中小学教育资源及组卷应用平台
基本不等式
分层演练综合提升
基础巩固
1. 若，则下面结论正确的有（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则有最大值
【答案】B
【解析】
【分析】对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可.
【详解】对于选项A：若，
由基本不等式得，即，
当且仅当时取等号；所以选项A不正确；
对于选项B：若，
，
，
当且仅当且，
即时取等号，所以选项B正确；
对于选项C：由，
，
即，
如时，，所以选项C不正确；
对于选项D：，当且仅当时取等
则有最大值，所以选项D不正确；
故选：B
2. 若，则的最小值等于（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】将变形为，即可利用均值不等式求最小值.
【详解】因为，所以，因此,当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值等于3.
故选：D.
3. 已知两个正实数，满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. 8 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中条件，得到，展开后根据基本不等式，即可得出结果.
【详解】因为正实数满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4. 下列推导过程，正确的为（ ）
A. 因为 为正实数，所以
B. 因为，所以
C. 因为，所以
D. 因为 ，，所以当且仅当时，等号成立..
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A选项由基本不等式判断； 对于B选项由不等式的基本性质判断； 对于C选项由基本不等式判断；对于D选项由基本不等式判断.
【详解】对于A选项，因为 为正实数，则 为正实数，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；
对于B选项，，所以，，B选项错误；
对于C选项，当时，，
当且仅当时，等号成立，C选项错误；
对于D选项，因为 ，，则 均为负数，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，D选项正确.
故选：AD.
5. 已知正数、满足.
（1）求的最小值；
（2）求的最小值；
（3）求的最小值.
【答案】（1）最小值为；（2）最小值为；（3）最小值为.
【解析】
【分析】（1）本题首先可根据得出、、，然后将转化为，通过基本不等式即可得出结果；
（2）本题可将转化为，然后通过基本不等式即可得出结果；
（3）本题可将转化为，然后通过基本不等式即可得出结果.
【详解】，即，，，，，
（1）因为、是正数，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
（2）因为，，所以，，
则，
当且仅当、时等号成立，
故的最小值为.
（3）因为，，，
所以
，
当且仅当、时等号成立，
故的最小值为.
【点睛】易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
能力提升
6. 已知均为正实数，且，则的最小值为___________．
【答案】20
【解析】
【分析】根据式子结构，构造基本不等式中“1的代换”，利用基本不等式求最值.
【详解】∵均为正实数，且，∴，则
，
当且仅当时取等号，则的最小值为20.
故答案为：20.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
7. 已知，，．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）由解得，得到，变形后利用基本不等式可求得结果；
（2）利用将化为积为定值的形式后，再用基本不等式可求得结果.
【详解】（1）当时，，，显然，
所以，由，得，
所以
，
当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为.
（2）当时，由得，得，
所以，
当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8. 已知 为正数.
（1）若，证明：；
（2）若，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用“1”的代换的方法，结合基本不等式证得不等式成立.
（2）首先证得，然后证得，从而证得不等式成立.
【详解】（1）因为，变形得
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
（2）
当且仅当时等号成立.
当且仅当时等号成立.
所以.当且仅当时等号成立.
【点睛】利用基本不等式时，要注意一正二定三相等，正是正数的意思，定是定值的意思，相等是等号成立的条件.
挑战创新
9. 已知，，求的最小值.
解法如下：，
当且仅当，即，时取到等号，
则的最小值为.
应用上述解法，求解下列问题：
（1）已知，，求的最小值；
（2）已知，求的最小值；
（3）已知正数，满足.求证：.
【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】类比题干中的解法，利用“乘1法”技巧和基本不等式即可得出.
【详解】解（1）∵，
∴
，
当且仅当时取等号，即的最小值为9.
（2），
而
当且仅当即时取到等号，则，
∴函数的最小值为18，
（3）∵，
∴
当且仅当时取到等号，则.
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
基本不等式
【知识要点】
1.两类平均数：一般地，对于给定的实数，称为的______，当时，_____称为的几何平均数.
2.一般地，对于正数，总有，当且仅当_____时等号成立，这个不等式常称为基本不等式.
3.基本不等式的变形
（1）（当且仅当时等号成立）；
（2）（当且仅当____时等号成立）.
【公式概念应用】
1. 下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由基本不等式，可判定A不正确；由，可判定B正确；根据特例，可判定C、D不正确；
【详解】由基本不等式可知，故A不正确；
由，可得，即恒成立，故B正确；
当时，不等式不成立，故C不正确；
当时，不等式不成立，故D不正确.
故选：B.
2. 下列求最值的运算中，运算方法错误的有（ ）
A. 当时，，故时的最大值是
B. 当时，，当且仅当取等，解得或2，又由，所以，故时，的最小值为4
C. 由于，故的最小值是2
D. 当，且时，由于，∴，又，故当，且时，的最小值为4.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式的性质逐项检查即可，需要注意取等的条件，即“一正二定三相等”．
【详解】解：对于A，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即A的运算方法正确；
对于B，当时，，
当且仅当，即时，等号成立，即B的运算方法错误；
对于C，取等的条件是，即，显然均不成立，即C的运算方法错误；
对于D，第一次使用基本不等式的取等条件为，而第二次使用基本不等式的取等条件为，两者不能同时成立，即D的运算方法错误．
故选：BCD．
3. 若，则的最小值为___________.
【答案】7
【解析】
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
4. 已知两地的距离是．按交通法规规定，两地之间的公路车速应限制在到．假设汽油的价格是元/升，以速度行驶，汽车的油耗率为升，其他运营成本每小时元，则最经济的车速是________．
【答案】
【解析】
【分析】求得总的费用的表达式，结合基本不等式求得最经济的车速.
【详解】.
依题意，
总的费用为，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
基本不等式
学习目标：
1.探索并了解基本不等式的证明过程；体会证明不等式的基本思想.
2.掌握基本不等式及其等号成立的条件.
3.能利用基本不等式求代数式的最值，能利用基本不等式证明不等式.
知识要点：
1.基本不等式
如果，那么（当且仅当_______时取“=”）.
说明：
①对于非负数，我们把称为的_______，称为的______.
②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.
③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当_____时，有；另一方面当________时，有.
④ 结构特点：和式与积式的关系.
2.基本不等式的变形
（1）（当且仅当时等号成立）；
（2）（当且仅当____时等号成立）.
典型例题：
题组一 基本不等式概念辨析
例1.（多选）下列命题中正确的是（ ）
A.的最大值是 B.的最小值是2
C.的最大值是 D.最小值是5
【答案】ACD
对于A，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故A正确；
对于B，，因为，即无解，即等号不成立，所以取不到最小值2，故B错误；
对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故C正确；
对于D，，当且仅当，即时，等号成立，所以最小值是5，故D正确；
故选：ACD.
变式：（多选）下列说法中正确的有（ ）
A.不等式恒成立 B.不等式恒成立
C.若，则 D.存在a，使得不等式成立
【答案】BCD
A，a，b都小于0时不成立，错误；
B，，当且仅当时取等号，
所以，正确；
C，因为，所以，所以，
当且仅当时取等号，正确；
D，当时，，正确.
故选：BCD.
题组二 基本不等式比较大小
例2. 若，且，则中值最小的是__________
【答案】
由，，且，根据均值不等式有：，，
又，
因为，所以，则，
所以，即.
故答案为：.
变式：若，，且，则在中最大的一个是_______.
【答案】
因为，
所以，且，
由不等式的基本性质得，
所以在中最大的一个是
故答案为：
题组三 利用基本不等式证明不等式
例3. 已知证明.（请用两种不同的方法证明，其中必须有分析法）
【答案】证明见解析.
证法1（分析法）： ，要证，
只要证，即证.，只要证.
，当且仅当1时取等号.故原不等式成立.
证法2：，
，当且仅当，即时取等号.
证法3：
，，当且仅当时取等号；
，当且仅当时取等号；，
当且仅当时取等号.
变式：（1）设，证明；
（2）求满足方程的实数的值.
【答案】（1）见解析； （2） 或
（1）
以上三个式子相加可得：
即
即故.
（2）
故满足方程时有 或
题组四 利用基本不等式求最值
例4. 若，求函数的最小值，并求此时的值；
设，求函数的最大值；
已知，求的最小值；
已知，，且，求的最小值.
【答案】时，取得最小值；；；.
解：当时，，
当且仅当，即时取等号.
所以函数的最小值为，当时，有最小值.
，，
.
当且仅当，即时，等号成立.
，函数的最大值为.
，，，
当且仅当，即时，等号成立. 的最小值为.
，且，
，
当且仅当，，即，时，上式取等号.
故当，时，.
变式：已知，，.
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值.
【答案】（1）（2）
（1）当时，，，显然，
所以，由，得，
所以
，
当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为.
（2）当时，由得，得，
所以，
当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为.
题组五 基本不等式在实际问题中的应用
例5. 已知A，B两地的距离是、根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在，假设油价是7元/L，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是35元.那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？
【答案】；元
设汽车以行驶时，
行车的总费用，，
即，，
此时，
当且仅当时，即时取等号成立，
故最经济的车速约为；
如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约为元.
变式： 如图所示，某广场有一块边长为的正方形区域，在点A处装有一个可转动的摄像头，其能够捕捉到图象的角始终为（其中点P、Q分别在边、上）设，记.
（1）求用t表示的长度，并研究的周长l是否为定值？
（2）问摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积S至多为多少？
【答案】（1），是定值；（2）能捕捉的面积S至多为.
解：（1）设，，
所以，，
则：.
所以：，
故：.
所以的周长为定值2.
（2），
.
当且仅当时，摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积至多为.
当堂检测：
1. 下列选项中正确的是（ ）
A. 不等式恒成立
B. 存在实数，使得不等式成立
C. 若，为正实数，则
D. 若正实数，满足，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，当时不成立，故错误；
对于B选项，当时，，当且仅当等号成立，故正确；
对于C选项，若，为正实数，则，所以，当且仅当时等号成立，故正确；
对于D选项，由基本不等式“1”的用法得，当且仅当时等号成立，故正确.
故选：BCD
2. 已知，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. 有最小值4 B. 有最小值1
C. 有最大值4 D. 有最小值4
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可
【详解】解： ，，且，
对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确，
对于B，因为，所以，当且仅当时取等号，即有最大值1，所以B错误，
对于C，因为，当且仅当时取等号，即有最小值4，所以C错误，
对于D，因为，当且仅当时取等号，即有最大值4，所以D错误，
故选：A
3. 如图，计划在一块空地上种植面积为的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽，东西的人行通道宽，如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设草坪的长（东西方向）为，求出宽，再求得道路面积，由基本不等式得最小值．
【详解】设草坪的长（东西方向）为，则宽为，
则道路占用面积为，当且仅当，即时，等号成立．
所以道路占地最小面积为．
故选：D．
4. （1）若，求的最小值及对应的值；
（2）若，求的最小值及对应的值．
【答案】（1）最小值为5，；（2）最小值为，．
【解析】
【分析】（1）化简，再利用基本不等式求解；
（2）化简，再利用基本不等式求解.
【详解】（1）因为，所以，
当且仅当即时等号成立，函数取最小值5；
（2）
当且仅当即时等号成立，函数取最小值.
5. 已知都是正数，且，
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【分析】(1) 利用1的代换将式子变形，再用基本不等式求最小值；
(2) 先将式子中的1用代换，展开整理，再用基本不等式求最小值.
【详解】(1) .
因为都是正数，所以由基本不等式得，
，
所以，当且仅当 ， 时等号成立.
所以的最小值为 .
(2) .
因为都是正数，所以由基本不等式得，
，
所以，当且仅当 ， 时等号成立.
所以的最小值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
