苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4．2.3 等差数列的前n项和(2)课时小练（有解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4．2.3 等差数列的前n项和(2)课时小练（有解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 19.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-13 10:58:14 | ||
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文档简介
4．2.3 等差数列的前n项和(2)
一、 单项选择题
1. 已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A. －2 B. －1 C. 0 D. 1
2. (2021·山东12月“山东学情”联考)等差数列{an}满足：a1>0，3a5＝5a8.数列{an}的前n项和Sn取最大值时，n等于( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
3. 已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝85，则a7＋a9＋a11的值为( )
A. 10 B. 30 C. 25 D. 15
5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于( )
A. 110 B. 150 C. 210 D. 280
6. (2021·运城平陆中学月考)若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知数列为“调和数列”，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16等于( )
A. 15 B. 20 C. 25 D. 30
二、 多项选择题
7. 已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n的值为( )
A. 22 B. 23 C. 24 D. 25
8. (2022·济宁期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a4＋a11>0，a7·a8<0，则下列结论中正确的是( )
A. 数列{an}是递增数列
B. S6>S9
C. 当n＝7时，Sn最大
D. 当Sn>0时，n的最大值为14
三、 填空题
9. (2021·徐水综合高级中学月考)在等差数列{an}中，a5＝11，a12＝－10，Sn是数列{an}的前n项和，则当Sn取最大值时的n＝________．
10. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若 a4＝27，S15＝225，则S30＝________．
11. 已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和是34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．
12. (2021·运城芮城中学月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且－＝1，则数列{an}的公差为________．
四、 解答题
13. 已知在等差数列{an}中，a3＝7，a11＝3，求：
(1) a51＋a52＋…＋a80的值；
(2) 数列{an}前n项和Sn的最大值．
14. (2021·广东部分学校12月联考)从①－＝－5，②S8＝S4－8，③a5＝1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＝9，且________，求数列{|an|}的前n项和Tn.
参考答案与解析
1. B 解析：因为等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，所以λ＝－1.
2. A 解析：设公差为d.因为3a5＝5a8，所以3(a1＋4d)＝5(a1＋7d)，即2a1＋23d＝0，得d＝－a1，所以Sn＝na1－a1＝－[(n－12)2－144]．因为a1>0，所以当n＝12时，Sn取最大值．
3. A 解析：由等差数列的性质可得＝＝＝＝2.
4. D 解析：由题意，得S17＝×17＝17a9＝85，解得a9＝5，所以a7＋a9＋a11＝3a9＝3×5＝15.
5. D 解析：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150.又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.
6. B 解析：因为数列为“调和数列”，所以－＝xn＋1－xn＝d，所以{xn}是等差数列，所以x1＋x2＋…＋x20＝＝200，可得x1＋x20＝20，由等差数列的性质可得x5＋x16＝x1＋x20＝20.
7. BC 解析： 因为an＝2n－48，所以Sn＝＝(－46＋2n－48)＝n2－47n，所以当n＝23或n＝24时，Sn取得最小值，故选BC.
8. BCD 解析：在等差数列{an}中，a4＋a11>0，a4＋a11＝a7＋a8，a1>0，a7·a8<0，所以a7>0，a8<0，所以公差d<0，数列{an}是递减数列，故A错误；因为S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，所以S6>S9，故B正确；因为a7>0，a8<0，数列{an}是递减数列，所以当n＝7时，Sn最大，故C正确；因为a4＋a11>0，a7>0，a8<0，S14＝＝>0，S15＝＝<0，所以当Sn>0时，n的最大值为14，故D正确．故选BCD.
9. 8 解析：设等差数列的公差为d，则解得d＝－3，a1＝23，所以an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋26.因为当n≤8时，an＝－3n＋26>0，当n≥9时，an＝－3n＋26<0，所以当n＝8时，Sn取最大值．
10. －225 解析：依题意，得S15＝＝15a8＝225，解得a8＝15，故公差d＝＝－3，故S30＝15(a1＋a30)＝15(2a8＋15d)＝－255.
11. －4 解析：设等差数列{an}的项数为2m.因为末项比首项小28，所以a2m－a1＝(2m－1)d＝－28.因为S奇＝50，S偶＝34，所以S偶－S奇＝34－50＝－16＝md.由得d＝－4.
12. 2 解析：设数列{an}的公差为d，则由－＝1可得－＝1，化简可得d＝2.
13. (1) 因为公差d＝＝＝－，
所以a51＝a11＋40d＝3＋40×＝－17，
所以a51＋a52＋…＋a80＝30a51＋d＝－.
(2) 因为a1＝a3－2d＝7－2×＝8，
所以Sn＝na1＋d＝8n－＝－(n2－33n)＝－＋.
因为n∈N*，
所以当n＝16或n＝17时，Sn取得最大值，
故该等差数列{an}前n项和Sn的最大值为
S16＝S17＝－×＋＝68.
14. 设数列{an}的公差为d.
若选①：
因为－＝－＝＝，所以＝－5，解得d＝－2.
又a1＝S1＝9，所以an＝－2n＋11，Sn＝＝－n2＋10n.
当1≤n≤5时，an>0，Tn＝Sn＝－n2＋10n；
当n≥6时，an<0，Tn＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.
综上所述，Tn＝
若选②：
因为a1＝S1＝9，S8＝8a1＋28d，S4＝4a1＋6d，
所以S8－S4＝4a1＋22d＝－8，解得d＝－2，
所以an＝－2n＋11，Sn＝＝－n2＋10n.
当1≤n≤5时，an>0，Tn＝Sn＝－n2＋10n；
当n≥6时，an<0，Tn＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.
综上所述，Tn＝
若选③：
因为a1＝S1＝9，a5＝a1＋4d＝1，所以d＝－2，
所以an＝－2n＋11，Sn＝＝－n2＋10n.
当1≤n≤5时，an>0，Tn＝Sn＝－n2＋10n；
当n≥6时，an<0，Tn＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.
综上所述，Tn＝
一、 单项选择题
1. 已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A. －2 B. －1 C. 0 D. 1
2. (2021·山东12月“山东学情”联考)等差数列{an}满足：a1>0，3a5＝5a8.数列{an}的前n项和Sn取最大值时，n等于( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
3. 已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝85，则a7＋a9＋a11的值为( )
A. 10 B. 30 C. 25 D. 15
5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于( )
A. 110 B. 150 C. 210 D. 280
6. (2021·运城平陆中学月考)若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知数列为“调和数列”，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16等于( )
A. 15 B. 20 C. 25 D. 30
二、 多项选择题
7. 已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n的值为( )
A. 22 B. 23 C. 24 D. 25
8. (2022·济宁期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a4＋a11>0，a7·a8<0，则下列结论中正确的是( )
A. 数列{an}是递增数列
B. S6>S9
C. 当n＝7时，Sn最大
D. 当Sn>0时，n的最大值为14
三、 填空题
9. (2021·徐水综合高级中学月考)在等差数列{an}中，a5＝11，a12＝－10，Sn是数列{an}的前n项和，则当Sn取最大值时的n＝________．
10. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若 a4＝27，S15＝225，则S30＝________．
11. 已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和是34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．
12. (2021·运城芮城中学月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且－＝1，则数列{an}的公差为________．
四、 解答题
13. 已知在等差数列{an}中，a3＝7，a11＝3，求：
(1) a51＋a52＋…＋a80的值；
(2) 数列{an}前n项和Sn的最大值．
14. (2021·广东部分学校12月联考)从①－＝－5，②S8＝S4－8，③a5＝1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＝9，且________，求数列{|an|}的前n项和Tn.
参考答案与解析
1. B 解析：因为等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，所以λ＝－1.
2. A 解析：设公差为d.因为3a5＝5a8，所以3(a1＋4d)＝5(a1＋7d)，即2a1＋23d＝0，得d＝－a1，所以Sn＝na1－a1＝－[(n－12)2－144]．因为a1>0，所以当n＝12时，Sn取最大值．
3. A 解析：由等差数列的性质可得＝＝＝＝2.
4. D 解析：由题意，得S17＝×17＝17a9＝85，解得a9＝5，所以a7＋a9＋a11＝3a9＝3×5＝15.
5. D 解析：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150.又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.
6. B 解析：因为数列为“调和数列”，所以－＝xn＋1－xn＝d，所以{xn}是等差数列，所以x1＋x2＋…＋x20＝＝200，可得x1＋x20＝20，由等差数列的性质可得x5＋x16＝x1＋x20＝20.
7. BC 解析： 因为an＝2n－48，所以Sn＝＝(－46＋2n－48)＝n2－47n，所以当n＝23或n＝24时，Sn取得最小值，故选BC.
8. BCD 解析：在等差数列{an}中，a4＋a11>0，a4＋a11＝a7＋a8，a1>0，a7·a8<0，所以a7>0，a8<0，所以公差d<0，数列{an}是递减数列，故A错误；因为S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，所以S6>S9，故B正确；因为a7>0，a8<0，数列{an}是递减数列，所以当n＝7时，Sn最大，故C正确；因为a4＋a11>0，a7>0，a8<0，S14＝＝>0，S15＝＝<0，所以当Sn>0时，n的最大值为14，故D正确．故选BCD.
9. 8 解析：设等差数列的公差为d，则解得d＝－3，a1＝23，所以an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋26.因为当n≤8时，an＝－3n＋26>0，当n≥9时，an＝－3n＋26<0，所以当n＝8时，Sn取最大值．
10. －225 解析：依题意，得S15＝＝15a8＝225，解得a8＝15，故公差d＝＝－3，故S30＝15(a1＋a30)＝15(2a8＋15d)＝－255.
11. －4 解析：设等差数列{an}的项数为2m.因为末项比首项小28，所以a2m－a1＝(2m－1)d＝－28.因为S奇＝50，S偶＝34，所以S偶－S奇＝34－50＝－16＝md.由得d＝－4.
12. 2 解析：设数列{an}的公差为d，则由－＝1可得－＝1，化简可得d＝2.
13. (1) 因为公差d＝＝＝－，
所以a51＝a11＋40d＝3＋40×＝－17，
所以a51＋a52＋…＋a80＝30a51＋d＝－.
(2) 因为a1＝a3－2d＝7－2×＝8，
所以Sn＝na1＋d＝8n－＝－(n2－33n)＝－＋.
因为n∈N*，
所以当n＝16或n＝17时，Sn取得最大值，
故该等差数列{an}前n项和Sn的最大值为
S16＝S17＝－×＋＝68.
14. 设数列{an}的公差为d.
若选①：
因为－＝－＝＝，所以＝－5，解得d＝－2.
又a1＝S1＝9，所以an＝－2n＋11，Sn＝＝－n2＋10n.
当1≤n≤5时，an>0，Tn＝Sn＝－n2＋10n；
当n≥6时，an<0，Tn＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.
综上所述，Tn＝
若选②：
因为a1＝S1＝9，S8＝8a1＋28d，S4＝4a1＋6d，
所以S8－S4＝4a1＋22d＝－8，解得d＝－2，
所以an＝－2n＋11，Sn＝＝－n2＋10n.
当1≤n≤5时，an>0，Tn＝Sn＝－n2＋10n；
当n≥6时，an<0，Tn＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.
综上所述，Tn＝
若选③：
因为a1＝S1＝9，a5＝a1＋4d＝1，所以d＝－2，
所以an＝－2n＋11，Sn＝＝－n2＋10n.
当1≤n≤5时，an>0，Tn＝Sn＝－n2＋10n；
当n≥6时，an<0，Tn＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.
综上所述，Tn＝