数学人教A版2019选择性必修第二册4.1.1 数列的概念（共36张ppt）

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人教A版2019 选择性必修第二册
第四章 数列
4.1.1 数列的概念
问题1：观察下列这组数的规律，你能完成填空吗？
1，1，2，3，5，8，____，____，···
1
2
3
5
8
情景引入
概念形成
王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，
145，153，158，160，162，163，165，168.
它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
记王芳第i岁时的身高为hi
h1=75
，h2＝87
，h3＝96
，…，h17＝168．
不能交换位置．
具有确定顺序.
一、数列的概念
2. 在两河流域发掘的一块泥版上就有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，
144，160，176，192，208，224，240.
它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
记第i天月亮可见部分的数为si
s1=5
，s2＝10
，s3＝20
，…，s15＝240．
不能交换位置．
具有确定顺序.
3. 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：
你能仿照上面的叙述，说明这也是具有确定顺序的一列数吗？
上述例子的共同特征是什么？
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
①
5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.
②
③
一列数
顺序
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
追问（1）：1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？
追问（2）：1，1，1，1，1…是不是一个数列？
在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如:
1. 王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据(单位: cm)依次排成一列数:
75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168 ①
这一列数是身高按岁数从1到17的顺序排列得到的，它们之间不能交换位置.
所以，①是具有确定顺序的一列数.
2. 在两河流域发掘的一块泥版上， 有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数:
5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240 ②
这一列数按日期从1到15的顺序排列得到的，同样它们之间也不能交换位置.
所以，②也是具有确定顺序的一列数.
概念形成
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
①
5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.
②
③
数列的一般形式是
简记为
首项
第二项
第n项
有穷数列：项数有限的数列
无穷数列：项数无限的数列
小结
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示······第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示，其中第1项也叫做首项.
数列的一般形式是
a1，a2，a3，…，an，…. (n∈N*)简记作{an} .
思考 {an} 与an的意思一样吗？
{an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ；
an表示数列{an}中的第n项.
概念辨析
数列中的各项ak与各项序号k （k＝1，2，3，···，n，···）之间的对应关系是什么关系？
序号
项
正整数集
实数集
（或它的有限子集 ）
表4.1-1
图4.1-1
思 考
从表4.1-1和图4.1-1中，你能发现数列随序号的变化呈现出什么特点吗？
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
①
自变量为离散的数的函数
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列．
特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
如：1，1，1，1，1，···.
数列的单调性：
由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系:
序号 1 2 3 ··· n ···
项 a1 a2 a3 ··· an ···
所以数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1, 2, ··· , n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an ，记为an = f(n). 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)， f(2) , ··· , f(n), ··· 就是数列{an}. 另一方面，对于函数y=f(x)，如果f(n) (n∈N*)有意义，那么f(1)， f(2) , ··· , f(n), ···构成了一个数列{f(n)}.
以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化.的，而数列是自变量为离散的数的函数.
与函数类似，我们可以定义数列的单调性：
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列. 特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
1. 以项数来分类：
(1) 有穷数列：
(2) 无穷数列：
2. 以各项的大小关系来分类：
(1) 递增数列：
(2) 递减数列：
(3) 常 数 列：
(4) 摆动数列：
各项都相等的数列；
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
项数有限的数列；
项数无限的数列.
对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0).
对任意n∈N*，总有an+1从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列.
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.
二、数列的分类
典型例题
练一练
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项.
注意：①通项公式的主要作用是“知序号可求项”如：数列{n2}的第11项是121.
②一些数列的通项公式不是唯一的；如：数列1，-1，1，-1，…
③不是每一个数列都能写出它的通项公式. 如：1，24，8，3，19
例如数列：1, 4, 9, 16, ···的通项公式是
填空：(1) 2，4， ，16，32， ，128，… ，通项公式为________;
思考 数列5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240有通项公式吗？ 为什么？
三、数列的通项公式
【典例1】根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．
（1）
（2）
n 1 2 3 4 5
an
1 3 6 10 15
n 1 2 3 4 5
an 1 0 -1 0 1
典型例题
【典例2】 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
【典例3】 如果数列 的通项公式为 ，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
令
解这个关于n的方程，得
所以，120是这个数列的项，是第10项．
解
（舍去），或
【变式】 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1) 写出此数列的第4项和第6项；
(2) －49是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？
【典例4】图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式．
1
3
9
27
这个数列的一个通项公式是
【典例5】图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式．
1
3
9
27
×3
×3
×3
a1=1
a2=3a1
a3=3a2
a4=3a3
（n≥2）
n≥2.
n = 1,
课堂练习
通项公式
数列的概念
表示方法
分类
列表
图象
项数
有穷数列
无穷数列
递增
数列
递减
数列
摆动
数列
常
数列
大小
函数
数列
课堂小结