2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1椭圆及其几何性质复习讲义（无答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1椭圆及其几何性质复习讲义（无答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1009.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-13 08:56:52 | ||
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文档简介
椭圆
知识清单
（1）椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆；这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距，符号表示为：；
（2）椭圆的简单几何性质
焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程
图形
焦点坐标
对称性 关于轴、轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
范围
长轴、短轴 长轴长为，短轴为
离心率 椭圆的焦距与长轴长的比为
（3）点和椭圆的关系：
①在椭圆内； ②在椭圆上；
③在椭圆外；
（4）椭圆焦点三角形的性质：
以椭圆上一点和焦点和为顶点的中，若，则，，；
重要知识点讲解
知识点一：椭圆的定义
【解题指导】
（1）
（2）
（3）两点之间的距离公式；
例题1 下列命题是真命题的是.(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆；
②已知定点，则满足的点的轨迹为线段；
③到定点距离相等的点的轨迹为椭圆；
④若点到定点的距离和等于点到定点的距离和，则点的轨迹为椭圆.
变式1 下列说法中正确的是( )
A．已知，到两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．已知，到两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．到两点的距离之和等于点到的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．到点距离相等的点的轨迹是椭圆
例题2 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为_________；
变式1 如果表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是_________；
变式2 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_________；
知识点二：求椭圆的标准方程
【解题指导】
例题1 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，并且经过点，求椭圆的标准方程.
变式1 已知两个焦点坐标分别是，，椭圆上一点到这两焦点的距离之和为26，求椭圆的标准方程.
例题2 已知椭圆经过点和，求椭圆的标准方程；
变式2 过点，，求椭圆的标准方程.
变式3 经过点的椭圆的标准方程为 .
知识点三：焦点三角形
例题1 如图所示，已知椭圆方程，焦点为是椭圆上一点；（1）当时，求的面积；（2）当.求的面积(用表示)..求的面积(用表示).
变式1 已知椭圆，焦点为，是椭圆上一点，且，求的面积.
变式2 如图所示，已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，求的面积.
知识点四：与椭圆有关的轨迹方程
【解题指导】
例题1 的两个顶点坐标分别是和，另两边的斜率的乘积是，求顶点的轨迹方程.
例题2 如图，为圆上一动点，点坐标为，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹方程.
变式1 如图所示，已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程.
变式2 已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.求的方程.
例题3 椭圆上有动点是椭圆的两个焦点，求的重心的轨迹方程.
变式3 已知点在椭圆上，垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为，并且为线段的中点，求点的轨迹方程；
知识点五：椭圆的简单几何性质
例题1 求椭圆的长轴长、短轴长及顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆；椭圆的面积 60(填“大于”“小于”“等于”).
例题2 椭圆的左、右顶点分别是，左、右焦点分别是.若，成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
变式2 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
例题3 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．8
知识点六：求椭圆的离心率
【解题指导】
例题1 (1)已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段，求其离心率；
(2)已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率.
变式1 已知椭圆；
(1)若长轴长，短轴长，焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为____________.
(2)若长轴长，短轴长，焦距成等比数列，则该椭圆的离心率为____________.
例题2 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，若，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 .
例题3 设椭圆上存在一点，它与椭圆中心的连线和与长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆离心率的取值范围是__________.
变式2 已知是椭圆的两个焦点，满足的点椭圆内部，椭圆离心率取值范围为( )
A. B. C. D.
知识点七：直线与椭圆的位置关系
【解题指导】
已知直线和椭圆；
例题1 对不同实数，讨论直线与椭圆的公共点个数.
变式1 直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
知识点八：弦长公式
【解题指导】
已知直线和椭圆相交于两点；
例题1 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线与该椭圆相交于和两点，若以为直径的圆过原点，且，求椭圆的方程；
变式1 已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，求弦的长.
知识点九：中点弦
【解题指导】
已知直线与椭圆相交于两点，是的中点；
例题1 已知点是直线被椭圆所截得线段的中点，求直线的方程.
变式1 已知椭圆.
(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；
(2)求过点的直线被椭圆截得的弦的中心的轨迹方程；
(3)过点作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.
重要题型讲解
题型一：椭圆定义的应用
例题1 在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，试求的值.
变式1 椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则等于( )
A．2 B．4 C．8 D．
变式2 椭圆的焦点为，点在椭圆上.若，则 ；的大小为 .
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例题1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是6，离心率是；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，在轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
变式1 已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是( )
A． B． C． D．
变式2 已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为( )
A． B． C． D．
变式3 已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 .
变式4 在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为2，离心率为.求椭圆的方程.
题型三：椭圆的离心率
例题1 如图，已知为椭圆的左焦点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，为椭圆上的点，当，(为椭圆中心)时，求椭圆的离心率.
变式1 椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
变式2设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，则的离心率为( )
A． B． C． D．
变式3 已知椭圆的左焦点为，与过原点的直线相交于两点，连接.若，，，则的离心率为( )
A． B． C． D．
重难点讲解
重难点一：对称问题
例题1 已知椭圆，试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称；
课后练习
（1）椭圆及其标准方程
一、选择题
1．平面内有两定点及动点，设命题是：“是定值”，命题乙是：“点的轨迹是以为焦点的椭圆”，那么( )
A．甲是乙成立的充分不必要条件
B．甲是乙成立的必要不充分条件
C．甲是乙成立的充要条件
D．甲是乙成立的非充分非必要条件
2．方程表示的曲线是( )
A．到定点和的距离之和等于5的点的轨迹
B．到定点和的距离之和等于10的点的轨迹
C．到定点和的距离之和等于5的点的轨迹
D．到定点和的距离之和等于10的点的轨迹
3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．焦点在坐标轴上，且的椭圆的标准方程为( )
A． B．
C． D．
5．椭圆的焦点为是椭圆过焦点的弦，则的周长是( )
A．20 B．12 C．10 D．6
6．已知两椭圆与的焦距相等，则的值为( )
A． B． C． D．
二、填空题
7．设是椭圆上的一个点，是椭圆的焦点，如果点到点的距离是4，那么点到点的距离是 .
8．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为 .
9．经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆的标准方程为 .
三、解答题
11．线段的两端分别在轴、轴上滑动，，点是上一点，且，点随线段的运动而变化，求点的轨迹方程.
12．已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，为椭圆上一点，且是和的等差中项.
(1)求椭圆的方程；(2)若的面积为，求点坐标.
（2）椭圆及其标准方程
一、选择题
1．一个椭圆的半焦距为2，离心率，那么它的短轴长是( )
A．3 B． C． D．6
2．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是( )
A． B． C． D．
3．若直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，那么的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在没有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：，点是它的两个焦点，当静止的小球放在点处，从点沿直线出发，经椭圆壁(非椭圆长轴端点)反弹后，再回到点时，小球经过的最短路程是( )
A．20 B．18 C．16 D．以上均有可能
5．椭圆上的点到直线的最大距离是( )
A．3 B． C． D．
二、填空题
6．椭圆的离心率为，则 .
7．若圆与椭圆有公共点，则实数的取值范围是 .
8．已知椭圆内有一点是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点，使的值最小，则的坐标为 .
三、解答题
9．已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程.
10．若椭圆的对称轴为坐标轴，两焦点与短轴的两个端点恰好是正方形的四个顶点，且焦点到同侧长轴端点距离为.(1)求椭圆的方程；(2)求椭圆的离心率.
11．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点作直线与椭圆交于两点，若的面积为，求直线的方程.
知识清单
（1）椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆；这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距，符号表示为：；
（2）椭圆的简单几何性质
焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程
图形
焦点坐标
对称性 关于轴、轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
范围
长轴、短轴 长轴长为，短轴为
离心率 椭圆的焦距与长轴长的比为
（3）点和椭圆的关系：
①在椭圆内； ②在椭圆上；
③在椭圆外；
（4）椭圆焦点三角形的性质：
以椭圆上一点和焦点和为顶点的中，若，则，，；
重要知识点讲解
知识点一：椭圆的定义
【解题指导】
（1）
（2）
（3）两点之间的距离公式；
例题1 下列命题是真命题的是.(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆；
②已知定点，则满足的点的轨迹为线段；
③到定点距离相等的点的轨迹为椭圆；
④若点到定点的距离和等于点到定点的距离和，则点的轨迹为椭圆.
变式1 下列说法中正确的是( )
A．已知，到两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．已知，到两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．到两点的距离之和等于点到的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．到点距离相等的点的轨迹是椭圆
例题2 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为_________；
变式1 如果表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是_________；
变式2 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_________；
知识点二：求椭圆的标准方程
【解题指导】
例题1 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，并且经过点，求椭圆的标准方程.
变式1 已知两个焦点坐标分别是，，椭圆上一点到这两焦点的距离之和为26，求椭圆的标准方程.
例题2 已知椭圆经过点和，求椭圆的标准方程；
变式2 过点，，求椭圆的标准方程.
变式3 经过点的椭圆的标准方程为 .
知识点三：焦点三角形
例题1 如图所示，已知椭圆方程，焦点为是椭圆上一点；（1）当时，求的面积；（2）当.求的面积(用表示)..求的面积(用表示).
变式1 已知椭圆，焦点为，是椭圆上一点，且，求的面积.
变式2 如图所示，已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，求的面积.
知识点四：与椭圆有关的轨迹方程
【解题指导】
例题1 的两个顶点坐标分别是和，另两边的斜率的乘积是，求顶点的轨迹方程.
例题2 如图，为圆上一动点，点坐标为，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹方程.
变式1 如图所示，已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程.
变式2 已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.求的方程.
例题3 椭圆上有动点是椭圆的两个焦点，求的重心的轨迹方程.
变式3 已知点在椭圆上，垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为，并且为线段的中点，求点的轨迹方程；
知识点五：椭圆的简单几何性质
例题1 求椭圆的长轴长、短轴长及顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆；椭圆的面积 60(填“大于”“小于”“等于”).
例题2 椭圆的左、右顶点分别是，左、右焦点分别是.若，成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
变式2 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
例题3 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．8
知识点六：求椭圆的离心率
【解题指导】
例题1 (1)已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段，求其离心率；
(2)已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率.
变式1 已知椭圆；
(1)若长轴长，短轴长，焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为____________.
(2)若长轴长，短轴长，焦距成等比数列，则该椭圆的离心率为____________.
例题2 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，若，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 .
例题3 设椭圆上存在一点，它与椭圆中心的连线和与长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆离心率的取值范围是__________.
变式2 已知是椭圆的两个焦点，满足的点椭圆内部，椭圆离心率取值范围为( )
A. B. C. D.
知识点七：直线与椭圆的位置关系
【解题指导】
已知直线和椭圆；
例题1 对不同实数，讨论直线与椭圆的公共点个数.
变式1 直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
知识点八：弦长公式
【解题指导】
已知直线和椭圆相交于两点；
例题1 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线与该椭圆相交于和两点，若以为直径的圆过原点，且，求椭圆的方程；
变式1 已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，求弦的长.
知识点九：中点弦
【解题指导】
已知直线与椭圆相交于两点，是的中点；
例题1 已知点是直线被椭圆所截得线段的中点，求直线的方程.
变式1 已知椭圆.
(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；
(2)求过点的直线被椭圆截得的弦的中心的轨迹方程；
(3)过点作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.
重要题型讲解
题型一：椭圆定义的应用
例题1 在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，试求的值.
变式1 椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则等于( )
A．2 B．4 C．8 D．
变式2 椭圆的焦点为，点在椭圆上.若，则 ；的大小为 .
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例题1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是6，离心率是；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，在轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
变式1 已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是( )
A． B． C． D．
变式2 已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为( )
A． B． C． D．
变式3 已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 .
变式4 在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为2，离心率为.求椭圆的方程.
题型三：椭圆的离心率
例题1 如图，已知为椭圆的左焦点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，为椭圆上的点，当，(为椭圆中心)时，求椭圆的离心率.
变式1 椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
变式2设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，则的离心率为( )
A． B． C． D．
变式3 已知椭圆的左焦点为，与过原点的直线相交于两点，连接.若，，，则的离心率为( )
A． B． C． D．
重难点讲解
重难点一：对称问题
例题1 已知椭圆，试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称；
课后练习
（1）椭圆及其标准方程
一、选择题
1．平面内有两定点及动点，设命题是：“是定值”，命题乙是：“点的轨迹是以为焦点的椭圆”，那么( )
A．甲是乙成立的充分不必要条件
B．甲是乙成立的必要不充分条件
C．甲是乙成立的充要条件
D．甲是乙成立的非充分非必要条件
2．方程表示的曲线是( )
A．到定点和的距离之和等于5的点的轨迹
B．到定点和的距离之和等于10的点的轨迹
C．到定点和的距离之和等于5的点的轨迹
D．到定点和的距离之和等于10的点的轨迹
3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．焦点在坐标轴上，且的椭圆的标准方程为( )
A． B．
C． D．
5．椭圆的焦点为是椭圆过焦点的弦，则的周长是( )
A．20 B．12 C．10 D．6
6．已知两椭圆与的焦距相等，则的值为( )
A． B． C． D．
二、填空题
7．设是椭圆上的一个点，是椭圆的焦点，如果点到点的距离是4，那么点到点的距离是 .
8．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为 .
9．经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆的标准方程为 .
三、解答题
11．线段的两端分别在轴、轴上滑动，，点是上一点，且，点随线段的运动而变化，求点的轨迹方程.
12．已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，为椭圆上一点，且是和的等差中项.
(1)求椭圆的方程；(2)若的面积为，求点坐标.
（2）椭圆及其标准方程
一、选择题
1．一个椭圆的半焦距为2，离心率，那么它的短轴长是( )
A．3 B． C． D．6
2．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是( )
A． B． C． D．
3．若直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，那么的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在没有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：，点是它的两个焦点，当静止的小球放在点处，从点沿直线出发，经椭圆壁(非椭圆长轴端点)反弹后，再回到点时，小球经过的最短路程是( )
A．20 B．18 C．16 D．以上均有可能
5．椭圆上的点到直线的最大距离是( )
A．3 B． C． D．
二、填空题
6．椭圆的离心率为，则 .
7．若圆与椭圆有公共点，则实数的取值范围是 .
8．已知椭圆内有一点是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点，使的值最小，则的坐标为 .
三、解答题
9．已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程.
10．若椭圆的对称轴为坐标轴，两焦点与短轴的两个端点恰好是正方形的四个顶点，且焦点到同侧长轴端点距离为.(1)求椭圆的方程；(2)求椭圆的离心率.
11．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点作直线与椭圆交于两点，若的面积为，求直线的方程.