苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4．4.2　数学归纳法(2)课时小练（有解析）

4．4.2　数学归纳法(2)
一、 单项选择题
1. 用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N?)时，初始值n应等于(　　)
A. 1 B. 4 C. 5 D. 6
2. 用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的变化情况为(　　)
A. 增加
B. 增加 ＋
C. 增加＋，减少
D. 增加，减少
3. 对于不等式①当n＝1时，<1＋1，不等式成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即则上述证法(　　)
A. 过程全部正确
B. n＝1验得不正确
C. 归纳假设不正确
D. 从n＝k到n＝k＋1的证明过程不正确
4. 用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)时，第二步证明中“从k到k＋1”左边增加的项数是(　　)
A. 2k＋1 B. 2k－1 C. 2k－1 D. 2k
二、 多项选择题
5. 下列四个判断中，错误的是(　　)
A. 式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，原式的值为1
B. 式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时，原式的值为1＋k
C. 式子1＋＋＋…＋(n∈N*)中，当n＝1时，原式的值为1＋＋
D. 设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋　
6. 设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题中不一定成立的是(　　)
A. 若f(1)<2成立，则f(10)<11成立
B. 若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立
C. 若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立
D. 若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立
三、 填空题
7. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)，第一步要证的不等式是____________．
8. 在用数学归纳法证明＋＋＋＋…＋<1(n≥2，且n∈N*)时，第二步由n＝k到n＝k＋1，不等式左端的变化是增加了______________，减少了________.
四、 解答题
9. 用数学归纳法证明：＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)．
10. 已知数列{an}满足an＝3n－2，函数f(n)＝＋＋…＋，g(n)＝f(n2)－f(n－1)，n∈N*.求证：
(1) g(2)>；
(2) 当n≥3时，g(n)>.
参考答案与解析
1. D　解析：当n＝1时，21<(1＋1)2；当n＝2时，22<(2＋1)2；当n＝3时，23<(3＋1)2；当n＝4时，24<(4＋1)2；当n＝5时，25<(5＋1)2；当n＝6时，26>(6＋1)2；当n≥6时，2n>(n＋1)2(n∈N?)，所以用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n应等于6.
2. C　解析：当n＝k时，左边＝＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＝(＋＋…＋)－＋＋，增加了＋，减少了.
3. D　解析：在n＝k＋1时，没有用到n＝k时的假设，所以从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．
4. D　解析：当n＝k时，左边＝1＋＋＋…＋，易知分母为连续正整数，所以共有2k－1项；当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋，共有2k＋1－1项，所以“从k到k＋1”左边增加的项数是2k＋1－1－(2k－1)＝2k.
5. ABD　解析：A中，当n＝1时，原式为1＋k，故A错误；B中，当n＝1时，原式为1，故B错误；C正确；D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－，故D错误．故选ABD.
6. ABC　解析：当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果当k＝4时，f(4)≥5成立，那么当k≥4时，f(k)≥k＋1也成立，故D正确，A，B，C错误．故选ABC.
7. 1＋＋<2　解析：由题意，得应先证明n＝2时不等式成立，即第一步要证1＋＋<2.
8. ＋　　解析：当n＝k时，不等式左端为＋＋…＋，当n＝k＋1时，不等式左端为＋…＋＋＋，对比两式可得结论.
9. ①当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝.
因为<，所以不等式成立；
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即＋＋＋…＋<1－成立，
则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋<1－＋＝1－＝1－<1－＝1－，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．
10. (1) 由题意知an＝3n－2，
g(n)＝＋＋＋…＋，
当n＝2时，g(2)＝＋＋＝＋＋＝>.
(2) 用数学归纳法加以证明：
①当n＝3时，g(3)＝＋＋＋…＋＝＋＋＋＋＋＋
＝＋＋
>＋＋
＝＋＋>＋＋>.
所以当n＝3时，结论成立．
②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，结论成立，即
g(k)>，
则当n＝k＋1时，
g(k＋1)＝g(k)＋＋＋…＋－
>＋
>＋－
＝＋
＝＋，
由k≥3可知，3k2－7k－3>0，即g(k＋1)>.
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
综合①②可得，当n≥3时，g(n)>.