苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4．3.3 等比数列的前n项和(3)课时小练（有解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4．3.3 等比数列的前n项和(3)课时小练（有解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 78.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-13 10:59:36 | ||
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文档简介
4．3.3 等比数列的前n项和(3)
一、 单项选择题
1. 在明朝程大位所著的《算法统宗》中，有这样一首歌谣：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问层三几盏灯？这首歌谣描述的是浮屠，现称宝塔．这首歌谣的意思是：有一座7层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，宝塔上共有381盏灯，这个宝塔第3层灯的盏数为多少？该问题中宝塔第3层灯的盏数为( )
A. 12 B. 24 C. 48 D. 96
2. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还粟( )
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
二、 多项选择题
3. 一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下．设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下列结论中正确的是( )
A. Sn<500
B. Sn≤500
C. Sn的最小值为
D. Sn的最大值为400
4. 计算机病毒危害很大，它一直是计算机学家研究的对象．当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件．计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0，即一个病毒文件在一分钟内平均传染的文件数．某计算机病毒的传染指数C0＝2，若一台计算机有105个可能被感染的文件，若该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态．该计算机现只有一个病毒文件，若未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是( )
A. 在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件
B. 经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件
C. 10分钟后，该计算机处于瘫痪状态
D. 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列
三、 填空题
5. 某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的每个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞________个．
6. 杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1，…，记作数列{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则S68＝________．
四、 解答题
7. 科学研究表明：轿车每行驶3 000 km就要排放1 t二氧化碳，林木每生长1 m3，平均可吸收1.8 t二氧化碳．
(1) 若某轿车第一年行驶12 000km，以后行驶的路程逐年增加1 000 km，且轿车使用10年，则共排放二氧化碳多少吨？
(2) 若种植的林木第一年生长了1 m3，以后每年以10%的生长速度递增，则林木至少生长多少年吸收的二氧化碳的量相当于该轿车10年排出的二氧化碳的量？
参考答案与解析
1. C 解析：从第1层到塔顶第7层，每层的灯数构成一个等比数列，公比为，前7项和为381，则S7＝＝381，解得a1＝192，则第三层灯的盏数a3＝192×＝48.
2. D 解析：由题意，得5斗＝50升．设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为a1，a2，a3，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，解得a1＝，所以马主人要偿还的量为a2＝2a1＝.
3. AC 解析：由题意知，第一次着地时，S1＝100；第二次着地时，S2＝100＋200×；第三次着地时，S3＝100＋200×＋200×；…；第n次着地时，Sn＝100＋200×＋200×＋…＋200×，则Sn＝100＋200[＋()2＋…＋()n－1]＝100＋400，显然 Sn<500，又Sn是关于n的增函数，n≥2，故当n＝2时，Sn有最小值为100＋＝.故选AC.
4. ABC 解析：设第n＋1分钟内新感染的文件数为an＋1，前n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn，则an＋1＝2(Sn＋1)，且a1＝2.由an＋1＝2(Sn＋1)可得an＝2(Sn－1＋1)，两式相减，得an＋1－an＝2an，所以an＋1＝3an，所以每分钟内新感染的病毒文件数构成以a1＝2为首项，3为公比的等比数列，所以an＝2×3n－1，在第3分钟内，该计算机新感染了a3＝2×33－1＝18(个)文件，故A正确；经过5分钟，该计算机共有1＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋＝243(个)病毒文件，故B正确；10分钟后，计算机感染病毒的文件总数为1＋a1＋a2＋…＋a10＝1＋＝310>×105，所以计算机处于瘫痪状态，故C正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故D错误．故选ABC.
5. 7 解析：设最初有细胞a个．因为每小时有2个死亡，余下的每个分裂成2个，所以经过1个小时细胞有a1＝(a－2)·2＝2a－22(个)，经过2个小时细胞有a2＝(a1－2)·2＝[(2a－22)－2]·2＝22a－23－22(个)，…，经过8个小时细胞有a8＝28a－29－28－…－22(个)．又a8＝772，所以28a－29－28－…－22＝772，28a－4(28－1)＝772，解得a＝7，所以最初有细胞 7个．
6. 2 059 解析：在杨辉三角形中前11行共有1＋2＋3＋…＋11＝66(个)数，其和为20＋21＋22＋…＋210＝2 047，第12行还有2个数，它们是1和11，其和为12，所以S68＝2 047＋12＝2 059.
7. (1) 记第一年轿车排出的二氧化碳的吨数为a1，则a1＝＝4，
由题意，得a2＝＝，…，
显然其构成首项为a1＝4，公差为d＝a2－a1＝的等差数列，
所以10年共排放二氧化碳的量为S10＝10×4＋×＝55(t)．
(2) 记第一年林木生长吸收二氧化碳的吨数为b1，则b1＝1×1.8＝1.8，
又b2＝1×(1＋10%)×1.8，b3＝1×(1＋10%)2×1.8，…，
显然其构成首项为b1＝1.8，公比为q＝1.1的等比数列．
设其前n项和为Tn，据题意有Tn＝＝18×(1.1n－1)≥55，
解得n≥15.
故林木至少生长15年吸收的二氧化碳的量相当于该轿车10年排出的二氧化碳的量．
一、 单项选择题
1. 在明朝程大位所著的《算法统宗》中，有这样一首歌谣：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问层三几盏灯？这首歌谣描述的是浮屠，现称宝塔．这首歌谣的意思是：有一座7层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，宝塔上共有381盏灯，这个宝塔第3层灯的盏数为多少？该问题中宝塔第3层灯的盏数为( )
A. 12 B. 24 C. 48 D. 96
2. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还粟( )
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
二、 多项选择题
3. 一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下．设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下列结论中正确的是( )
A. Sn<500
B. Sn≤500
C. Sn的最小值为
D. Sn的最大值为400
4. 计算机病毒危害很大，它一直是计算机学家研究的对象．当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件．计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0，即一个病毒文件在一分钟内平均传染的文件数．某计算机病毒的传染指数C0＝2，若一台计算机有105个可能被感染的文件，若该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态．该计算机现只有一个病毒文件，若未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是( )
A. 在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件
B. 经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件
C. 10分钟后，该计算机处于瘫痪状态
D. 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列
三、 填空题
5. 某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的每个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞________个．
6. 杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1，…，记作数列{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则S68＝________．
四、 解答题
7. 科学研究表明：轿车每行驶3 000 km就要排放1 t二氧化碳，林木每生长1 m3，平均可吸收1.8 t二氧化碳．
(1) 若某轿车第一年行驶12 000km，以后行驶的路程逐年增加1 000 km，且轿车使用10年，则共排放二氧化碳多少吨？
(2) 若种植的林木第一年生长了1 m3，以后每年以10%的生长速度递增，则林木至少生长多少年吸收的二氧化碳的量相当于该轿车10年排出的二氧化碳的量？
参考答案与解析
1. C 解析：从第1层到塔顶第7层，每层的灯数构成一个等比数列，公比为，前7项和为381，则S7＝＝381，解得a1＝192，则第三层灯的盏数a3＝192×＝48.
2. D 解析：由题意，得5斗＝50升．设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为a1，a2，a3，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，解得a1＝，所以马主人要偿还的量为a2＝2a1＝.
3. AC 解析：由题意知，第一次着地时，S1＝100；第二次着地时，S2＝100＋200×；第三次着地时，S3＝100＋200×＋200×；…；第n次着地时，Sn＝100＋200×＋200×＋…＋200×，则Sn＝100＋200[＋()2＋…＋()n－1]＝100＋400，显然 Sn<500，又Sn是关于n的增函数，n≥2，故当n＝2时，Sn有最小值为100＋＝.故选AC.
4. ABC 解析：设第n＋1分钟内新感染的文件数为an＋1，前n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn，则an＋1＝2(Sn＋1)，且a1＝2.由an＋1＝2(Sn＋1)可得an＝2(Sn－1＋1)，两式相减，得an＋1－an＝2an，所以an＋1＝3an，所以每分钟内新感染的病毒文件数构成以a1＝2为首项，3为公比的等比数列，所以an＝2×3n－1，在第3分钟内，该计算机新感染了a3＝2×33－1＝18(个)文件，故A正确；经过5分钟，该计算机共有1＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋＝243(个)病毒文件，故B正确；10分钟后，计算机感染病毒的文件总数为1＋a1＋a2＋…＋a10＝1＋＝310>×105，所以计算机处于瘫痪状态，故C正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故D错误．故选ABC.
5. 7 解析：设最初有细胞a个．因为每小时有2个死亡，余下的每个分裂成2个，所以经过1个小时细胞有a1＝(a－2)·2＝2a－22(个)，经过2个小时细胞有a2＝(a1－2)·2＝[(2a－22)－2]·2＝22a－23－22(个)，…，经过8个小时细胞有a8＝28a－29－28－…－22(个)．又a8＝772，所以28a－29－28－…－22＝772，28a－4(28－1)＝772，解得a＝7，所以最初有细胞 7个．
6. 2 059 解析：在杨辉三角形中前11行共有1＋2＋3＋…＋11＝66(个)数，其和为20＋21＋22＋…＋210＝2 047，第12行还有2个数，它们是1和11，其和为12，所以S68＝2 047＋12＝2 059.
7. (1) 记第一年轿车排出的二氧化碳的吨数为a1，则a1＝＝4，
由题意，得a2＝＝，…，
显然其构成首项为a1＝4，公差为d＝a2－a1＝的等差数列，
所以10年共排放二氧化碳的量为S10＝10×4＋×＝55(t)．
(2) 记第一年林木生长吸收二氧化碳的吨数为b1，则b1＝1×1.8＝1.8，
又b2＝1×(1＋10%)×1.8，b3＝1×(1＋10%)2×1.8，…，
显然其构成首项为b1＝1.8，公比为q＝1.1的等比数列．
设其前n项和为Tn，据题意有Tn＝＝18×(1.1n－1)≥55，
解得n≥15.
故林木至少生长15年吸收的二氧化碳的量相当于该轿车10年排出的二氧化碳的量．