苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4．1.2　数列(2)课时小练（有解析）

4．1.2　数列(2)
一、 单项选择题
1. 数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　)
A. an＋1＝an＋n，n∈N*
B. an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C. an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2
D. an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
2. 已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是(　　)
A. 1 B. C. D.
3. (2021·平和第一中学期中)已知数列{an}的通项公式为an＝，按项的变化趋势，该数列是(　　)
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列
4. 已知数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2 020的值为(　　)
A. B. －1 C. 2 D. 1
5. 已知数列{an}满足an＝如果对于任意n∈N*都有an>an＋1，那么实数a的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
6. (2021·河北部分学校月考)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 022的值为(　　)
A. 2 B. －3 C. － D.
二、 多项选择题
7. (2021·长沙第一中月考)已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝，则下列各数不是{an}的项的有(　　)
A. －2 B. C. D. 3
8. 若数列{an}满足a2n＝a2n－1＋a2n＋1(n∈N*)，则称{an}为“Y型数列”，则下列数列可能是“Y型数列”的是(　　)
A. －1，0，1，0，－1，0，1，…
B. 1，2，1，3，5，2，3，…
C. 0，0，0，0，0，0，0，…
D. 2，1，－1，0，1，2，1，…
三、 填空题
9. 已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 020的值为________．
10. (2021·上海曹杨二中月考)已知数列{an}满足an＝为正整数，则该数列的最大项是________．
11. (2021·天水一中月考)观察数列1，2，－1，3，－4，7，x，18，－29，…，其中x为________．
12. 已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，则a4＝________；猜想其通项公式是an＝________．
四、 解答题
13. (2021·盐城伍佑中学期中)已知函数f(x)＝，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)，其中n∈N*.
(1) 求a2的值；
(2) 求证：1≤an<2；
(3) 判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由．
14. 已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值．
参考答案与解析
1. B　解析：由已知，得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，n∈N*，n≥2.
2. C　解析：a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.
3. B　解析：因为an＝＝，显然随着n的增大，2－是递增的，故an是递减的，则数列an是递减数列．
4. C　解析：由an＋1＝1－及a1＝2，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，…，由此可知数列{an}是周期为3的数列：2，，－1，2，，－1，….又2 020＝673×3＋1，故a2 020＝a1＝2.
5. C　解析：由题意，得数列{an}为递减数列，所以，所以6. B　解析：因为a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，所以a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，a6＝－3，…由此可知，数列{an}是周期为4的周期数列，所以a2 022＝a4×505＋2＝a2＝－3.
7. AC　解析：因为a1＝－，an＋1＝，所以a2＝＝，a3＝＝3，a4＝＝－＝a1，所以数列{an}是周期为3的数列，且前3项为－，，3.故选AC.
8. ACD　解析：因为数列{an}满足a2n＝a2n－1＋a2n＋1(n∈N*)，称{an}为“Y型数列”，即数列的每个偶数项都等于其相邻两项的和，故符合条件的有ACD.
9. 1　解析：因为an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，a1＝1，a2＝2，所以a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，由此推理可得数列{an}是一个周期为6的数列，所以a2 020＝a336×6＋4＝a4＝1.
10. 　解析：an＝＝≤，当且仅当n＝时，取等号．又n∈N*，所以等号取不到．又a2＝a3＝，所以{an}的最大项为a2＝a3＝.
11. －11　解析：不妨设该数列为{an}．由题可知该数列满足的递推关系为an＝an－2－an－1(n≥3)，又x＝a7＝a5－a6＝－4－7＝－11.
12. 　　解析：因为数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，所以a2＝＝，同理可得a3＝，a4＝.猜想其通项公式是an＝.
13. (1) 由题意得an＝＝2－，
所以a2＝2－＝.
(2) 由题意得an＝2－，
因为n为正整数，所以n≥1，0<≤1，
所以1≤2－<2，所以1≤an<2.
(3) 因为an＋1－an＝－＝>0，
所以{an}是递增数列．
14. 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，
若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，
若a2为偶数，则＝1，a2＝2；
若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)，
若a1为偶数，则＝2，a1＝4.
故m＝4；
若a3为偶数，则＝4，a3＝8，
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)，
若a2为偶数，则＝8，a2＝16；
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5，故m＝5；
若a1为偶数，则＝16，a1＝32，故m＝32.
综上，m所有可能的取值为4，5，32.