活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第四章数列4.3.1 等比数列的概念及通项公式（含答案）
文档属性
| 名称 | 活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第四章数列4.3.1 等比数列的概念及通项公式（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 110.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-13 09:43:50 | ||
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文档简介
4.3.1 等比数列的概念及通项公式
1. 体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，了解等比数列的概念．
2. 类比等差数列的通项公式，探究发现等比数列的通项公式，掌握求等比数列通项公式的方法，掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的实际问题．
3. 了解等比中项的概念．
活动一 了解等比数列的概念
1. 阅读下面的问题：
放射性物质以一定的速度衰变，该速度正比于当时该物质的质量．如果某个质量为Q0的放射性物质经过时间h后衰变到质量，那么称h为物质的半衰期．镭的半衰期是1 620年，如果从现有的10 g镭开始，那么每隔1 620年，剩余量依次为
10，10×，10×，10×，….
某轿车的售价约为36万元，年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价值的10%)，那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为
36，36×0.9，3.6×0.92，36×0.93，….
某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为
10 000×1.05，10 000×1.052，…，10 000×1.055.
思考1
与等差数列相比，上面这些数列有什么共同的特点？
2. 类比等差数列的定义给出等比数列的定义，并写出其递推关系式．
活动二 理解等比数列的定义
例1 判断下列数列是否为等比数列：
(1) 1，1，1，1，1；
(2) 0，1，2，4，8；
(3) 1，－，，－，.
思考2
如何判定一个数列是否为等比数列？
思考3
若数列{an}为等比数列，则数列{a}为等比数列吗？数列{a2n－1}为等比数列吗？数列{2an}为等比数列吗？数列{an＋an＋1}为等比数列吗？
例2 求下列等比数列中的未知项：
(1) a，2，8，其中a＝________；
(2) 2，m，8，其中m＝________；
(3) －4，b，c，，其中b＝________，c＝________．
活动三 等比数列的证明
例3 (1) 在等比数列{an}中，是否有a＝an－1an＋1(n≥2)
(2) 如果在数列{an}中，对于任意的正整数n(n≥2)，都有a＝an－1an＋1，那么数列{an}一定是等比数列吗？
思考4
类比等差中项的概念，试给出等比中项的概念．
证明数列{an}为等比数列的方法：
(1) 定义法：＝q(q为常数，q≠0，n∈N?，n≥2)；
(2) 中项法：＝(n∈N?，an≠0，n≥2)．
活动四 理解等比数列的通项公式
探究：
1. 根据等比数列的定义，类比等差数列的通项公式的推导过程，探究如何求等比数列的通项公式？
2. 类比等差数列{an}中an与am的关系，请写出等比数列中任意两项an与am的关系．
例4 (1) 在等比数列{an}中，a9＝，公比q＝－，求a1，a17的值；
(2) 在等比数列{an}中，a2＝10，a3＝20，求a1，a9的值．
1. 下列数列为等比数列的是( )
A. 2，22，3×22，… B. ，，，…
C. s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D. 0，0，0，…
2. 在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )
A. ±4 B. 4 C. ± D.
3. (多选)已知数列{an}是公比为q的等比数列，bn＝an＋4，若数列{bn}有连续4项在集合{－50，－20，22，40，85}中，则公比q的值可以是( )
A. － B. － C. － D. －
4. 在等比数列{an}中，已知a4＝18，q＝－3，则a7＝________．
5. 已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝，求证：数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
参考答案有解析
【活动方案】
思考1：这些数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．
2. 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列． ＝q，q为常数，q≠0.
例1 (1) 是 (2) 不是 (3) 是
思考2：要判断一个数列是否为等比数列，只需判断对任意正整数n，是不是一个不为0的常数．
思考3：数列{a}，{a2n－1}，{2an}是等比数列，当{an}的公比为－1时，{an＋an＋1}不是等比数列，当{an}的公比不为－1时，{an＋an＋1}是等比数列．
例2 (1) (2) ±4 (3) 2 －1
例3 (1) 因为{an}是等比数列，所以＝，
即a＝an－1an＋1(n≥2)成立．
(2) 不一定．例如，对于数列0，0，0，…总有a＝an－1an＋1，但这个数列不是等比数列．
思考4：若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项．
探究：1. 略 2. am＝an·qm－n
例4 (1) a1＝＝2 916，a17＝a9q8＝.
(2) q＝＝＝2，则a1＝5，a9＝1 280.
【检测反馈】
1. B 解析：A项中，≠，所以不是等比数列；B项是首项为，公比为的等比数列；C项中，当s＝1时，数列为0，0，0，…，所以不是等比数列；D项显然不是等比数列.
2. A 解析：由an＝×2n－1＝2n－4，知a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.
3. BD 解析：因为bn＝an＋4，所以an＝bn－4.因为数列{bn}有连续4项在集合{－50，－20，22，40，85}中，所以数列{an}有连续4项在集合{－54，－24，18，36，81}中．又因为数列{an}是公比为q的等比数列，所以在集合{－54，－24，18，36，81}中，数列{an}的连续4项只能是－24，36，－54，81或81，－54，36，－24，所以q＝＝－或q＝＝－.故选BD.
4. －486
5. 由题意，得an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，则bn＝.又因为＝＝＝2，
所以数列{bn}是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝·2n－1＝2n－3.
1. 体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，了解等比数列的概念．
2. 类比等差数列的通项公式，探究发现等比数列的通项公式，掌握求等比数列通项公式的方法，掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的实际问题．
3. 了解等比中项的概念．
活动一 了解等比数列的概念
1. 阅读下面的问题：
放射性物质以一定的速度衰变，该速度正比于当时该物质的质量．如果某个质量为Q0的放射性物质经过时间h后衰变到质量，那么称h为物质的半衰期．镭的半衰期是1 620年，如果从现有的10 g镭开始，那么每隔1 620年，剩余量依次为
10，10×，10×，10×，….
某轿车的售价约为36万元，年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价值的10%)，那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为
36，36×0.9，3.6×0.92，36×0.93，….
某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为
10 000×1.05，10 000×1.052，…，10 000×1.055.
思考1
与等差数列相比，上面这些数列有什么共同的特点？
2. 类比等差数列的定义给出等比数列的定义，并写出其递推关系式．
活动二 理解等比数列的定义
例1 判断下列数列是否为等比数列：
(1) 1，1，1，1，1；
(2) 0，1，2，4，8；
(3) 1，－，，－，.
思考2
如何判定一个数列是否为等比数列？
思考3
若数列{an}为等比数列，则数列{a}为等比数列吗？数列{a2n－1}为等比数列吗？数列{2an}为等比数列吗？数列{an＋an＋1}为等比数列吗？
例2 求下列等比数列中的未知项：
(1) a，2，8，其中a＝________；
(2) 2，m，8，其中m＝________；
(3) －4，b，c，，其中b＝________，c＝________．
活动三 等比数列的证明
例3 (1) 在等比数列{an}中，是否有a＝an－1an＋1(n≥2)
(2) 如果在数列{an}中，对于任意的正整数n(n≥2)，都有a＝an－1an＋1，那么数列{an}一定是等比数列吗？
思考4
类比等差中项的概念，试给出等比中项的概念．
证明数列{an}为等比数列的方法：
(1) 定义法：＝q(q为常数，q≠0，n∈N?，n≥2)；
(2) 中项法：＝(n∈N?，an≠0，n≥2)．
活动四 理解等比数列的通项公式
探究：
1. 根据等比数列的定义，类比等差数列的通项公式的推导过程，探究如何求等比数列的通项公式？
2. 类比等差数列{an}中an与am的关系，请写出等比数列中任意两项an与am的关系．
例4 (1) 在等比数列{an}中，a9＝，公比q＝－，求a1，a17的值；
(2) 在等比数列{an}中，a2＝10，a3＝20，求a1，a9的值．
1. 下列数列为等比数列的是( )
A. 2，22，3×22，… B. ，，，…
C. s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D. 0，0，0，…
2. 在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )
A. ±4 B. 4 C. ± D.
3. (多选)已知数列{an}是公比为q的等比数列，bn＝an＋4，若数列{bn}有连续4项在集合{－50，－20，22，40，85}中，则公比q的值可以是( )
A. － B. － C. － D. －
4. 在等比数列{an}中，已知a4＝18，q＝－3，则a7＝________．
5. 已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝，求证：数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
参考答案有解析
【活动方案】
思考1：这些数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．
2. 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列． ＝q，q为常数，q≠0.
例1 (1) 是 (2) 不是 (3) 是
思考2：要判断一个数列是否为等比数列，只需判断对任意正整数n，是不是一个不为0的常数．
思考3：数列{a}，{a2n－1}，{2an}是等比数列，当{an}的公比为－1时，{an＋an＋1}不是等比数列，当{an}的公比不为－1时，{an＋an＋1}是等比数列．
例2 (1) (2) ±4 (3) 2 －1
例3 (1) 因为{an}是等比数列，所以＝，
即a＝an－1an＋1(n≥2)成立．
(2) 不一定．例如，对于数列0，0，0，…总有a＝an－1an＋1，但这个数列不是等比数列．
思考4：若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项．
探究：1. 略 2. am＝an·qm－n
例4 (1) a1＝＝2 916，a17＝a9q8＝.
(2) q＝＝＝2，则a1＝5，a9＝1 280.
【检测反馈】
1. B 解析：A项中，≠，所以不是等比数列；B项是首项为，公比为的等比数列；C项中，当s＝1时，数列为0，0，0，…，所以不是等比数列；D项显然不是等比数列.
2. A 解析：由an＝×2n－1＝2n－4，知a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.
3. BD 解析：因为bn＝an＋4，所以an＝bn－4.因为数列{bn}有连续4项在集合{－50，－20，22，40，85}中，所以数列{an}有连续4项在集合{－54，－24，18，36，81}中．又因为数列{an}是公比为q的等比数列，所以在集合{－54，－24，18，36，81}中，数列{an}的连续4项只能是－24，36，－54，81或81，－54，36，－24，所以q＝＝－或q＝＝－.故选BD.
4. －486
5. 由题意，得an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，则bn＝.又因为＝＝＝2，
所以数列{bn}是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝·2n－1＝2n－3.