苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4．3.2 等比数列的通项公式及性质课时小练（有解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4．3.2 等比数列的通项公式及性质课时小练（有解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 19.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-13 10:58:56 | ||
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文档简介
4．3.2 等比数列的通项公式及性质
一、 单项选择题
1. 已知在等比数列{an}中，a3a7＝64，则a5的值为( )
A. 8 B. ±8 C. 4 D. 16
2. 在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋a11＋a12等于( )
A. 32 B. 16 C. 12 D. 8
3. 若公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 已知在等比数列{an}中，a1＋a3＝1，a5＋a7＋a9＋a11＝20，则a1的值为( )
A. B. C. 2 D. 4
5. (2021·云南红河州高中检测)在等比数列{an}中，已知a5a11＝3，a3＋a13＝4，则的值为( )
A. 3 B. 9 C. 3或 D. 9或
6. (2021·广东联考)已知等比数列{an}满足a2＋a4＋a6＋a8＝20，a2·a8＝2，则＋＋＋的值为( )
A. 20 B. 10 C. 3 D.
二、 多项选择题
7. 对于任意等比数列{an}，下列说法中一定正确的是( )
A. a1，a3，a5成等比数列
B. a2，a3，a6成等比数列
C. a2，a4，a8成等比数列
D. a3，a6，a9成等比数列
8. (2021·广东部分学校月考)在等比数列{an}中，a1＋a3＝－1，a4＋a6＝8，则下列结论中正确的是( )
A. a1＝－ B. 公比为－2
C. a3＝－ D. a5＋a7＝16
三、 填空题
9. 在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
10. 已知等比数列{an}满足a1＝2，a4a6＝2a5－1，则a9＝________．
11. 在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________．
12. 在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7＝________．
四、 解答题
13. 已知{an}为等比数列．
(1) 若a2a4＝，求a1aa5的值；
(2) 若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5的值；
(3) 若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
14. (2021·福建平和一中期中)在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈(0，1)．若a3＋a5＝5，a2a6＝4，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn.
(1) 求{an}和{bn}的通项公式；
(2) 求当＋＋…＋取最大值时n的值．
参考答案与解析
1. B 解析：在等比数列{an}中，因为a3a7＝a＝64，所以a5＝±8.
2. B 解析：因为＝q3＝＝2，所以a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)q9＝2×23＝24＝16.
3. B 解析： 因为a3a11＝16，所以a＝16.又因为an>0，所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝32，所以log2a16＝5.
4. B 解析：因为a5＋a7＝(a1＋a3)q4＝q4，a9＋a11＝(a1＋a3)q8＝q8，所以q8＋q4＝20，所以q4＝4或q4＝－5(舍去)，所以q2＝2.因为a1＋a3＝a1＋a1q2＝3a1＝1，所以a1＝.
5. C 解析：因为数列{an}为等比数列，所以a5a11＝a3a13＝3①，又因为a3＋a13＝4②，联立①②可求得或当a3＝1，a13＝3时，由a13＝a3q10，得q10＝3，所以＝q10＝3.当a3＝3，a13＝1时，由a13＝a3q10，得q10＝，所以＝q10＝.综上所述，的值为3或.
6. B 解析：由题意，得＋＋＋＝＋＝＝＝10.
7. AD 解析：设等比数列{an}的公比是q，则an＝a1qn－1，对于A，＝q2＝，故a1，a3，a5成等比数列，故A正确；对于B，＝q，＝q3，当q≠1时，两者不相等，故B错误；对于C，＝q2，＝q4，当q2≠1时，两者不相等，故C错误；对于D，＝q3＝，故a3，a6，a9成等比数列，故D正确．故选AD.
8. BC 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＋a3＝－1，a4＋a6＝8，所以a4＋a6＝q3(a1＋a3)，所以q3＝－8，q＝－2.因为a1＋a3＝a1(1＋q2)＝－1，所以a1＝－，a3＝a1q2＝－，a5＋a7＝q(a4＋a6)＝－16，故A，D错误，B，C正确．故选BC.
9. 8 解析：设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.
10. 解析：由等比数列的性质可得a4a6＝a，所以a＝2a5－1，解得a5＝1.又a1a9＝a，所以a9＝＝.
11. －7 解析：因为{an}是等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，又a4＋a7＝2，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4.当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－，a1＋a10＝＋a7q3＝－7；当a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，a1＋a10＝＋a7q3＝－7，故a1＋a10＝－7.
12. 256 解析：因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以a3a8＝213.又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512.因为a8＝a3q5，所以q＝2，所以a7＝＝256.
13. (1) 在等比数列{an}中，因为a2a4＝，
所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝.
(2) 由等比中项的性质，化简条件，得
a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25，
因为an>0，所以a3＋a5＝5.
(3) 由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.
14. (1) 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3＋a5＝5，a2a6＝4，
所以又公比q∈(0，1)，
所以所以q＝，
所以an＝a5qn－5＝，bn＝log2＝5－n.
(2) 由(1)可知数列{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列，
所以Sn＝＝，
则cn＝＝，
当n<9，n∈N*时，cn＝>0；
当n＝9时，cn＝0；
当n>9，n∈N*时，c<0，
故当n＝9或n＝8时，数列＋＋…＋取得最大值．
一、 单项选择题
1. 已知在等比数列{an}中，a3a7＝64，则a5的值为( )
A. 8 B. ±8 C. 4 D. 16
2. 在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋a11＋a12等于( )
A. 32 B. 16 C. 12 D. 8
3. 若公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 已知在等比数列{an}中，a1＋a3＝1，a5＋a7＋a9＋a11＝20，则a1的值为( )
A. B. C. 2 D. 4
5. (2021·云南红河州高中检测)在等比数列{an}中，已知a5a11＝3，a3＋a13＝4，则的值为( )
A. 3 B. 9 C. 3或 D. 9或
6. (2021·广东联考)已知等比数列{an}满足a2＋a4＋a6＋a8＝20，a2·a8＝2，则＋＋＋的值为( )
A. 20 B. 10 C. 3 D.
二、 多项选择题
7. 对于任意等比数列{an}，下列说法中一定正确的是( )
A. a1，a3，a5成等比数列
B. a2，a3，a6成等比数列
C. a2，a4，a8成等比数列
D. a3，a6，a9成等比数列
8. (2021·广东部分学校月考)在等比数列{an}中，a1＋a3＝－1，a4＋a6＝8，则下列结论中正确的是( )
A. a1＝－ B. 公比为－2
C. a3＝－ D. a5＋a7＝16
三、 填空题
9. 在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
10. 已知等比数列{an}满足a1＝2，a4a6＝2a5－1，则a9＝________．
11. 在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________．
12. 在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7＝________．
四、 解答题
13. 已知{an}为等比数列．
(1) 若a2a4＝，求a1aa5的值；
(2) 若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5的值；
(3) 若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
14. (2021·福建平和一中期中)在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈(0，1)．若a3＋a5＝5，a2a6＝4，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn.
(1) 求{an}和{bn}的通项公式；
(2) 求当＋＋…＋取最大值时n的值．
参考答案与解析
1. B 解析：在等比数列{an}中，因为a3a7＝a＝64，所以a5＝±8.
2. B 解析：因为＝q3＝＝2，所以a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)q9＝2×23＝24＝16.
3. B 解析： 因为a3a11＝16，所以a＝16.又因为an>0，所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝32，所以log2a16＝5.
4. B 解析：因为a5＋a7＝(a1＋a3)q4＝q4，a9＋a11＝(a1＋a3)q8＝q8，所以q8＋q4＝20，所以q4＝4或q4＝－5(舍去)，所以q2＝2.因为a1＋a3＝a1＋a1q2＝3a1＝1，所以a1＝.
5. C 解析：因为数列{an}为等比数列，所以a5a11＝a3a13＝3①，又因为a3＋a13＝4②，联立①②可求得或当a3＝1，a13＝3时，由a13＝a3q10，得q10＝3，所以＝q10＝3.当a3＝3，a13＝1时，由a13＝a3q10，得q10＝，所以＝q10＝.综上所述，的值为3或.
6. B 解析：由题意，得＋＋＋＝＋＝＝＝10.
7. AD 解析：设等比数列{an}的公比是q，则an＝a1qn－1，对于A，＝q2＝，故a1，a3，a5成等比数列，故A正确；对于B，＝q，＝q3，当q≠1时，两者不相等，故B错误；对于C，＝q2，＝q4，当q2≠1时，两者不相等，故C错误；对于D，＝q3＝，故a3，a6，a9成等比数列，故D正确．故选AD.
8. BC 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＋a3＝－1，a4＋a6＝8，所以a4＋a6＝q3(a1＋a3)，所以q3＝－8，q＝－2.因为a1＋a3＝a1(1＋q2)＝－1，所以a1＝－，a3＝a1q2＝－，a5＋a7＝q(a4＋a6)＝－16，故A，D错误，B，C正确．故选BC.
9. 8 解析：设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.
10. 解析：由等比数列的性质可得a4a6＝a，所以a＝2a5－1，解得a5＝1.又a1a9＝a，所以a9＝＝.
11. －7 解析：因为{an}是等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，又a4＋a7＝2，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4.当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－，a1＋a10＝＋a7q3＝－7；当a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，a1＋a10＝＋a7q3＝－7，故a1＋a10＝－7.
12. 256 解析：因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以a3a8＝213.又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512.因为a8＝a3q5，所以q＝2，所以a7＝＝256.
13. (1) 在等比数列{an}中，因为a2a4＝，
所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝.
(2) 由等比中项的性质，化简条件，得
a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25，
因为an>0，所以a3＋a5＝5.
(3) 由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.
14. (1) 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3＋a5＝5，a2a6＝4，
所以又公比q∈(0，1)，
所以所以q＝，
所以an＝a5qn－5＝，bn＝log2＝5－n.
(2) 由(1)可知数列{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列，
所以Sn＝＝，
则cn＝＝，
当n<9，n∈N*时，cn＝>0；
当n＝9时，cn＝0；
当n>9，n∈N*时，c<0，
故当n＝9或n＝8时，数列＋＋…＋取得最大值．