苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4．2.3 等差数列的前n项和(3)课时小练（有解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4．2.3 等差数列的前n项和(3)课时小练（有解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 17.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-13 10:58:32 | ||
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文档简介
4．2.3 等差数列的前n项和(3)
一、 单项选择题
1. (2021·湖南天壹名校联盟12月联考)某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使它成为一个运动场地，若第一排需要大理石8片，从第二排开始后面每一排比前一排多2片，共需铺10排，则这块空地共需大理石( )
A. 160片 B. 170片 C. 180片 D. 190片
2. (2021·重庆八中月考)我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1 880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人．已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”( )
A. 6天，495人 B. 7天，602人 C. 8天，716人 D. 9天，795人
3. 按照小李的阅读速度，他看完《红楼梦》需要40h.2021年10月20日，他开始阅读《红楼梦》，当天他读了20min，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10min，则他恰好读完《红楼梦》的日期为( )
A. 2021年11月8日
B. 2021年11月9日
C. 2021年11月10日
D. 2021年11月11日
4. (2021·永城一中期中)我国古代的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：二马相逢时驽马所走的路程为( )
A. 855里 B. 1 062里 C. 1 188里 D. 1 395里
二、 多项选择题
5. 我国古代的《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”堆放的层数可以是( )
A. 4 B. 5 C. 7 D. 8
6. (2021·镇江期中)明代数学家程大位在《算法统宗》中编织了一个“九儿问甲歇”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知；自长排来差三岁，共年二百又零七；借问长儿多少岁？各儿岁数要详推．如果按儿子的岁数从大到小排列，假设公公20岁时生第一个儿子，则下列结论中正确的是( )
A. 第五个儿子岁数是23岁
B. 最大儿子岁数为38岁
C. 最小儿子岁数是11岁
D. 生最小儿子时，公公是44岁
三、 填空题
7. 春夏季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且满足an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院近30天入院治疗流感的人数为________．
8. (2021·西安长安区一中月考)在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取到的项：
第一次取1；
第二次取2个连续的偶数2，4；
第三次取3个连续的奇数5，7，9；
第四次取4个连续的偶数10，12，14，16，
……
按此规律一直取下去，得到数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，…，则在这个数列中，第2 020个数是________．
四、 解答题
9. 夏季高山上的温度从山脚起，每升高100 m 降低0.7 ℃.已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度是26 ℃，求这山相对于山脚处的高度．
10. 某发电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m，最远一根电线杆距离发电站1 550 m，一汽车每次从发电站运出3根电线杆供应施工．若该汽车往返运输的总行程为17 500 m，则共竖立了多少根电线杆？第一根电线杆距离发电站多少米？
参考答案与解析
1. B 解析：因为这10排大理石片数构成一个首项为8，公差为2的等差数列，所以S10＝10×8＋×2＝170.
2. B 解析：设第n天派出的人数为an，则{an}是以65为首项，7为公差的等差数列，且a1＋a2＋a3＝216，an－2＋an－1＋an＝300，所以a1＋an＝＝172，an＝107，所以n＝＋1＝7，则目前派出的人数为S7＝＝602(人)．
3. B 解析：根据题意，从2021年10月20日开始到读完的前一天，他每天阅读《红楼梦》的时间(单位：min)依次构成等差数列，且首项为20，公差为10，则20n＋×10>40×60，整理得n2＋3n－480>0(n∈N*)．易知数列bn＝n2＋3n－480(n∈N*)是递增数列，且b20＝－20<0，b21＝24>0，所以他恰好读完《红楼梦》共需要21天，而10月有31天，故他恰好读完《红楼梦》的日期为2021年11月9日．
4. A 解析：由题意知，良马每日行的路程构成等差数列{an}，其中a1＝103，d＝13；驽马每日行的路程构成等差数列{bn}，其中b1＝97，d＝－0.5.设第m天相逢，则(a1＋a2＋…＋am)＋(b1＋b2＋…＋bm)＝103m＋＋97m＋，所以m2＋m＝2×1 125，解得m＝9或m＝－40(舍去)，所以b1＋b2＋…＋b9＝97×9－＝855(里)．
5. BD 解析：依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为a1，公差为d＝1，设一共放n(n≥2)层，则总根数为Sn＝na1＋＝na1＋＝100，整理，得2a1＝＋1－n.因为a1∈N?，所以n为200的因数，＋1－n≥2且为偶数，验证可知n＝5和n＝8满足题意．故选BD.
6. ACD 解析：由已知得九个儿子年龄从大到小构成公差为－3的等差数列{an}，设大儿子年龄为a1，则9a1－×3＝207，解得a1＝35，故an＝38－3n(n＝1，2，3，…，9)，则a5＝23，a9＝11；生最小儿子时，公公的年龄为20＋3×8＝44，故A，C，D正确，B错误．故选ACD.
7. 255 解析：因为an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，所以当n为奇数时，an＋2＝an；当n为偶数时，an＋2－an＝2，所以a1＝a3＝…＝a29＝1，a2，a4，…，a30构成公差为2的等差数列．因为a1＝1，a2＝2，所以a1＋a2＋a3＋…＋a29＋a30＝15＋15×2＋×2＝255.
8. 3 976 解析：依题意，每次取出的各个数从小到大各排成一行，奇数次取数个数是奇数，偶数次取数个数是偶数，每一行数的个数与次数相同，每一行第一个数比上一行最后一个数大1，每一行最后一个数依次为1，4，9，16，…，则第n行最后一个数为n2，前n行数的总个数为1＋2＋3＋…＋n＝，当n＝63时，一共有＝2 016(个)数，于是，第2 020个数是第64行的第4个数，而第63行最后一个数为632＝3 969，则第2 020个数是3 976.
9. 从山脚处起，设第n个100 m处的温度为an ℃，n∈N*，则{an}成等差数列，且满足a1＝26－0.7＝25.3，an＝14.8，d＝－0.7，
由an＝a1＋(n－1)d＝26－0.7n＝14.8，
解得n＝16，
所以这山相对于山脚处的高度为1 600 m.
10. 由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{an}，则an＝1 550×2＝3 100，d＝50×3×2＝300，Sn＝17 500.由等差数列的通项公式及前n项和公式，得
由①，得a1＝3 400－300n，代入②，得n(3 400－300n)＋150n(n－1)－17 500＝0，整理，得3n2－65n＋350＝0，解得n＝10或n＝(舍去)，
所以a1＝3 400－300×10＝400，
所以汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，
最近的一趟往返行程400 m，第一根电线杆距离发电站×400－100＝100(m)，
故共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离发电站100 m.
一、 单项选择题
1. (2021·湖南天壹名校联盟12月联考)某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使它成为一个运动场地，若第一排需要大理石8片，从第二排开始后面每一排比前一排多2片，共需铺10排，则这块空地共需大理石( )
A. 160片 B. 170片 C. 180片 D. 190片
2. (2021·重庆八中月考)我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1 880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人．已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”( )
A. 6天，495人 B. 7天，602人 C. 8天，716人 D. 9天，795人
3. 按照小李的阅读速度，他看完《红楼梦》需要40h.2021年10月20日，他开始阅读《红楼梦》，当天他读了20min，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10min，则他恰好读完《红楼梦》的日期为( )
A. 2021年11月8日
B. 2021年11月9日
C. 2021年11月10日
D. 2021年11月11日
4. (2021·永城一中期中)我国古代的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：二马相逢时驽马所走的路程为( )
A. 855里 B. 1 062里 C. 1 188里 D. 1 395里
二、 多项选择题
5. 我国古代的《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”堆放的层数可以是( )
A. 4 B. 5 C. 7 D. 8
6. (2021·镇江期中)明代数学家程大位在《算法统宗》中编织了一个“九儿问甲歇”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知；自长排来差三岁，共年二百又零七；借问长儿多少岁？各儿岁数要详推．如果按儿子的岁数从大到小排列，假设公公20岁时生第一个儿子，则下列结论中正确的是( )
A. 第五个儿子岁数是23岁
B. 最大儿子岁数为38岁
C. 最小儿子岁数是11岁
D. 生最小儿子时，公公是44岁
三、 填空题
7. 春夏季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且满足an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院近30天入院治疗流感的人数为________．
8. (2021·西安长安区一中月考)在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取到的项：
第一次取1；
第二次取2个连续的偶数2，4；
第三次取3个连续的奇数5，7，9；
第四次取4个连续的偶数10，12，14，16，
……
按此规律一直取下去，得到数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，…，则在这个数列中，第2 020个数是________．
四、 解答题
9. 夏季高山上的温度从山脚起，每升高100 m 降低0.7 ℃.已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度是26 ℃，求这山相对于山脚处的高度．
10. 某发电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m，最远一根电线杆距离发电站1 550 m，一汽车每次从发电站运出3根电线杆供应施工．若该汽车往返运输的总行程为17 500 m，则共竖立了多少根电线杆？第一根电线杆距离发电站多少米？
参考答案与解析
1. B 解析：因为这10排大理石片数构成一个首项为8，公差为2的等差数列，所以S10＝10×8＋×2＝170.
2. B 解析：设第n天派出的人数为an，则{an}是以65为首项，7为公差的等差数列，且a1＋a2＋a3＝216，an－2＋an－1＋an＝300，所以a1＋an＝＝172，an＝107，所以n＝＋1＝7，则目前派出的人数为S7＝＝602(人)．
3. B 解析：根据题意，从2021年10月20日开始到读完的前一天，他每天阅读《红楼梦》的时间(单位：min)依次构成等差数列，且首项为20，公差为10，则20n＋×10>40×60，整理得n2＋3n－480>0(n∈N*)．易知数列bn＝n2＋3n－480(n∈N*)是递增数列，且b20＝－20<0，b21＝24>0，所以他恰好读完《红楼梦》共需要21天，而10月有31天，故他恰好读完《红楼梦》的日期为2021年11月9日．
4. A 解析：由题意知，良马每日行的路程构成等差数列{an}，其中a1＝103，d＝13；驽马每日行的路程构成等差数列{bn}，其中b1＝97，d＝－0.5.设第m天相逢，则(a1＋a2＋…＋am)＋(b1＋b2＋…＋bm)＝103m＋＋97m＋，所以m2＋m＝2×1 125，解得m＝9或m＝－40(舍去)，所以b1＋b2＋…＋b9＝97×9－＝855(里)．
5. BD 解析：依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为a1，公差为d＝1，设一共放n(n≥2)层，则总根数为Sn＝na1＋＝na1＋＝100，整理，得2a1＝＋1－n.因为a1∈N?，所以n为200的因数，＋1－n≥2且为偶数，验证可知n＝5和n＝8满足题意．故选BD.
6. ACD 解析：由已知得九个儿子年龄从大到小构成公差为－3的等差数列{an}，设大儿子年龄为a1，则9a1－×3＝207，解得a1＝35，故an＝38－3n(n＝1，2，3，…，9)，则a5＝23，a9＝11；生最小儿子时，公公的年龄为20＋3×8＝44，故A，C，D正确，B错误．故选ACD.
7. 255 解析：因为an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，所以当n为奇数时，an＋2＝an；当n为偶数时，an＋2－an＝2，所以a1＝a3＝…＝a29＝1，a2，a4，…，a30构成公差为2的等差数列．因为a1＝1，a2＝2，所以a1＋a2＋a3＋…＋a29＋a30＝15＋15×2＋×2＝255.
8. 3 976 解析：依题意，每次取出的各个数从小到大各排成一行，奇数次取数个数是奇数，偶数次取数个数是偶数，每一行数的个数与次数相同，每一行第一个数比上一行最后一个数大1，每一行最后一个数依次为1，4，9，16，…，则第n行最后一个数为n2，前n行数的总个数为1＋2＋3＋…＋n＝，当n＝63时，一共有＝2 016(个)数，于是，第2 020个数是第64行的第4个数，而第63行最后一个数为632＝3 969，则第2 020个数是3 976.
9. 从山脚处起，设第n个100 m处的温度为an ℃，n∈N*，则{an}成等差数列，且满足a1＝26－0.7＝25.3，an＝14.8，d＝－0.7，
由an＝a1＋(n－1)d＝26－0.7n＝14.8，
解得n＝16，
所以这山相对于山脚处的高度为1 600 m.
10. 由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{an}，则an＝1 550×2＝3 100，d＝50×3×2＝300，Sn＝17 500.由等差数列的通项公式及前n项和公式，得
由①，得a1＝3 400－300n，代入②，得n(3 400－300n)＋150n(n－1)－17 500＝0，整理，得3n2－65n＋350＝0，解得n＝10或n＝(舍去)，
所以a1＝3 400－300×10＝400，
所以汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，
最近的一趟往返行程400 m，第一根电线杆距离发电站×400－100＝100(m)，
故共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离发电站100 m.