2.5直线与圆、圆与圆的位置关系（答案）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( B )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
2、(2022·宿州高三模拟)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是( C )
A．(0，2] B．(1，2]
C．(0，2) D．(1，2)
3、过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( B )
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
4、直线l：x＋y＋4－3a＝0与圆2＋y2＝9相交于A，B两点，则取最小值时，a的值是( D )
A. B．－ C．－ D.
5、已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则下列选项不正确的是( C )
A．圆O与圆M有两条公切线
B．圆O与圆M关于直线AB对称
C．线段AB的长为
D．若E，F分别是圆O与圆M上的点，则|EF|的最大值为4＋
6、若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( A )
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
7、已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则下列选项不正确的是( C )
A．圆O与圆M有两条公切线
B．圆O与圆M关于直线AB对称
C．线段AB的长为
D．若E，F分别是圆O与圆M上的点，则|EF|的最大值为4＋
8、已知直线l：ax－y＋2＝0与圆M：x2＋y2－4y＋3＝0的交点为A，B，点C是圆M上一动点，设点P，则|＋＋|的最大值为( B )
A．9 B．10
C．11 D．12
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9、已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有( AC )
A.直线l恒过定点(3，1)
B.直线l与圆C相切
C.直线l与圆C恒相交
D.直线l与圆C相离
10、已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( ABD )
A.圆M的圆心为(4，－3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.过原点的最短弦长为8
D.圆M被y轴截得的弦长为6
11、直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( AB )
A.0＜m＜1 B.－1＜m＜0
C.m＜1 D.－3＜m＜1
12、已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：y－1＝k(x－3).则以下几个命题正确的有( ABD )
A.直线l恒过定点(3，1)
B.圆C被y轴截得的弦长为4
C.直线l与圆C相交或相切
D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为___x＝3或4x＋3y－15＝0_____．
14、圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为__2______．
15、点P在直线l：x＋y＝2上，过P作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAPB面积的最小值为___1_____．
16、过点P的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，当∠ACB最小时，此时直线l的方程为__x＋y－3＝0 ______，∠ACB＝________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程；
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1).
解 (1)设切线方程为x＋y＋b＝0(b≠－4)，
则＝，∴b＝1±2，
∴切线方程为x＋y＋1±2＝0.
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则＝，∴m＝±5，
∴切线方程为2x＋y±5＝0.
(3)∵kAC＝＝，
∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
18、过x－y－2＝0上一点P(x0，y0)作直线与x2＋y2＝1相切于A，B两点．当x0＝3时，
（1）求切线长|PA|；
（2）当|PO|·|AB|最小时，求x0的值．
解(1)当x0＝3时，y0＝1，即P(3，1)，
所以|PO|＝＝，
|PA|＝＝3；
（2）如图，PO⊥AB，PA⊥OA，PB⊥OB，
所以S四边形OAPB＝|PO|·|AB|＝|OA|·|PA|＋|OB|·|PB|＝|OA|·|PA|＝|PA|，
所以|PO|·|AB|＝2|PA|＝2＝2，
则当OP垂直于直线时，|PO|取得最小值为＝，
此时|PO|·|AB|取得最小值为2，且P的坐标为(1，－1)，即x0＝1.
19、已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．
解：(1)当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，符合题意；
当斜率存在时，设直线l的方程为kx－y－4k－1＝0，则圆心C到直线l的距离＝2，解得k＝－，所以l的方程为3x＋4y－8＝0.
综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.
(2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，圆心到直线l的距离d＝＝.
所以所求弦长为2×＝2.
20、已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，直线l：(3m＋1)x＋(1－m)·y－4＝0.
(1)证明：直线l总与圆C相交；
(2)设直线l与圆C交于E，F两点，求△CEF面积最大时，直线l的方程．
解：(1)证明：因为圆C：x2＋(y－4)2＝4，所以圆心C(0，4)，半径r＝2，
因为直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0，
整理得(3x－y)m＋(x＋y－4)＝0，
令解得所以直线l过定点M(1，3)，
因为|CM|＝＝<2＝r，
所以定点M(1，3)在圆内，
所以直线l总与圆C相交．
(2)由题意S△CEF＝|CE|·|CF|·sin∠ECF＝r2·sin∠ECF，
当S△CEF最大时，∠ECF＝，此时△CEF是等腰直角三角形，
此时圆心C(0，4)到直线l的距离d等于r，即d＝.
因为圆心C(0，4)到直线l的距离
d＝＝，
所以＝，解得m＝－1，
将m＝－1代入直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0，得x－y＋2＝0，
所以当△CEF面积最大时直线l的方程为x－y＋2＝0.
21、已知A(2，0)，直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点.
(1)求|PA|的最大值与最小值；
(2)圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.
解 (1)∵直线4x＋3y＋1＝0
被圆C: (x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦长为4，∴圆心到直线的距离
d＝＝＝1.
∵m<3，∴m＝2，
∴|AC|＝＝，
∴|PA|的最大值与最小值分别为
＋，－.
(2)由(1)可得圆C的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13，令x＝0，得y＝0或4；令y＝0，得x＝0或－6，
∴圆C与坐标轴相交于三点M(0，4)，O(0，0)，N(－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝2，∴△MON内切圆的半径为＝5－.
22、已知圆A：x2＋(y＋1)2＝1，圆B：(x－4)2＋(y－3)2＝1.
(1)过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为，求直线l的斜率；
(2)若动圆P同时平分圆A与圆B的周长，
①求动圆圆心P的轨迹方程；
②问动圆P是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．
解：(1)由题意知，直线l的斜率存在，且圆心A(0，－1)，设直线l的方程为y＝kx－1，由弦长可得圆心B(4，3)到直线l的距离为，
即＝，化简得12k2－25k＋12＝0，
解得k＝或k＝.
(2)①由已知可得|PA|＝|PB|，故圆心P在线段AB的中垂线上．
因为直线AB的斜率为1，所以圆心P所在直线的斜率为－1，且该直线过点(2，1)，所以圆心P在直线x＋y－3＝0上．即动圆圆心P的轨迹方程为x＋y－3＝0.
②动圆P经过定点．设P(m，3－m)，则动圆P的半径为＝，
所以动圆P的方程为(x－m)2＋(y＋m－3)2＝m2＋(3－m＋1)2＋1，
即x2＋y2－6y－8－2m(x－y－1)＝0.
由得
或
故动圆P过定点(2＋，1＋)，(2－，1－)．2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
2、(2022·宿州高三模拟)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是( )
A．(0，2] B．(1，2]
C．(0，2) D．(1，2)
3、过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
4、直线l：x＋y＋4－3a＝0与圆2＋y2＝9相交于A，B两点，则取最小值时，a的值是( )
A. B．－ C．－ D.
5、已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则下列选项不正确的是( )
A．圆O与圆M有两条公切线
B．圆O与圆M关于直线AB对称
C．线段AB的长为
D．若E，F分别是圆O与圆M上的点，则|EF|的最大值为4＋
6、若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
7、已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则下列选项不正确的是( )
A．圆O与圆M有两条公切线
B．圆O与圆M关于直线AB对称
C．线段AB的长为
D．若E，F分别是圆O与圆M上的点，则|EF|的最大值为4＋
8、已知直线l：ax－y＋2＝0与圆M：x2＋y2－4y＋3＝0的交点为A，B，点C是圆M上一动点，设点P，则|＋＋|的最大值为( )
A．9 B．10
C．11 D．12
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9、已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有( )
A.直线l恒过定点(3，1)
B.直线l与圆C相切
C.直线l与圆C恒相交
D.直线l与圆C相离
10、已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A.圆M的圆心为(4，－3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.过原点的最短弦长为8
D.圆M被y轴截得的弦长为6
11、直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )
A.0＜m＜1 B.－1＜m＜0
C.m＜1 D.－3＜m＜1
12、已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：y－1＝k(x－3).则以下几个命题正确的有( )
A.直线l恒过定点(3，1)
B.圆C被y轴截得的弦长为4
C.直线l与圆C相交或相切
D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为________．
14、圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
15、点P在直线l：x＋y＝2上，过P作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAPB面积的最小值为________．
16、过点P的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，当∠ACB最小时，此时直线l的方程为________，∠ACB＝________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程；
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1).
18、过x－y－2＝0上一点P(x0，y0)作直线与x2＋y2＝1相切于A，B两点．当x0＝3时，
（1）求切线长|PA|；
（2）当|PO|·|AB|最小时，求x0的值．
19、已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．
20、已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，直线l：(3m＋1)x＋(1－m)·y－4＝0.
(1)证明：直线l总与圆C相交；
(2)设直线l与圆C交于E，F两点，求△CEF面积最大时，直线l的方程．
21、已知A(2，0)，直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点.
(1)求|PA|的最大值与最小值；
(2)圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.
22、已知圆A：x2＋(y＋1)2＝1，圆B：(x－4)2＋(y－3)2＝1.
(1)过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为，求直线l的斜率；
(2)若动圆P同时平分圆A与圆B的周长，
①求动圆圆心P的轨迹方程；
②问动圆P是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．
