苏教版高中数学选择性必修第一册第四章数列复 习 课时小练（有解析）

第四章数列复 习
一、 单项选择题
1. (2021·武安三中月考)已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，a1＝d，则等于(　　)
A. 6 B. C. D. 8
2. (2021·江西智慧上进月考大联考)已知在等比数列{an}中，a3＝5，a7＝15，则a5的值为(　　)
A. 5 B. －5 C. 10 D. ±5
3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1, 则Sn等于(　　)
A. 2n－1 B. C. D.
4. 在a，b中插入n个数，使它们和a，b组成等差数列a，a1，a2，…，an，b，则a1＋a2＋…＋an等于(　　)
A. n(a＋b) B.
C. D.
5. 已知各项均为正数的数列{an}是公差为2的等差数列，若数列1，a1，a4，b1，b2，b3，…，bn，…成等比数列，则的值为(　　)
A. 27 B. 81 C. D.
6. 某养猪场2021年年初猪的存栏数为1 200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从2021年起每年年初的计划存栏数依次为a1，a2，a3，…，则2035年年底存栏数为(参考数据：1.0814≈2.9，1.0815≈3.2，1.0816≈3.4)(　　)
A. 1 005 B. 1 080 C. 1 090 D. 1 105
二、 多项选择题
7. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则下列结论中正确的有(　　)
A. 为等比数列
B. an＝
C. {an}为递增数列
D. 的前n项和Tn＝2n＋2－3n－4
8. (2022·重庆万州二中期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．记Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，则下列说法中正确的是(　　)
A. {an}为等差数列
B. an＝n＋1
C. Sn＝
D. Tn＝
三、 填空题
9. 已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n∈N*，n≥2)，则它的通项公式an＝________．
10. 设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．
11. (2022·石家庄二中期末)已知数列{an}满足a1＝，a1＋a2＋…＋an＝n2·an，则a10＝________．
12. 已知等差数列{an}(n∈N*)，满足a4＝3，a2 020＝2 019，bn＝2an，{bn}的前n项和为Sn，则满足Sn<2 020的n的最大值为________．
四、 解答题
13. (2021·湖北重点中学四校联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝－1.
(1) 证明：数列{bn}为等比数列，并求{bn}的通项公式；
(2) 设cn＝n·bn，求数列{cn}的前n项和Sn.
14. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
(1) 求a2，a3；
(2) 设bn＝a2n－2，求证：数列{bn}是等比数列，并求其通项公式；
(3) 已知cn＝log|bn|，求证：＋＋…＋<1.
参考答案与解析
1. C　解析：＝＝＝＝.
2. A　解析：设等比数列{an}的公比为q，依题意，得a＝a3a7＝75，又a5＝a3q2>0，故a5＝5.
3. B　解析：由a1＝1，Sn＝2an＋1，an＋1＝Sn＋1－Sn，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，＝.又S1＝a1＝1，所以Sn＝.
4. B　解析：由题意，得a＋a1＋a2＋…＋an＋b＝，所以a1＋a2＋…＋an＝.
5. D　解析：由1，a1，a4成等比数列，得a＝1×a4.又因为各项均为正数的数列{an}是公差为2的等差数列，所以a＝1×a4＝a1＋6，解得a1＝3或a1＝－2(舍去)，所以a2＝3＋2＝5.因为数列1，a1，a4，b1，b2，b3，…，bn，…成等比数列，设其公比为q，则q＝＝3，所以b3＝1×35＝243，所以＝.
6. C　解析：由题意，得a1＝1 200，a2＝1 200×1.08－100，a3＝1 200×1.082－100×1.08－100，a4＝1 200×1.083－100×1.082－100×1.08－100，a5＝1 200×1.084－100×1.083－100×1.082－100×1.08－100，…，所以2035年年底存栏数为a16＝1 200×1.0815－100×(1.0814＋1.0813＋1.0812＋…＋1.08＋1)≈1 200×3.2－100×＝1 090.
7. ABD　解析：因为＝＝＋3，所以＋3＝2，又＋3＝4≠0，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，所以＋3＝4×2n－1，即an＝，故A，B正确；由an＝，知{an}为递减数列，故C错误；因为＝2n＋1－3，所以 的前n项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝2(21＋22＋23＋…＋2n)－3n＝2×－3n＝2n＋2－3n－4，故D正确．故选ABD.
8. ACD　解析：由an＋2－2an＋1＋an＝0，得an＋2－an＋1＝an＋1－an，即{an}为等差数列，因为a1＝1，a2＝2，所以an＝n，Sn＝，＝＝2，所以Tn＝＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝，故A，C，D正确，B错误．故选ACD.
9. 　解析：因为an＝， 所以a－a＝1(n∈N*，n≥2)，所以数列{a}为等差数列，所以a＝a＋(n－1)＝n.又an>0，所以an＝.
10. －2　解析：由已知条件，得2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，即2Sn＝2Sn＋2an＋1＋an＋2，即＝－2，所以数列{an}的公比为－2.
11. 　解析：因为a1＋a2＋…＋an＝n2·an，所以a1＋a2＋…＋an－1＝(n－1)2·an－1(n≥2)，两式相减可得an＝n2·an－(n－1)2·an－1(n≥2)，整理得＝＝(n≥2)，所以··…＝×××…×，整理得＝，又a1＝，解得a10＝.
12. 10　解析：等差数列{an}(n∈N*)满足a4＝3，a2 020＝2 019，所以解得a1＝0，d＝1，所以an＝n－1.因为数列bn＝2an，{bn}的前n项和为Sn，所以bn＝2n－1，Sn＝＝2n－1.因为Sn<2 020，所以2n－1<2 020，解得n≤10，所以满足Sn<2 020的n的最大值为10.
13. (1) 因为bn＋1＝－1＝－1＝－1＝－2＝2＝2bn，即bn＋1＝2bn.
又b1＝－1＝1≠0，所以数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝2n－1.
(2) 由(1)，得cn＝n·bn＝n·2n－1，
所以Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，①
2Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②
①－②得－Sn＝1＋21＋22＋23＋…＋2n－1－n·2n
＝－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，
所以Sn＝(n－1)2n＋1.
14. (1) a2＝a1＋1＝，a3＝a2－2×2＝－4＝－.
(2) bn＋1＝a2n＋2－2＝a2n＋1＋(2n＋1)－2＝a2n＋1＋(2n－1)＝(a2n－4n)＋(2n－1)＝a2n－1＝(a2n－2)＝bn.
因为b1＝a2－2＝－，
所以数列{bn}的各项均不为0，
所以数列{bn}是首项为－，公比为的等比数列，
所以bn＝－·＝－.
(3) 由(2)知cn＝log|bn|＝log＝n，
所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－<1.