苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列补充1数列的通项与求和（1）课时小练（有解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列补充1数列的通项与求和（1）课时小练（有解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 22.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-13 11:00:23 | ||
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文档简介
补充1 数列的通项与求和(1)
一、 单项选择题
1. 已知数列{an}满足an＝，则{an}的前10项和S10为( )
A. B. C. D.
2. 已知等差数列{an}满足a3＝10，a7＝22，则数列{(－1)n＋1·an}的前40项和为( )
A. －60 B. 60 C. －120 D. 120
3. 若数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋5n＋6，则{bn}的前10项和为( )
A. B. C. D.
4. 已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝3，n∈N*，则数列{ban}的前10项和为( )
A. ×(310－1) B. ×(910－1)
C. ×(279－1) D. ×(2710－1)
5. 设Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝，an＋1＝1－，则S2 021的值为( )
A. B. 1 009 C. D. 1 010
6. 数列1，，，，，，…，，，，…，，… 的前25项和为( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7. (2021·汉中月考)埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国．古埃及人的分数运算奇怪且复杂，采用的思路可以说是世界上独一无二的．古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫作埃及分数，或者叫作单分子分数．埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和正确的是( )
A. ＋＋＋＋＋＝
B. ＋＋＋…＋＝
C. ＋＋＝
D. ＋＋…＋＝
8. (2021·长沙第一中学月考)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝6，nan＋1＝λ(n＋1)an，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论中正确的有( )
A. λ＝2
B. 数列是等差数列
C. 数列是等差数列
D. Sn＝
三、 填空题
9. 已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn＝________．
10. 已知在数列{an}中，其前n项和为Sn，an＝则S9＝________．
11. (2021·广东华附月考)已知集合M＝{1，2，3，4，5，6，7}，对它的非空子集A，可将A中的每一个元素k都乘以(－1)k再求和(如A＝{2，3，5}，可求得和为：2×(－1)2＋3×(－1)3＋5×(－1)5＝－6)，则对M的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是________．
12. 已知公差为d的等差数列{an}满足d>0，且a2是a1，a4的等比中项，记bn＝a2n(n∈N*)，则对任意的正整数n均有＋＋…＋<2，则公差d的取值范围是________．
四、 解答题
13. 已知数列1，1＋，1＋＋，1＋＋＋，…，1＋＋＋…＋，…，求该数列的前n项和Sn.
14. 已知正项数列{an}满足a1＝1，＝4，数列{bn}满足＝＋，记{bn}的前n项和为Tn，求T20.
参考答案与解析
1. D 解析：由题意，得an＝，故S10＝×(1－＋－＋－＋…＋－＋－)＝×＝.
2. A 解析：设等差数列{an}的公差为d，则a7－a3＝4d＝12，解得d＝3，则{(－1)n＋1·an}的前40项和为a1－a2＋a3－a4＋…＋a39－a40＝－20d＝－60.
3. D 解析：因为anbn＝1，an＝n2＋5n＋6，所以bn＝＝－，故{bn}的前10项和为－＋－＋…＋－＝－＝.
4. D 解析：因为an＋1－an＝＝3，所以{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且公差，公比均为3，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2，bn＝1×3n－1＝3n－1，所以ban＝33n－3＝27n－1，易知{ban}是以1为首项，27为公比的等比数列，所以前10项和为＝×(2710－1)．
5. B 解析：在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，则a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，可知数列{an}是以3为周期的周期数列，所以S2 021＝673S3＋a1＋a2＝674S3－a3＝674×－2＝1 009.
6. B 解析：因为1＋2＋3＋…＋6＝＝21，所以数列的前25项和为1＋＋＋＋＋＋…＋＋＋…＋＋＋＋＋＝1＋＋＋…＋(＋＋…＋)＋＝1＋＋＋＋＋＋＝.
7. ACD 解析：对于A，＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＝＝，故A正确；对于B，因为＝＝，所以＋＋＋…＋＝×(1－＋－＋－＋…＋－)＝×＝，故B错误；对于C，＋＋＝＋＝，故C正确；对于D，＝＝＝－，所以＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝，故D正确．故选ACD.
8. CD 解析：当n＝1时，a2＝2λa1，又a1＝1，a2＝6，所以λ＝3，故A错误；nan＋1＝3(n＋1)an，即＝，又＝1≠0，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，故B错误；由＝3n－1，得 an＝n·3n－1，则＝，所以数列是等差数列，故C正确；因为Sn＝1＋2×3＋3×32＋…＋n·3n－1，所以3Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，所以－2Sn＝1＋3＋32＋33＋…＋3n－1－n·3n＝－n×3n，所以Sn＝，故D正确．故选CD.
9. n2＋1－ 解析：利用分组求和可得Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝＋＝n2＋1－.
10. 377 解析：an＝则S9＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15)＝＋36＝341＋36＝377.
11. －256 解析：因为集合M＝{1，2，3，4，5，6，7}，那么每个元素在集合M的所有非空子集中分别出现26个，则对M的所有非空子集中元素k执行乘以(－1)k，再求和操作，则这些和的总和是26[(－1)1×1＋(－1)2×2＋(－1)3×3＋(－1)4×4＋(－1)5×5＋(－1)6×6＋(－1)7×7]＝－256.
12. 解析：由题意，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，解得a1＝d>0，所以an＝nd，所以bn＝a2n＝2n·d，所以＋＋…＋＝(＋＋…＋)＝<≤2，所以d≥，故公差d的取值范围是.
13. 因为 an＝1＋＋＋…＋＝＝2，
所以an＝2－，
则原数列可以表示为2－1，2－，2－，2－，…，2－，…，
故前n项和Sn＝(2－1)＋＋(2－)＋…＋＝2n－(1＋＋＋…＋)＝2n－2＝＋2n－2.
14. 由条件知－＝4，
则是首项为1，公差为4的等差数列，
所以＝4n－3.
又{an}为正项数列，所以＝，
所以＝＋，
所以bn＝＝(－)，
故T20＝b1＋b2＋…＋b20＝×[(－1)＋(－)＋…＋(－)]＝×(－1)＝2.
一、 单项选择题
1. 已知数列{an}满足an＝，则{an}的前10项和S10为( )
A. B. C. D.
2. 已知等差数列{an}满足a3＝10，a7＝22，则数列{(－1)n＋1·an}的前40项和为( )
A. －60 B. 60 C. －120 D. 120
3. 若数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋5n＋6，则{bn}的前10项和为( )
A. B. C. D.
4. 已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝3，n∈N*，则数列{ban}的前10项和为( )
A. ×(310－1) B. ×(910－1)
C. ×(279－1) D. ×(2710－1)
5. 设Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝，an＋1＝1－，则S2 021的值为( )
A. B. 1 009 C. D. 1 010
6. 数列1，，，，，，…，，，，…，，… 的前25项和为( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7. (2021·汉中月考)埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国．古埃及人的分数运算奇怪且复杂，采用的思路可以说是世界上独一无二的．古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫作埃及分数，或者叫作单分子分数．埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和正确的是( )
A. ＋＋＋＋＋＝
B. ＋＋＋…＋＝
C. ＋＋＝
D. ＋＋…＋＝
8. (2021·长沙第一中学月考)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝6，nan＋1＝λ(n＋1)an，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论中正确的有( )
A. λ＝2
B. 数列是等差数列
C. 数列是等差数列
D. Sn＝
三、 填空题
9. 已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn＝________．
10. 已知在数列{an}中，其前n项和为Sn，an＝则S9＝________．
11. (2021·广东华附月考)已知集合M＝{1，2，3，4，5，6，7}，对它的非空子集A，可将A中的每一个元素k都乘以(－1)k再求和(如A＝{2，3，5}，可求得和为：2×(－1)2＋3×(－1)3＋5×(－1)5＝－6)，则对M的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是________．
12. 已知公差为d的等差数列{an}满足d>0，且a2是a1，a4的等比中项，记bn＝a2n(n∈N*)，则对任意的正整数n均有＋＋…＋<2，则公差d的取值范围是________．
四、 解答题
13. 已知数列1，1＋，1＋＋，1＋＋＋，…，1＋＋＋…＋，…，求该数列的前n项和Sn.
14. 已知正项数列{an}满足a1＝1，＝4，数列{bn}满足＝＋，记{bn}的前n项和为Tn，求T20.
参考答案与解析
1. D 解析：由题意，得an＝，故S10＝×(1－＋－＋－＋…＋－＋－)＝×＝.
2. A 解析：设等差数列{an}的公差为d，则a7－a3＝4d＝12，解得d＝3，则{(－1)n＋1·an}的前40项和为a1－a2＋a3－a4＋…＋a39－a40＝－20d＝－60.
3. D 解析：因为anbn＝1，an＝n2＋5n＋6，所以bn＝＝－，故{bn}的前10项和为－＋－＋…＋－＝－＝.
4. D 解析：因为an＋1－an＝＝3，所以{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且公差，公比均为3，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2，bn＝1×3n－1＝3n－1，所以ban＝33n－3＝27n－1，易知{ban}是以1为首项，27为公比的等比数列，所以前10项和为＝×(2710－1)．
5. B 解析：在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，则a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，可知数列{an}是以3为周期的周期数列，所以S2 021＝673S3＋a1＋a2＝674S3－a3＝674×－2＝1 009.
6. B 解析：因为1＋2＋3＋…＋6＝＝21，所以数列的前25项和为1＋＋＋＋＋＋…＋＋＋…＋＋＋＋＋＝1＋＋＋…＋(＋＋…＋)＋＝1＋＋＋＋＋＋＝.
7. ACD 解析：对于A，＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＝＝，故A正确；对于B，因为＝＝，所以＋＋＋…＋＝×(1－＋－＋－＋…＋－)＝×＝，故B错误；对于C，＋＋＝＋＝，故C正确；对于D，＝＝＝－，所以＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝，故D正确．故选ACD.
8. CD 解析：当n＝1时，a2＝2λa1，又a1＝1，a2＝6，所以λ＝3，故A错误；nan＋1＝3(n＋1)an，即＝，又＝1≠0，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，故B错误；由＝3n－1，得 an＝n·3n－1，则＝，所以数列是等差数列，故C正确；因为Sn＝1＋2×3＋3×32＋…＋n·3n－1，所以3Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，所以－2Sn＝1＋3＋32＋33＋…＋3n－1－n·3n＝－n×3n，所以Sn＝，故D正确．故选CD.
9. n2＋1－ 解析：利用分组求和可得Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝＋＝n2＋1－.
10. 377 解析：an＝则S9＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15)＝＋36＝341＋36＝377.
11. －256 解析：因为集合M＝{1，2，3，4，5，6，7}，那么每个元素在集合M的所有非空子集中分别出现26个，则对M的所有非空子集中元素k执行乘以(－1)k，再求和操作，则这些和的总和是26[(－1)1×1＋(－1)2×2＋(－1)3×3＋(－1)4×4＋(－1)5×5＋(－1)6×6＋(－1)7×7]＝－256.
12. 解析：由题意，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，解得a1＝d>0，所以an＝nd，所以bn＝a2n＝2n·d，所以＋＋…＋＝(＋＋…＋)＝<≤2，所以d≥，故公差d的取值范围是.
13. 因为 an＝1＋＋＋…＋＝＝2，
所以an＝2－，
则原数列可以表示为2－1，2－，2－，2－，…，2－，…，
故前n项和Sn＝(2－1)＋＋(2－)＋…＋＝2n－(1＋＋＋…＋)＝2n－2＝＋2n－2.
14. 由条件知－＝4，
则是首项为1，公差为4的等差数列，
所以＝4n－3.
又{an}为正项数列，所以＝，
所以＝＋，
所以bn＝＝(－)，
故T20＝b1＋b2＋…＋b20＝×[(－1)＋(－)＋…＋(－)]＝×(－1)＝2.