苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4．4.1 数学归纳法(1)课时小练（有解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4．4.1 数学归纳法(1)课时小练（有解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 16.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-13 10:59:55 | ||
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文档简介
4．4.1 数学归纳法(1)
一、 单项选择题
1. 利用数学归纳法证明f(n)＝1＋2＋3＋…＋(3n＋1)(n∈N*)时，第一步应证明( )
A. f(2)＝1＋2 B. f(1)＝1
C. f(1)＝1＋2＋3 D. f(1)＝1＋2＋3＋4
2. 用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N?)”，在验证n＝1是否成立时，左边应该是( )
A. 1 B. 1＋a
C. 1＋a＋a2 D. 1＋a＋a2＋a3
3. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)，从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为( )
A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D.
4. 已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>，n∈N*时，从假设n＝k推证n＝k＋1成立时，需在左边的表达式上多加的项数为( )
A. 2k－1 B. 2k C. 2k＋1 D. 1
二、 多项选择题
5. 对于数学归纳法，下列说法中正确的是( )
A. 用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立
B. 数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明
C. 证明当n＝k＋1时命题成立用到归纳假设，即n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立
D. 不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项
6. 已知关于自然数n的命题P(n)，由P(k)成立可以推出P(k＋1)成立，若P(6)不成立，则下列结论中不正确的是( )
A. P(7)一定不成立
B. P(5)可能成立
C. P(2)一定不成立
D. P(4)不一定成立
三、 填空题
7. 用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n>n2”，验证不等式成立的第一步所取的第一个n0的最小值是________．
8. 用数学归纳法证明“当n∈N*时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为____________________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是____________________.
四、 解答题
9. 用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·.
10. 是否存在常数a，b，c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1. D 解析：n的初始值应为1，而f(1)＝1＋2＋3＋4.
2. C 解析：用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N?)”，在验证n＝1时，把n＝1代入，左边＝1＋a＋a2.
3. B 解析：当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·[2(2k＋1)]，所以从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为2(2k＋1)．
4. B 解析：当n＝k时，f(2k)＝1＋＋＋…＋，共有2k项．当n＝k＋1时，f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋，共有2k＋1项，需在左边的表达式上多加的项数为2k＋1－2k＝2k.
5. BC
6. ABD 解析：由P(6)不成立，无法得出P(7)是否成立，故A不正确；P(5)一定不成立，否则P(6)成立，故B不正确；P(2)一定不成立，否则P(6)成立，故C正确；由B，C可知P(4)一定不成立，故D不正确．故选ABD.
7. 5 解析：当n＝2，3，4时，2n>n2不成立；当n≥5时，有2n>n2，故验证不等式成立的第一步所取的第一个值n0最小是5.
8. 1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24.从n＝k到n＝k＋1时需增添25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4.
9. ①当n＝1时，左边＝1，右边＝(－1)0×＝1，
所以等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，
即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·，
则当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k·[2(k＋1)－k]
＝(－1)k·(k＋2)
＝(－1)k＋1－1·，
即当n＝k＋1时，等式也成立．
综上，对任意n∈N*，等式都成立．
10. 假设存在a，b，c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立．
当n＝1时，a(b＋c)＝1；
当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；
当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.
联立上述三个等式，解得a＝，b＝2c，c≠0.
令c＝1，则a＝，b＝2.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由上述知等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)，
则当n＝k＋1时，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12
＝k(2k2＋1)＋k2＋(k＋1)2
＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
综上，存在a＝，b＝2，c＝1，使不等式对一切n∈N*都成立．
一、 单项选择题
1. 利用数学归纳法证明f(n)＝1＋2＋3＋…＋(3n＋1)(n∈N*)时，第一步应证明( )
A. f(2)＝1＋2 B. f(1)＝1
C. f(1)＝1＋2＋3 D. f(1)＝1＋2＋3＋4
2. 用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N?)”，在验证n＝1是否成立时，左边应该是( )
A. 1 B. 1＋a
C. 1＋a＋a2 D. 1＋a＋a2＋a3
3. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)，从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为( )
A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D.
4. 已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>，n∈N*时，从假设n＝k推证n＝k＋1成立时，需在左边的表达式上多加的项数为( )
A. 2k－1 B. 2k C. 2k＋1 D. 1
二、 多项选择题
5. 对于数学归纳法，下列说法中正确的是( )
A. 用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立
B. 数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明
C. 证明当n＝k＋1时命题成立用到归纳假设，即n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立
D. 不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项
6. 已知关于自然数n的命题P(n)，由P(k)成立可以推出P(k＋1)成立，若P(6)不成立，则下列结论中不正确的是( )
A. P(7)一定不成立
B. P(5)可能成立
C. P(2)一定不成立
D. P(4)不一定成立
三、 填空题
7. 用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n>n2”，验证不等式成立的第一步所取的第一个n0的最小值是________．
8. 用数学归纳法证明“当n∈N*时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为____________________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是____________________.
四、 解答题
9. 用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·.
10. 是否存在常数a，b，c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1. D 解析：n的初始值应为1，而f(1)＝1＋2＋3＋4.
2. C 解析：用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N?)”，在验证n＝1时，把n＝1代入，左边＝1＋a＋a2.
3. B 解析：当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·[2(2k＋1)]，所以从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为2(2k＋1)．
4. B 解析：当n＝k时，f(2k)＝1＋＋＋…＋，共有2k项．当n＝k＋1时，f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋，共有2k＋1项，需在左边的表达式上多加的项数为2k＋1－2k＝2k.
5. BC
6. ABD 解析：由P(6)不成立，无法得出P(7)是否成立，故A不正确；P(5)一定不成立，否则P(6)成立，故B不正确；P(2)一定不成立，否则P(6)成立，故C正确；由B，C可知P(4)一定不成立，故D不正确．故选ABD.
7. 5 解析：当n＝2，3，4时，2n>n2不成立；当n≥5时，有2n>n2，故验证不等式成立的第一步所取的第一个值n0最小是5.
8. 1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24.从n＝k到n＝k＋1时需增添25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4.
9. ①当n＝1时，左边＝1，右边＝(－1)0×＝1，
所以等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，
即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·，
则当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k·[2(k＋1)－k]
＝(－1)k·(k＋2)
＝(－1)k＋1－1·，
即当n＝k＋1时，等式也成立．
综上，对任意n∈N*，等式都成立．
10. 假设存在a，b，c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立．
当n＝1时，a(b＋c)＝1；
当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；
当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.
联立上述三个等式，解得a＝，b＝2c，c≠0.
令c＝1，则a＝，b＝2.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由上述知等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)，
则当n＝k＋1时，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12
＝k(2k2＋1)＋k2＋(k＋1)2
＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
综上，存在a＝，b＝2，c＝1，使不等式对一切n∈N*都成立．