除
(C)x>7
(D) x∈M,p(x)成立
(1)解析:B选项中有存在量词“存在”,故是存在量词命题,A和C不是命题,D是全称量词命题.故选B.
(2)指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.
① x∈N,2x+1是奇数;
(2)解:①是全称量词命题.因为 x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.
解:③是全称量词命题.因为|0|=0,所以|a|>0不都成立,所以该命题是假命题.
方法总结
(1)判断一个命题是否是存在量词命题,主要看命题中是否含有存在
量词.
(2)要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x使p(x)成立即可;但要判断存在量词命题是假命题,则要经过严格的证明.
拓展探索素养培优
根据含量词的命题真假求参数取值或范围
[典例] 已知命题p: x∈R,x2+x+2-a<0,且p为真命题,求实数a的取值范围.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:全称量词命题与存在量词命题.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
[素养演练1] 若对任意x>3,x>a恒成立,则a的取值范围是　　　　.
解析:对于任意x>3,x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,所以a≤3.
答案:{a|a≤3}
[素养演练2] “存在x∈{x|x≤a},x2=1”是假命题,则a的取值范围
是　　　　　.
解析:依题意x2=1在集合{x|x≤a}内无解,因此结合x2=1的解为-1和1知,这两个元素不在集合{x|x≤a}内,故a<-1.
答案:{a|a<-1}
[素养演练3] 本例中的条件改为“ x∈R,x2+x+2-a=0”,其他条件不变,求实数a的取值范围.
[素养演练4] 本例中的条件改为“ x∈R,x2+x+2-a>0”,其他条件不变,求实数a的取值范围.
方法总结
利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
(1)含参数的全称量词命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来处理.
(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解的问题来处理,最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.
备用例题
[例题] 用量词符号“ ”“ ”表述下列命题.
(1)所有实数x都能使x2+x+1>0成立;
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;
(3)有些整数既能被2整除,又能被3整除;
(4)某个四边形不是平行四边形.
解:(1) x∈R,x2+x+1>0.
(2) a,b∈R,ax+b=0恰有一个解.
(3) x∈Z,x既能被2整除,又能被3整除.
(4) x∈{y|y是四边形},x不是平行四边形.
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