2.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
2.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
核心知识目标 核心素养目标
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
3.会判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假. 1.通过对命题的否定的认识,提升数学抽象的素养.
2.通过对含有一个量词的命题的否定的理解,提升逻辑推理素养.
知识探究·素养培育
探究点一
[问题1] 命题:“若p，则q”，则它的否命题是“若p，则﹁q”，这种说法对吗？
命题的否定
提示:不对，“若p，则q”的否命题是“若﹁p，则﹁q”.
(1)一般地,对一个命题进行否定,就可以得到一个新的命题,这一新命题称为原命题的 .
(2)当命题是真命题时,命题的否定是 命题;当命题是假命题时,命题的否定是 命题.
知识点1:命题的否定
否定
真
假
解:(1)﹁p:y=sin x不是周期函数.假命题.
(2)﹁p:实数的绝对值不都大于零.真命题.
(3)﹁p:菱形的对角线不垂直或不平分.假命题.
(4)﹁p:若xy=0,则x≠0且y≠0.假命题.
[例1] 写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:y=sin x是周期函数;
(2)p:实数的绝对值都大于0;
(3)p:菱形的对角线垂直平分;
(4)p:若xy=0,则x=0或y=0.
变式训练1-1:写出下列命题的否定形式,并判断其真假.
(1)p:面积相等的三角形都是全等三角形;
(2)p:若m2+n2=0,则实数m,n全为零;
(3)p:若实数a,b,c满足abc=0,则a,b,c中至少有一个为0.
解:(1)﹁p:面积相等的三角形不都是全等三角形.真命题.
(2)﹁p:若m2+n2=0,则实数m,n不全为零.假命题.
(3)﹁p:若实数a,b,c满足abc=0,则a,b,c都不为0.假命题.
方法总结
﹁p是对命题p的全盘否定,其命题的真假与原命题的相反.对一些词语的正确否定是写﹁p的关键,如“都”的否定是“不都”,“至多两个”的反面是“至少三个”等.
探究点二
[问题2] “任意一个四边形都有外接圆”是全称量词命题,如何对此命题进行否定
全称量词命题的否定
提示:存在一个四边形没有外接圆.
知识点2:全称量词命题的否定
全称量
词命题 全称量词命题的否定 结论
x∈M,x具有性质p(x) . 全称量词命题的否定是 命题
x∈M,x不具有性质p(x)
存在量词
[例2] 写出下列全称量词命题的否定,并判断真假.
(1)p: x∈R,x2≥-1;
(2)q: x∈{1,2,3,4,5},解:(1)﹁p: x∈R,x2<-1.
由p是真命题可知﹁p是假命题.
(3)s:一切分数都是有理数;
(4)t:对任意实数m,点(m,m)都在一次函数y=x的图象上.
解:(3)﹁s:存在一个分数不是有理数.
由于所有分数都是有理数,因此原命题正确,故﹁s是假命题.
(4)﹁t:存在一个实数m,点(m,m)不在一次函数y=x的图象上.
由于在y=x图象上点的横、纵坐标相等,
故﹁t是假命题.
变式训练2-1:写出下列全称量词命题的否定,并判断真假.
(1)所有矩形的对角线相等;
(2)不论m取什么实数,x2+x-m=0必有实数根;
(3)等圆的面积相等,周长相等.
解:(1)该命题的否定:有的矩形对角线不相等.假命题.
(3)该命题的否定:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等.假命题.
方法总结
对全称量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;
(2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.
易错警示
对于全称量词命题中省略量词的要在其否定中添加相应的量词.
探究点三
[问题3] “有些三角形没有外接圆”是存在量词命题,如何对此命题进行否定
存在量词命题的否定
提示:所有的三角形都有外接圆.
知识点3:存在量词命题的否定
存在量词命题 存在量词命题的否定 结论
x∈M,x具有性质p(x) . 存在量词命题的否定是 命题
x∈M,x不具有性质p(x)
全称量词
[思考] 命题的否定与集合补集的运算有何关系
提示:(1)已知全集为U,设命题p对应的集合为P,则命题的否定﹁p对应的集合为 UP={x|x∈U,且x P},这样可以从集合的角度进一步认识命题的否定.
(2)已知全集为U,若“p是真命题”对应“a∈P”,则“p是假命题”对应“a∈ UP”;若“﹁p是真命题”对应“a∈ UP”,则“﹁p是假命题”对应“a∈P”.
[例3] 写出下列命题的否定,并判断命题的真假:
(1)p: a∈R,一次函数y=x+a的图象经过原点;
(2)q:至少有一个直角三角形不是等腰三角形;
解:(1)﹁p: a∈R,一次函数y=x+a的图象不经过原点.
因为当a=0时,一次函数y=x+a的图象经过原点,所以﹁p是假命题.
(2)﹁q:所有的直角三角形都是等腰三角形.
因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形,所以﹁q是假命题.
(3)s:有些三角形是锐角三角形;
(4)t:存在一个最大的内角小于60°的三角形.
解:(3)﹁s:所有的三角形都不是锐角三角形(或任意三角形都不是锐角三角形).假命题.
(4)﹁t:所有三角形的最大内角都大于或等于60°.真命题.
变式训练3-1:判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
(1)某些梯形的对角线互相平分;
(2)存在k∈R,函数y=kx+b随x值的增大而减小.
解:(1)假命题.任意一个梯形的对角线都不互相平分.
(2)真命题.任意k∈R,函数y=kx+b不随x值的增大而减小.
方法总结
对存在量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词;
(2)否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存
在”等.
拓展探索素养培优
根据命题的真假求参数范围
[典例] 已知命题p:“ x∈R,x2-2x+a=0”为假命题;命题q:“ x∈{x|1≤x≤2},
x2+ax-8≤0”为真命题,求实数a的取值范围.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:全称(存在)量词命题的否定.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
[素养演练] 已知命题p:“ x∈R,x2-2x+m≤0”是假命题,求实数m的取值范围.
解:法一　由p为真命题得Δ=4-4m≥0,m≤1.
又p为假命题,所以m>1.
即实数m的取值范围是(1,+∞).
法二　﹁p: x∈R,x2-2x+m>0是真命题,
设函数y=x2-2x+m,由一元二次函数的图象和性质知,
只需方程x2-2x+m=0的根的判别式Δ<0,即4-4m<0,得m>1,
即实数m的取值范围是(1,+∞).
方法总结
根据含参数的量词命题真假求参数范围问题,若全称量词命题为真命题,可以利用“任意性”直接求解(若涉及不等式问题,则转化为不等式恒成立),而涉及“存在量词命题”为假命题时,可利用其否定为真命题,转化为全称量词命题为真命题求解.
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