苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4．2.2　等差数列的通项公式及性质课时小练（有解析）

4．2.2　等差数列的通项公式及性质
一、 单项选择题
1. 已知等差数列{an}满足a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝90，则a2＋a8的值为(　　)
A. 18 B. 30 C. 36 D. 45
2. 若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　　)
A. 26 B. 29 C. 39 D. 52
3. 已知在等差数列{an}中，a1＋a5＋a7＋a9＋a13＝100，a6－a2＝12，则a1的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20的值为(　　)
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
5. 已知在等差数列{an}中，a3＋a6＋a9＋a12＋a15＝120，则3a12－a18的值为(　　)
A. 24 B. 36 C. 48 D. 60
6. (2021·唐山一中月考)已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2.若a7＋a5＝6，且a8＝7，则a2 019的值为(　　)
A. 2 019 B. 2 020 C. 4 029 D. 4 038
二、 多项选择题
7. (2021·龙岩一中月考)已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N*)，则下列说法中正确的有(　　)
A. 数列{an}是等差数列
B. a2k＝7－2k(k∈N*)
C. a2k－1＝12－2k(k∈N*)
D. an＋an＋1＝18－3n
8. (2021·辽宁实验中学月考)已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(＋1)2－2，则下列关于数列{an}的说法中正确的是(　　)
A. a2＝5
B. 数列{an}为递增数列
C. an＝n2＋2n－1
D. 数列{an}为周期数列
三、 填空题
9. 在等差数列{an}中， a5＋a10＋a15＝30，则a22－2a16的值为________．
10. 设a≠b，且两数列a1，a，a3，b和a，b1，b2，b都成等差数列，则＝________．
11. 已知{an}，{bn}都是等差数列，且a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________．
12. 若数列{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75的值为________．
四、 解答题
13. (2021·延安宝塔四中月考)设函数f(x)＝，在数列{xn}中，xn＝f(xn－1)(n∈N*，n≥2)．
(1) 证明：为等差数列；
(2) 若x1＝2，求{xn}的通项公式．
14. (2021·嘉兴第五中期中)已知在数列{an}中，a1＝2，且满足an＝an－1＋n(n∈N*，n≥2)．
(1) 求a2，a3的值；
(2) 证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(3) 若an<λ·2n恒成立，求实数λ的取值范围．
参考答案与解析
1. C　解析：由题意，得5a5＝90，所以a5＝18，所以a2＋a8＝2a5＝36.
2. C　解析：因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y既是5和21的等差中项，也是x和z的等差中项，所以5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝2y＝26，所以x＋y＋z＝39.
3. B　解析：因为a1＋a5＋a7＋a9＋a13＝100，所以5a7＝100，即a7＝20.设等差数列{an}的公差为d.又a6－a2＝12，所以4d＝12，故d＝3，所以a1＝a7－6d＝20－18＝2.
4. A　解析：因为a1＋a3＋a5＝3a3＝105，所以a3＝35.因为a2＋a4＋a6＝3a4＝99，所以a4＝33，所以d＝a4－a3＝33－35＝－2，所以a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1.
5. C　解析：设等差数列的公差为d.因为a3＋a6＋a9＋a12＋a15＝120，所以a9＝24，所以3a12－a18＝3(a1＋11d)－(a1＋17d)＝2a1＋16d＝2(a1＋8d)＝2a9＝48.
6. C　解析：由数列满足2an＋1＝an＋an＋2，根据等差中项公式，可得数列{an}为等差数列，故a7＋a5＝2a6＝6，即a6＝3.又a8＝7＝3＋2d，所以d＝2，则a2 019＝a8＋2 011d＝7＋4 022＝4 029.
7. BC　解析：因为a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N*)，则a3＝8，而2a2≠a1＋a3，故A错误；因为an－an＋2＝2(n∈N*)，所以数列的奇数项和偶数项分别构成等差数列，当n＝2k，k∈N*时，a2k＝a2＋(k－1)×(－2)＝7－2k，k∈N*；当n＝2k－1，k∈N*时，a2k－1＝a1＋(k－1)×(－2)＝12－2k，k∈N*，故B，C正确；因为a2＋a3＝13，不满足an＋an＋1＝18－3n，故D错误．故选BC.
8. BC　解析：由an＋1＝(＋1)2－2，得an＋1＋2＝(＋1)2，即＝＋1.又a1＝2，所以{}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，即an＝n2＋2n－1，所以a2＝7，故A错误，C正确；an＝(n＋1)2－2，所以{an}为递增数列，故B正确；数列{an}不具有周期性，故D错误．故选BC.
9. －10　解析：因为{an}为等差数列，设公差为d，根据等差数列的性质可得a5＋a15＝2a10，所以3a10＝30，解得a10＝10，所以a22－2a16＝a1＋21d－2(a1＋15d)＝－(a1＋9d)＝－a10＝－10.
10. 　解析：因为a1，a，a3，b成等差数列，所以a3－a1＝b－a.又a，b1，b2，b成等差数列，所以b－a＝3(b2－b1)，所以＝＝.
11. 21　解析：因为{an}，{bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)．又a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，故a5＋b6＝21.
12. 24　解析：因为{an}是等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75成等差数列．设其公差为d，a15为首项，则a60＝a15＋3d，即d＝4，故a75＝a15＋4d＝8＋4×4＝24.
13. (1) 当n≥2时，xn＝f(xn－1)＝，
所以＝＝＋，
即－＝，
所以数列是公差为的等差数列．
(2) 由(1)可得，数列是公差为的等差数列，首项为＝，
故＝n，所以xn＝.
14. (1) 由题意得a2＝×2＋2＝6，a3＝×6＋3＝12.
(2) 因为－＝－＝1，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以＝n＋1，所以an＝n2＋n.
(3) 由(2)，得n2＋n<λ·2n，所以<λ.
令f(n)＝，则f(n)max<λ.
f(n)－f(n－1)＝－＝，
所以当n≤3时，f(n)≥f(n－1)，f(n)单调递增；当n>3时，f(n)所以当n＝2或n＝3时，f(n)有最大值，
所以λ>，
即实数λ的取值范围是.