苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列补充2数列的通项与求和（2）课时小练（有解析）

补充2　数列的通项与求和(2)
一、 单项选择题
1. 推测数列1，3，7，15，…的一个通项公式是(　　)
A. an＝2n B. an＝2n＋1 C. an＝2n＋1 D. an＝2n－1
2. 在数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5的值为(　　)
A. －3 B. －11 C. －5 D. 19
3. 已知在正项数列{an}中，＋＋…＋＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　(　　)
A. an＝n B. an＝n2 C. an＝ D. an＝
4. 已知在数列{an}中，a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，则数列{an}的通项公式为(　　)
A. an＝n
B. an＝n＋1
C. an＝
D. an＝
5. 已知在数列{an}中，a1＝2，且an＋an－1＝＋2(n≥2)，则数列的前2 019项和为(　　)
A. B. C. D.
6. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论中正确的是(　　)
A. 若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则a20＝211
B. 若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则a7＝1 457
C. 若Sn＝3n＋，则数列{an}是等比数列
D. 若a1＝1，an＋1＝，则a15＝
8. (2021·保定部分学校月考)意大利著名数学家裴波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，….该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{an}称为裴波那契数列，现将{an}中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{bn}，则下列结论中正确的是(　　)
A. b2 021＝1
B. b1＋b2＋b3＋…b2 021＝2 694
C. a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝a2 023－1
D. a＋a＋a＋…＋a＝a2 021a2 022
三、 填空题
9. 已知数列{an}满足a1＝1，若－＝4n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．
10. 已知数列{an}满足a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是 an＝________．
11. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是an＝________．
12. 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＋an＝2－－1(n为正整数)，则数列{an}的通项公式是an＝________．
四、 解答题
13. 已知在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，求数列{an}的通项公式．
14. (1) 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n.设bn＝.证明：数列{bn}为等差数列，并求{an}的通项公式；
(2) 设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n，设bn＝an＋3.求证：数列{bn}是等比数列，并求{an}的通项公式．
参考答案与解析
1. D　解析：经过观察，1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…，故推测an＝2n－1.
2. D　解析：由题意，得a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19.
3. B　解析：由题意，得＝－＝n，n≥2.又＝1，所以＝n(n∈N*)，所以an＝n2.
4. D　解析：令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，所以an＋1－an＝n＋1，所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，所以an－1＝2＋3＋4＋…＋n，所以an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
5. B　解析：因为an＋an－1＝＋2(n≥2)，所以a－a－2(an－an－1)＝n，整理得(an－1)2－(an－1－1)2＝n，所以(an－1)2－(a1－1)2＝n＋(n－1)＋…＋2.又a1＝2，所以(an－1)2＝，则＝＝2，故数列的前2 019项和为2×(1－＋－＋…＋－)＝2×(1－)＝.
6. B　解析：由题意，得an＋1－an＝－，a1＝1，则a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－an－1＝－(n≥2)，以上各式相加，得an－1＝1－＋－＋…＋－，所以an＝(n≥2)．因为a1＝1也适合上式，所以an＝.
7. AB　解析：对于A，由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1，则a20＝(a20－a19)＋(a19－a18)＋(a18－a17)＋…＋(a2－a1)＋a1＝20＋19＋18＋…＋2＋2＝211，故A正确；对于B，由an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)，所以数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，3为公比的等比数列，则an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1，所以a7＝2×36－1＝1 457，故B正确；对于C，由Sn＝3n＋，可得当n＝1时，a1＝3＋＝；当n＝2时，a2＝S2－S1＝(9＋)－＝6；当n＝3时，a3＝S3－S2＝－＝18，显然a≠a1a3，所以数列{an}不是等比数列，故C错误；对于D，由an＋1＝，可得－＝，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)＝，则＝＝8，即a15＝，故D错误．故选AB.
8. ACD　解析：因为b1＝1，b2＝1，b3＝2，b4＝3，b5＝1，b6＝0，b7＝1，b8＝1，…，所以{bn}是以6为周期的周期数列，所以b2 021＝b5＝1，所以A正确；因为b1＋b2＋b3＋…＋b2 021＝337×8＝2 696，所以B错误；因为a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(a2 021－a2 020)＋(a2 022－a2 021)＋(a2 023－a2 022)＝a2 023－a2＝a2 023－1，所以C正确；因为a＋a＋a＋…＋a＝a1a2＋a＋a＋…＋a＝a2(a1＋a2)＋a＋…＋a＝a2a3＋a＋…＋a＝…＝a2 021a2 022，所以D正确．故选ACD.
9. 　解析：因为－＝4n，所以当n≥2时，＝＋＋…＋(－)＋＝4n－1＋4n－2＋…＋4＋1＝＝，当n＝1时也成立，所以{an}的通项公式an＝.
10. n　解析：由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1，所以＝，所以数列是常数列，且＝＝1，所以an＝n.
11. 　解析：因为an＋1＝，所以＝·＋，所以－3＝(－3)，所以是以－2为首项，为公比的等比数列，所以－3＝(－2)·，所以an＝.
12. 　解析：由Sn＋an＝2－－1，得Sn＋1＋an＋1＝2－，两式相减，得an＋1－an＋an＋1＝，即an＋1＝an＋.因为Sn＋an＝2－，令n＝1，得a1＝.在an＋1＝an＋中，两端同除以，得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即数列{2nan}是首项为1，公差为1的等差数列，故2nan＝n，所以an＝.
13. 在an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得＝×＋.①
令＝bn，则①式变为bn＋1＝bn＋，则bn＋1－1＝(bn－1)，
所以数列{bn－1}是等比数列，其首项为b1－1＝－1＝－，公比为，
所以bn－1＝×，即bn＝1－×＝，
故an＝5n－3×2n－1.
14. (1) 因为bn＋1－bn＝－＝－＝1，
所以{bn}为等差数列．
又b1＝＝0，
所以bn＝n－1，所以an＝(n－1)·3n＋2n.
(2) 由Sn＝2an－3n对于任意的正整数都成立，得Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，
两式相减，得Sn＋1－Sn＝2an＋1－3(n＋1)－2an＋3n，
所以an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝2an＋3，
所以an＋1＋3＝2(an＋3)，即＝＝2对一切正整数都成立，
所以数列{bn}是等比数列．
由已知，得S1＝2a1－3，所以a1＝3，
所以b1＝a1＋3＝6，所以bn＝6·2n－1，
故an＝6·2n－1－3＝3·2n－3.