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集合的概念与表示
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用列举法排除A，B；利用作差法排除选项C，进而得出正确选项．
【详解】取，，则，排除A，B；因为，则，，从而.又，即，则，所以，
故选：D.
2. 已知实数满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的性质分别求解即可
【详解】解：对于A，因为，，所以，即，所以A错误；
对于B，因为，所以，因为，所以，所以，所以B错误；
对于C，因为，所以，因为，所以，所以C正确；
对于D，因为，所以，因为，所以，所以D错误，
故选：C
3. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若都是正数，则
B. 若，则
C. 若都是正数，且则
D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质一一判断即可.
【详解】A中，由，当时，，故A错；
B中，由
所以则，故B正确；
C中，由，则
所以得；由 所以即，所以，C正确；
D中，由所以，则，D正确
故选：A
4. 若，下列4个命题：①；②；③
；④，其中正确的序号是_____
【答案】①③
【解析】
【分析】利用作差、配方可判断①、②、③；根据基本不等式适用的条件可判断④.
【详解】对于①，作差可得，即，正确；
对于②作差并因式分解
，因符号而变，错误；
对于③，作差配方可得，正确；
对于④，由于符号不定，显然当小于0不成立.
故答案为：①③
5. 已知，，试比较与的大小．
【答案】当时，；当时，.
【解析】
【分析】利用作差法得出，然后分和两种情况讨论，判断出的符号，进而可得出与的大小关系.
【详解】.
因为，，所以，，得
当时，；当时，.
【点睛】本题考查两数大小比较，常利用作差法，作差之后所采取的变形技巧为通分、配方、有理化、因式分解等步骤，一般变形之后要将代数式转化为若干因式相乘或相除的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
能力提升
6. 已知，给出下列条件：①；②；③，④，则使得成立的充分不必要条件是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】BC
【解析】
【分析】根据不等式的性质，结合小范围能推出大范围而大范围推不出小范围，一一判断即可.
【详解】对于①，由，得，因此是的既不充分也不必要条件，故①错；
对于②，由，得，因此是的充分不必要条件，故②正确；
对于③，由，得，因此是的充分条件，
而时推不出，是的不必要条件，故③正确；
对于④，由，得，因此是的充要条件，故④错.
故选：BC.
7. 比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）与；
（2）当，且时，与.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用做差法比较两个代数式的大小即可. （2）先利用做商法得出，再分①和②两种情况判断和的大小即可得出结论.
【详解】（1），
因此，；
（2），
①当时，
即，时，
，
；
②当时，
即，时，
，
.
综上所述，当，且时，.
【点睛】本题主要考查了利用做差法和做商法比较大小的问题.属于较易题.
8. 已知下列三个不等式：
①；
②；
③，
以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？
【答案】可组成3个正确命题．
【解析】
【分析】由题意（1）中，对②变形得，进而可得①③②．
（2）中，由，则，可得①②③．
（3）中，由，则，可得②③①．
【详解】（1）对②变形得，
由得②成立，即①③②．
（2）若，则，即①②③．
（3）若，则，即②③①．
综上所述，可组成3个正确命题．
【点睛】本题主要考查了不等关系与不等式的性质的应用，不等式的性质是不等式的基础内容，也是考查的热点内容，主要用于比较实数或式子的大小，以及证明一些不等式或与函数、数列等知识综合命题．解题时，注意作差法及特殊值法在比较大小中的应用．
挑战创新
9. 若实数x，y，m满足，则称x比y接近m，
（1）若比3接近1，求x的取值范围；
（2）证明：“x比y接近m”是“”的必要不充分条件；
（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有比接近.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据定义可得，从而可求x的取值范围.
（2）通过反例可得“比接近”是“”不充分条件.利用不等式的性质可证明“比接近”是“”的必要条件，故可得所证结论.
（3）利用基本不等式结合分析法可证结论成立.
【详解】（1）因为比3接近1，故，
故，故，所以.
（2）取，
则，故比接近.
但，
故“比接近”推不出“”.
所以“比接近”是“”不充分条件.
若，则，故，
所以或，
若，则且，故，
所以，
故，所以，
也就是“比接近”.
若，则且，故，
所以，
故，所以，
故“比接近”是“”必要不充分条件.
（3）对于任意两个不相等的正数a、b，要证比接近，
即证：，
即证：，
即证：，
因为，因为，
故，故，
所以成立，
故比接近.
【点睛】关键点点睛：本题属于新定义背景下的不等式的求解与证明问题，其中必要不充分条件的证明应依据充分条件和必要条件的定义来展开，证明不等式恒成立要结合不等式的性质，也要结合基本不等式.
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等式与不等式的性质
学习目标：
1.理解不等式的性质及不等式模型．
2.理解不等式的性质，能对实际问题建立不等式模型．
知识要点：
1.不等式的性质
（1）如果，那么，该性质称为__________；
（2）如果，那么，该性质称为______；
（3）如果，则，反之也成立，该性质称为_______；
（4）如果，则；如果，则；
（5）如果，则；
（6）如果，则；
（7）如果，，，则．
典型例题：
题组一 由已知条件判断不等式成立与否
例1
1. 已知，下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用不等式的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】对于A：因为，，所以，故选项A正确；
对于B：因为，，所以，所以，故选项B不正确；
对于C：因为，所以，若，则，故选项C不正确；
对于D：因为，所以，所以，故选项D正确；
故选：AD.
2. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合不等式性质直接判定即可.
【详解】若，因为，所以，即成立；
反过来，若，取，满足，但此时，即不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
题组二 由不等式的性质比较大小
例2
3. 已知，下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，且则
【答案】B
【解析】
【分析】选项A、C、D通过举出反例来说明其错误，选项B利用不等式的性质来说明其正确．
【详解】若则，A不正确；
B：因为，，则，所以，故B正确；
C：当时，可得不等式不成立，故C不正确．
D：若，满足条件，但，所以D不正确.
故选：B．
4. 已知，若，且，则下列不等关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知可得，，由不等式的性质可判断出ACD正确；当时，知B错误.
【详解】，，，，
对于A，，，，A正确；
对于B，当时，满足，此时，B错误；
对于C，，，，又，，C正确；
对于D，，，，即，整理可得：，D正确.
故选：ACD.
题组三 作差法或作商法比较大小
例3.
5. 设，，给出下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，B可用作差法比较大小；选项C，D可用基本不等式求范围.
【详解】由可得，故A正确；
由可得，故B错误；
由，当且仅当时取等号，故C正确；
由，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：ACD.
6. 如果，，那么，，从小到大的顺序是___________
【答案】
【解析】
【分析】三个式子很明显都是负数，所以可通过作商和1比较判断大小。
【详解】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以；
同理，所以。
综上：
故答案为：
【点睛】此题考查比较大小，一般可以考虑作差，作商等方法进行比较，属于简单题目。
题组四 利用不等式的性质求范围
例4
7. 设，，求，，的范围．
【答案】，，．
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再讨论，，三种情况，求出的范围即可.
【详解】∵，，
∴，，，
∴；
当时，，则，所以；
当时，；
当时，，
综上，，
故，，．
8. 设为实数，满足，则的最大值是_______．
【答案】32
【解析】
【分析】将，看作整体，表示出，再利用不等式的性质求最大值．
【详解】
，
，，
不等式的性质得出，
即的最大值为32，当且仅当即时取到．
故答案为：32．
题组五 不等式的证明
例5
9. （1）设，，证明：；
（2）设，，，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据作差法证明即可；
（2）由于，故，再结合（1）的结论易证.
【详解】证明：（1）因为，，所以，。
所以，
故得证；
（2）由不等式的性质知，，
所以，
又因为根据（1）的结论可知，，
所以.
所以.
10. 证明不等式：
（1）设，求证：；
（2）设，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用作差法运算即可得证；
（2）利用作差法运算即可得证.
【详解】证明：（1）因为
，
因为，所以，
所以，所以；
（2）因为
，
所以.
【点睛】本题考查了作差法证明不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
当堂检测：
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对各选项逐一通过作差，不等式的性质或者举特例即可确定对应选项的正确性而得解.
【详解】对于A，因，则，即，A正确；
对于B，时，取，则，即不成立，B不正确；
对于C：因，则，于是有，C正确；
对于D，，当时，，即不成立，D不正确.
所以说法正确的是只有选项AC.
故选：AC
12. 设，则的取值范围是________（取值范围写成区间形式）
【答案】
【解析】
【分析】利用不等式的性质求解即可
【详解】解：由，得，
所以，所以，即，
因为，所以，即，
所以的取值范围是，
故答案为：
13. 已知，.证明：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用不等式的性质即可证明；
（2）利用不等式的性质即可证明.
【详解】解：证明：（1）∵，，
∴，
又，，
∴，
故；
（2）由，得，
又，
∴，
即，
又，
∴.
14. 实数满足，．
（1）求实数的取值范围；
（2）求的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】
（1）直接利用不等式的性质即可求得，的取值范围；
（2）设，求解，的值，再由不等式的可乘积性与可加性求得的取值范围．
【详解】（1）由，，
两式相加得，，则，
由，
得，
又，
两式相加得，，即；
（2）设，
则，解得，
∴，
∵，
∴，
则．
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等式与不等式的性质
【知识要点】
1.一个基本事实：等价于；等价于；等价于，
2.常见不等式的性质：
（1）是的_______条件；
（2）如果，则.
（3）是的______；
（4）如果，那么；如果，那么；
（5）如果，那么；
（6）如果，那么；
（7）如果，那么；
【公式概念应用】
1. 若实数，，满足，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，以及作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由且，根据不等式的性质，可得，所以A正确；
对于B中，由，其中，但的符号不确定，所以B不正确；
对于C中，由，因为，可得，
所以，所以，所以C正确；
对于D中，由，
因为，可得，所以，所以.
所以D正确.
故选：B.
2. 已知，下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用不等式的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】对于A：因为，，所以，故选项A正确；
对于B：因为，，所以，所以，故选项B不正确；
对于C：因为，所以，若，则，故选项C不正确；
对于D：因为，所以，所以，故选项D正确；
故选：AD.
3. 比较大小：______（用“”或“”符号填空）．
【答案】
【解析】
【分析】因为两个数都是正数，所以平方后，再做差比较大小.
【详解】解：，
故，
故，
故答案为：
4. 已知，，求的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】先把转化为，利用不等式的可乘性和同向不等式相加即可求得.
【详解】设，则有：
，解得：，所以.
因为，所以，
因为，所以，
所以，
即，
所以的取值范围为.
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