活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第四章数列补充2数列的通项与求和（有答案）

补充2　数列的通项与求和(2)
1. 了解通过数列的递推公式确定数列的方法．
2. 掌握通过数列的前n项和确定数列通项公式的方法．
活动一 用Sn与an的关系求数列的通项公式
例1　(1) 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，试写出数列{an}的前4项；
(2) 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，求数列{an}的通项公式．
　已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋2，求数列{an}的通项公式．
数列{an}的前n项和Sn与通项公式an的关系及其注意点：
an＝注意an＝Sn－Sn－1中应附加条件n≥2，n∈N*，即实现an与Sn之间的转换时，要特别注意n的取值范围.
例2　设数列{an}的前n项和Sn＝2an－4(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
　设数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1－4(n∈N*)，且a1＝1.求数列{an}的通项公式．
活动二 由数列的递推公式求通项公式
例3　(1) 在数列{an}中，a1＝1，以后的各项由公式an＝1＋给出，写出这个数列的前5项；
(2) 已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝3an－1＋an－2(n≥3)，写出这个数列的前5项．
例4　在数列{an}中，
(1) 已知an＋1－an＝2n，a1＝1，求an；
(2) 已知＝，a1＝1，求an；
(3) 已知an＋1＝2an－1，a1＝1，求an.
递推公式——如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，以及任意一项an与前面一项(或前几项)之间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫作{an}的递推公式，由递推公式给出的数列称为递推数列．
思考
数列的递推公式与通项公式有哪些区别与联系？
1. 已知等差数列{an}的公差不为0，{an}中的部分项ak1，ak2，ak3，…，akn，…成等比数列．若k1＝1，k2＝9，k3＝49，则k2 022等于(　　)
A. 2×52 019－1 B. 2×52 020－1 C. 2×52 021－1 D. 2×52 022－1
2. 南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就．在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且数列前n项和为Sn，bn＝，将数列{bn}中的整数项组成新的数列{cn}，则c2 022的值为(　　)
A. 5 048 B. 5 052
C. 5 046 D. 5 053
3. (多选)将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0)．已知a11＝2，a13＝a61＋1，记这n2个数的和为S，则下列结论中正确的有(　　)
a11　a12　a13　…　a1n
a21　a22　a23　…　a2n
a31　a32　a33　…　a3n
……
an1　an2　an3　…　ann
A. m＝3 B. a67＝17×37
C. aij＝(3i－1)×3j－1 D. S＝n(3n＋1)(3n－1)
4. 已知在正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2a＝a＋a(n≥2)，则数列{an}的通项公式为__________．
5. 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．
参考答案与解析
【活动方案】
例1　(1) 当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5.
因为a1＝－1满足上式，
所以an＝4n－5，
所以a1＝－1，a2＝3，a3＝7，a4＝11.
(2) 当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2×3n－1.
因为a1＝1不满足上式，
所以an＝
跟踪训练　当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5，
因为a1＝1不满足上式，
所以an＝
例2　当n≥2时，Sn－1＝2an－1－4，
所以an＝Sn－Sn－1＝2an－4－2an－1＋4，
所以an＝2an－1.
易知an≠0，所以＝2.
因为a1＝S1＝2a1－4，
所以a1＝4，
所以an＝4×2n－1＝2n＋1，a1也符合，
所以an＝2n＋1.
跟踪训练　当n≥2时，Sn－1＝2an－4，
所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，
所以3an＝2an＋1，所以＝.
当n＝1时，S1＝2a2－4＝1，即a2＝，
所以＝≠，
所以an＝
例3　(1) a1＝1，a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝.
(2) a1＝1，a2＝2，a3＝7，a4＝23，a5＝76.
例4　(1) 由an＋1－an＝2n，得
an－an－1＝2(n－1)，
an－1－an－2＝2(n－2)，
…
a2－a1＝2×1，
累加，得an－a1＝2(1＋2＋…＋n－1)，
即an－a1＝n2－n，所以an＝n2－n＋1.
(2) 由＝，得＝，
＝，
…
＝，
累乘，得＝××…×＝，
所以an＝.
(3) 因为an＋1＝2an－1，
所以an＋1－1＝2(an－1)．
令bn＝an－1，则bn＋1＝2bn.
因为b1＝a1－1＝0，
所以bn＝0，所以an＝1.
思考：两者均可确定数列，通项公式直接反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是数列中相邻两项(或n项)之间的关系，且递推公式包含两个部分，一是递推关系，二是初始关系，二者缺一不可．
【检测反馈】
1. C　解析：设等差数列{an}的公差为d，则d≠0.由题意，得a2k2＝ak1·ak3，所以a＝a1·a49，即(a1＋8d)2＝a1·(a1＋48d)，得a1＝2d，所以在等比数列ak1，ak2，ak3，…，akn，…中，公比q＝＝5.所以akn＝2d×5n－1；由akn为数列{an}的第kn项，知akn＝a1＋(kn－1)d＝d(kn＋1)，所以2d×5n－1＝d(kn＋1)，所以kn＝2×5n－1－1，所以k2 022＝2×52 021－1.
2. D　解析：根据“杨辉三角”的性质可得数列的前n项和为Sn＝20＋21＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以bn＝＝，由题意，得此数列为，，，，，，…，其中整数项为，，，，，，…，即2，3，7，8，12，13，…，所以数列cn是奇数项以5为公差，2为首项的等差数列，偶数项以5为公差，3为首项的等差数列，即c2n－1＝2＋5(n－1)＝5n－3，c2n＝3＋5(n－1)＝5n－2，所以c2 022＝5×1 011－2＝5 053.
3. ACD　解析：对于A，a13＝a11·m2＝2m2，a61＝a11＋5m＝2＋5m，所以2m2＝3＋5m，又m>0，所以m＝3，故A正确；对于B，a61＝2＋5m＝17，所以a67＝a61·m6＝17×36，故B错误；对于C，ai1＝a11＋(i－1)m＝3i－1，所以aij＝ai1·mj－1＝(3i－1)·3j－1，故C正确；对于D，第i行n个数的和S′＝＝＝，所以S＝(3n－1)×＝(3n－1)×＝n(3n＋1)(3n－1)，故D正确．故选ACD.
4. an＝　解析：因为2a＝a＋a(n≥2)，所以{a}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝.当n＝1时，a1＝1符合，所以an＝.
5. (1) 当n＝1时，a1＝S1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，a1＝2满足该式，
所以an＝2n.
(2) bn＝2n＋2n＋1＝3×2n.