4.3一元二次不等式的应用课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
4.3　一元二次不等式的应用
核心知识目标 核心素养目标
1.理解一元二次不等式的解法,会解决简单的一元二次不等式的实际应用问题.
2.掌握一元二次不等式的求解过程,能够把简单的分式不等式转化为一元二次不等式求解.
3.灵活运用三个“二次”的关系解决与一元二次不等式有关的恒成立问题. 1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习,培养数学运算素养.
2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.
知识探究·素养培育
探究点一
分式不等式的解法
提示:等价;将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式,体现了等价转化的数学思想.
知识点1:分式不等式的解法
对于分式不等式的其他类型,可仿照上述方法求解.
答案:5
方法总结
分式不等式的一般解题步骤
(1)移项并通分合并,不等式右侧化为“0”.
(2)转化为同解的整式不等式.
(3)解整式不等式.
探究点二
[问题2] 汽车在行驶过程中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要依据.
在一个限速为40 km/ h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,司机发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过
12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/ h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.如何判断甲、乙两车是否超速
一元二次不等式的实际应用
提示:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2>12,即x2+10x-1 200>0,
解得x>30或x<-40(不符合实际意义,舍去).
这表明甲车的车速超过30 km/h,但根据题意刹车距离略超过12 m,由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,
即x2+10x-2 000>0,
解得x>40或x<-50(不符合实际意义,舍去).
这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.
知识点2:建立一元二次不等式模型的步骤
(1)阅读理解,认真审题,分析题目中有哪些已知量和未知量,找准不等关系.
(2)设出起关键作用的未知量,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系).
(3)解不等式(或求函数的最值).
(4)联系实际问题.
[例2] 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有如下的关系:
y=-20x2+2 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收
60 000元以上,则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车
解:设这家工厂在一个星期内利用这条流水线生产x辆摩托车,根据题意,得-20x2+2 200x>60 000.
移项整理,得x2-110x+3 000<0.
对于方程x2-110x+3 000=0,Δ=100>0,方程有两个实数根x1=50,x2=60.
画出一元二次函数y=x2-110x+3 000的图象如图所示,结合图象得不等式x2-110x+3 000<0的解集为{x|50因为x只能取整数值,所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆时,这家工厂能够获得60 000元以上的收益.
拓展探索素养培优
一元二次不等式恒成立问题
[典例] 已知y=x2+ax+3-a,若-2≤x≤2,x2+ax+3-a≥0恒成立,求a的取值范围.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:一元二次不等式的解法及一元二次函数的图象与性质.
关键能力:直观想象能力,运算求解能力.
学科素养:直观想象,数学运算.
[素养演练1] 本例条件不变,若y=x2+ax+3-a≥2恒成立,求a的取值范围.
[素养演练2] 将本例中的条件“已知y=x2+ax+3-a,若-2≤x≤2,x2+ax+3-a≥0
恒成立”变为“不等式x2+2x+a2-3>0的解集为R”,求a的取值范围.
解:法一　因为不等式x2+2x+a2-3>0的解集为R,
所以函数y=x2+2x+a2-3的图象应在x轴上方,
所以Δ=4-4(a2-3)<0,
解得a>2或a<-2.
所以a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
法二　令y=x2+2x+a2-3,要使x2+2x+a2-3>0的解集为R,则a满足y最小值=a2-4>0,解得a>2或a<-2.
所以a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
方法总结
在给定区间上的一元二次不等式恒成立问题的解法
(1)a>0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时小于0.
(2)a<0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时大于0.
备用例题
[例1] (1)若不等式x2+mx-1<0对于任意x∈{x|m≤x≤m+1}都成立,则实数m的取值范围是　　　　;
(2)对任意-1≤m≤1,函数y=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围.
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