苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4．3.3　等比数列的前n项和(2)课时小练（有解析）

4．3.3　等比数列的前n项和(2)
一、 单项选择题
1. 若在等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝12，则{an}的前8项和为(　　)
A. 90 B. 30(＋1) C. 45(＋1) D. 72
2. 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且7S2＝4S4，则公比q的值为(　　)
A. 1 B. 1或 C. D. ±
3. 已知在数列{an}中，对任意正整数n，有a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于　(　　)
A. (2n－1)2 B. (4n－1) C. (2n－1) D. 4n－1
4. (2021·渭南杜桥中学期中)已知数列{an}满足log2an－1＝log2an＋1，若a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝2n，则log2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)的值是(　　)
A. 2n＋1 B. 2n－1 C. n＋1 D. n－1
5. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝30，则S20的值为(　　)
A. 10 B. 20 C. 20或－10 D. －20或10
6. 已知在等比数列{an}中，an＝2×3n－1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和 Sn为(　　)
A. 3n－1 B. 3(3n－1) C. D.
二、 多项选择题
7. 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列说法中正确的是(　　)
A. q＝2 B. ＝9
C. S3，S6，S9成等比数列 D. Sn＝2an＋a1
8. 已知在等比数列{an}中，公比为q，其前n项积为Tn，且a1>1，a99·a100－1>0，<0，则下列结论中正确的有(　　)
A. 0B. a99·a101－1<0
C. T100的值是Tn中最大的
D. 使Tn>1成立的最大自然数n等于198
三、 填空题
9. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝5，S10＝30，则S15＝________．
10. 若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________．
11. 若等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
12. (2021·清远博爱学校月考)在等比数列{an}中，公比q＝2，S4＝1，则S8＝________．
四、 解答题
13. 已知数列{log2(an－1)}(n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设数列的前n项和为Sn, 求证：Sn<1.
14. (2021·武安三中月考)已知递减的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝，S3＝7a3.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 求满足Sn<的所有正整数n的值．
参考答案与解析
1. A　解析：因为在等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝(a1＋a2)q2＝12，所以q2＝2，所以a5＋a6＝(a3＋a4)q2＝24，a7＋a8＝48，则{an}的前8项和S8＝6＋12＋24＋48＝90.
2. C　解析：因为7S2＝4S4，所以3(a1＋a2)＝4(S4－S2)＝4(a3＋a4)，故q2＝.因为{an}为正项等比数列，所以q>0，所以q＝.
3. B　解析：因为a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1①，所以当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2n－1－1②，由①－②，得an＝2n－1(n≥2)．当n＝1时，a1＝21－1＝1满足an＝2n－1，所以an＝2n－1(n∈N*)，所以a＝4n－1，所以数列{a}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a＋a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
4. D　解析：因为数列{an}满足log2an－1＝log2an＋1，所以log2an＋1＝log2，即＝an＋1.因为a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝2n，所以a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＋＋＋…＋＝2n－1，所以log2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝log22n－1＝n－1.
5. B　解析：由等比数列的性质可得S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，且公比为q10，所以(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(30－S20)，解得S20＝20或S20＝－10.因为S20－S10＝q10S10>0，所以S20＝20.
6. D　解析：因为an＝2×3n－1，所以数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，9为公比的等比数列，则其前n项和Sn＝＝.
7. AB　解析：对于A，若a6＝8a3，则有q3＝＝8，解得q＝2，故A正确；对于B，由q＝2，得＝＝＝9，故B正确；对于C，由q＝2，得S3＝＝7a1，S6＝＝63a1，S9＝＝511a1，所以S3，S6，S9不是等比数列，故C错误；对于D，由q＝2，得Sn＝＝(2n－1)a1，an＝a1qn－1＝2n－1a1，所以Sn＝2an＋a1不成立，故D错误．故选AB.
8. ABD　解析：对于A，因为a99a100－1>0，所以 aq197>1，所以(a1q98)2·q>1.因为a1>1，所以q>0.又<0，所以a99>1，且a100<1，所以01，T199＝a1a2·…·a199＝(a1·a199)(a2·a198)·…·(a99·a101)·a100<1，故D正确．故选ABD.
9. 155　解析：由等比数列{an}的前n项和的性质，得S5，S10－S5，S15－S10成等比数列．因为S5＝5，S10＝30，所以S10－S5＝25，S15－S10＝125，故S15＝125＋30＝155.
10. 80　解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，由等比数列的性质知＝q＝，所以Y＝20，所以S100＝X＋Y＝80.
11. 2　解析：由题意，得S奇＝－80，S偶＝－160，所以q＝＝2.
12. 17　解析：因为S4＝1，即a1＋a2＋a3＋a4＝1，又a5＋a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3＋a4)q4＝16，所以S8＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝1＋16＝17.
13. (1) 设等差数列{log2(an－1)}的公差为d.
由a1＝3，a3＝9，得log28＝log22＋2d，解得d＝1，
所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，
即an＝2n＋1.
(2) 由(1)，得＝＝，
所以Sn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝1－<1.
14. (1) 设公比为q，因为{an}是递减的等比数列，所以0则解得或(舍去)，
则数列{an}的通项公式为an＝.
(2) 由(1)，得Sn＝＝1－，
易知Sn递增．
又S9＝<，S10＝>，
故满足Sn<的所有正整数n的值为1，2，3，4，5，6，7，8，9.