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基本不等式
分层演练综合提升
基础巩固
1. 若,则下面结论正确的有( )
A. B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则有最大值
【答案】B
【解析】
【分析】对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断,对于选项C取特值即可判断即可.
【详解】对于选项A:若,
由基本不等式得,即,
当且仅当时取等号;所以选项A不正确;
对于选项B:若,
,
,
当且仅当且,
即时取等号,所以选项B正确;
对于选项C:由,
,
即,
如时,,所以选项C不正确;
对于选项D:,当且仅当时取等
则有最大值,所以选项D不正确;
故选:B
2. 若,则的最小值等于( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】将变形为,即可利用均值不等式求最小值.
【详解】因为,所以,因此,当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值等于3.
故选:D.
3. 已知两个正实数,满足,则的最小值是( )
A. B. C. 8 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中条件,得到,展开后根据基本不等式,即可得出结果.
【详解】因为正实数满足,
则,
当且仅当,即时,等号成立.
故选:.
【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
4. 下列推导过程,正确的为( )
A. 因为 为正实数,所以
B. 因为,所以
C. 因为,所以
D. 因为 ,,所以当且仅当时,等号成立..
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A选项由基本不等式判断; 对于B选项由不等式的基本性质判断; 对于C选项由基本不等式判断;对于D选项由基本不等式判断.
【详解】对于A选项,因为 为正实数,则 为正实数,
由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,A选项正确;
对于B选项,,所以,,B选项错误;
对于C选项,当时,,
当且仅当时,等号成立,C选项错误;
对于D选项,因为 ,,则 均为负数,
由基本不等式可得,
当且仅当时,等号成立,D选项正确.
故选:AD.
5. 已知正数、满足.
(1)求的最小值;
(2)求的最小值;
(3)求的最小值.
【答案】(1)最小值为;(2)最小值为;(3)最小值为.
【解析】
【分析】(1)本题首先可根据得出、、,然后将转化为,通过基本不等式即可得出结果;
(2)本题可将转化为,然后通过基本不等式即可得出结果;
(3)本题可将转化为,然后通过基本不等式即可得出结果.
【详解】,即,,,,,
(1)因为、是正数,
所以,当且仅当时等号成立,
故的最小值为.
(2)因为,,所以,,
则,
当且仅当、时等号成立,
故的最小值为.
(3)因为,,,
所以
,
当且仅当、时等号成立,
故的最小值为.
【点睛】易错点睛:
利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足“一正二定三相等”:
(1)“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
能力提升
6. 已知均为正实数,且,则的最小值为___________.
【答案】20
【解析】
【分析】根据式子结构,构造基本不等式中“1的代换”,利用基本不等式求最值.
【详解】∵均为正实数,且,∴,则
,
当且仅当时取等号,则的最小值为20.
故答案为:20.
【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
7. 已知,,.
(1)当时,求的最小值;
(2)当时,求的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】(1)由解得,得到,变形后利用基本不等式可求得结果;
(2)利用将化为积为定值的形式后,再用基本不等式可求得结果.
【详解】(1)当时,,,显然,
所以,由,得,
所以
,
当且仅当,时等号成立,
所以的最小值为.
(2)当时,由得,得,
所以,
当且仅当时,等号成立.
所以的最小值为.
【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
8. 已知 为正数.
(1)若,证明:;
(2)若,证明:.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用“1”的代换的方法,结合基本不等式证得不等式成立.
(2)首先证得,然后证得,从而证得不等式成立.
【详解】(1)因为,变形得
所以,
当且仅当,即时,等号成立.
(2)
当且仅当时等号成立.
当且仅当时等号成立.
所以.当且仅当时等号成立.
【点睛】利用基本不等式时,要注意一正二定三相等,正是正数的意思,定是定值的意思,相等是等号成立的条件.
挑战创新
9. 已知,,求的最小值.
解法如下:,
当且仅当,即,时取到等号,
则的最小值为.
应用上述解法,求解下列问题:
(1)已知,,求的最小值;
(2)已知,求的最小值;
(3)已知正数,满足.求证:.
【答案】(1)9;(2)18;(3)证明见解析.
【解析】
【分析】类比题干中的解法,利用“乘1法”技巧和基本不等式即可得出.
【详解】解(1)∵,
∴
,
当且仅当时取等号,即的最小值为9.
(2),
而
当且仅当即时取到等号,则,
∴函数的最小值为18,
(3)∵,
∴
当且仅当时取到等号,则.
【点睛】利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
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基本不等式
【知识要点】
1.两类平均数:一般地,对于给定的实数,称为的______,当时,_____称为的几何平均数.
2.一般地,对于正数,总有,当且仅当_____时等号成立,这个不等式常称为基本不等式.
3.基本不等式的变形
(1)(当且仅当时等号成立);
(2)(当且仅当____时等号成立).
【公式概念应用】
1. 下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由基本不等式,可判定A不正确;由,可判定B正确;根据特例,可判定C、D不正确;
【详解】由基本不等式可知,故A不正确;
由,可得,即恒成立,故B正确;
当时,不等式不成立,故C不正确;
当时,不等式不成立,故D不正确.
故选:B.
2. 下列求最值的运算中,运算方法错误的有( )
A. 当时,,故时的最大值是
B. 当时,,当且仅当取等,解得或2,又由,所以,故时,的最小值为4
C. 由于,故的最小值是2
D. 当,且时,由于,∴,又,故当,且时,的最小值为4.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式的性质逐项检查即可,需要注意取等的条件,即“一正二定三相等”.
【详解】解:对于A,符合基本不等式中的“一正二定三相等”,即A的运算方法正确;
对于B,当时,,
当且仅当,即时,等号成立,即B的运算方法错误;
对于C,取等的条件是,即,显然均不成立,即C的运算方法错误;
对于D,第一次使用基本不等式的取等条件为,而第二次使用基本不等式的取等条件为,两者不能同时成立,即D的运算方法错误.
故选:BCD.
3. 若,则的最小值为___________.
【答案】7
【解析】
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】因为,所以,
所以,
当且仅当即时等号成立,
所以的最小值为,
故答案为:.
4. 已知两地的距离是.按交通法规规定,两地之间的公路车速应限制在到.假设汽油的价格是元/升,以速度行驶,汽车的油耗率为升,其他运营成本每小时元,则最经济的车速是________.
【答案】
【解析】
【分析】求得总的费用的表达式,结合基本不等式求得最经济的车速.
【详解】.
依题意,
总的费用为,
当且仅当时等号成立.
故答案为:
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基本不等式
学习目标:
1.探索并了解基本不等式的证明过程;体会证明不等式的基本思想.
2.掌握基本不等式及其等号成立的条件.
3.能利用基本不等式求代数式的最值,能利用基本不等式证明不等式.
知识要点:
1.基本不等式
如果,那么(当且仅当_______时取“=”).
说明:
①对于非负数,我们把称为的_______,称为的______.
②我们把不等式称为基本不等式,我们也可以把基本不等式表述为:两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.
③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是:一方面是当_____时,有;另一方面当________时,有.
④ 结构特点:和式与积式的关系.
2.基本不等式的变形
(1)(当且仅当时等号成立);
(2)(当且仅当____时等号成立).
典型例题:
题组一 基本不等式概念辨析
例1.(多选)下列命题中正确的是( )
A.的最大值是 B.的最小值是2
C.的最大值是 D.最小值是5
【答案】ACD
对于A,,当且仅当,即时,等号成立,所以的最大值是,故A正确;
对于B,,因为,即无解,即等号不成立,所以取不到最小值2,故B错误;
对于C,,当且仅当,即时,等号成立,所以的最大值是,故C正确;
对于D,,当且仅当,即时,等号成立,所以最小值是5,故D正确;
故选:ACD.
变式:(多选)下列说法中正确的有( )
A.不等式恒成立 B.不等式恒成立
C.若,则 D.存在a,使得不等式成立
【答案】BCD
A,a,b都小于0时不成立,错误;
B,,当且仅当时取等号,
所以,正确;
C,因为,所以,所以,
当且仅当时取等号,正确;
D,当时,,正确.
故选:BCD.
题组二 基本不等式比较大小
例2. 若,且,则中值最小的是__________
【答案】
由,,且,根据均值不等式有:,,
又,
因为,所以,则,
所以,即.
故答案为:.
变式:若,,且,则在中最大的一个是_______.
【答案】
因为,
所以,且,
由不等式的基本性质得,
所以在中最大的一个是
故答案为:
题组三 利用基本不等式证明不等式
例3. 已知证明.(请用两种不同的方法证明,其中必须有分析法)
【答案】证明见解析.
证法1(分析法): ,要证,
只要证,即证.,只要证.
,当且仅当1时取等号.故原不等式成立.
证法2:,
,当且仅当,即时取等号.
证法3:
,,当且仅当时取等号;
,当且仅当时取等号;,
当且仅当时取等号.
变式:(1)设,证明;
(2)求满足方程的实数的值.
【答案】(1)见解析; (2) 或
(1)
以上三个式子相加可得:
即
即故.
(2)
故满足方程时有 或
题组四 利用基本不等式求最值
例4. 若,求函数的最小值,并求此时的值;
设,求函数的最大值;
已知,求的最小值;
已知,,且,求的最小值.
【答案】时,取得最小值;;;.
解:当时,,
当且仅当,即时取等号.
所以函数的最小值为,当时,有最小值.
,,
.
当且仅当,即时,等号成立.
,函数的最大值为.
,,,
当且仅当,即时,等号成立. 的最小值为.
,且,
,
当且仅当,,即,时,上式取等号.
故当,时,.
变式:已知,,.
(1)当时,求的最小值;
(2)当时,求的最小值.
【答案】(1)(2)
(1)当时,,,显然,
所以,由,得,
所以
,
当且仅当,时等号成立,
所以的最小值为.
(2)当时,由得,得,
所以,
当且仅当时,等号成立.
所以的最小值为.
题组五 基本不等式在实际问题中的应用
例5. 已知A,B两地的距离是、根据交通法规,两地之间的公路车速应限制在,假设油价是7元/L,以的速度行驶时,汽车的耗油率为,司机每小时的工资是35元.那么最经济的车速是多少?如果不考虑其他费用,这次行车的总费用是多少?
【答案】;元
设汽车以行驶时,
行车的总费用,,
即,,
此时,
当且仅当时,即时取等号成立,
故最经济的车速约为;
如果不考虑其他费用,这次行车的总费用约为元.
变式: 如图所示,某广场有一块边长为的正方形区域,在点A处装有一个可转动的摄像头,其能够捕捉到图象的角始终为(其中点P、Q分别在边、上)设,记.
(1)求用t表示的长度,并研究的周长l是否为定值?
(2)问摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积S至多为多少?
【答案】(1),是定值;(2)能捕捉的面积S至多为.
解:(1)设,,
所以,,
则:.
所以:,
故:.
所以的周长为定值2.
(2),
.
当且仅当时,摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积至多为.
当堂检测:
1. 下列选项中正确的是( )
A. 不等式恒成立
B. 存在实数,使得不等式成立
C. 若,为正实数,则
D. 若正实数,满足,则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解:对于A选项,当时不成立,故错误;
对于B选项,当时,,当且仅当等号成立,故正确;
对于C选项,若,为正实数,则,所以,当且仅当时等号成立,故正确;
对于D选项,由基本不等式“1”的用法得,当且仅当时等号成立,故正确.
故选:BCD
2. 已知,,且,则下列结论中正确的是( )
A. 有最小值4 B. 有最小值1
C. 有最大值4 D. 有最小值4
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可
【详解】解: ,,且,
对于A,,当且仅当时取等号,所以A正确,
对于B,因为,所以,当且仅当时取等号,即有最大值1,所以B错误,
对于C,因为,当且仅当时取等号,即有最小值4,所以C错误,
对于D,因为,当且仅当时取等号,即有最大值4,所以D错误,
故选:A
3. 如图,计划在一块空地上种植面积为的草坪,草坪的四周留有人行通道,设计要求草坪外侧南北的人行通道宽,东西的人行通道宽,如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小,最小面积是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设草坪的长(东西方向)为,求出宽,再求得道路面积,由基本不等式得最小值.
【详解】设草坪的长(东西方向)为,则宽为,
则道路占用面积为,当且仅当,即时,等号成立.
所以道路占地最小面积为.
故选:D.
4. (1)若,求的最小值及对应的值;
(2)若,求的最小值及对应的值.
【答案】(1)最小值为5,;(2)最小值为,.
【解析】
【分析】(1)化简,再利用基本不等式求解;
(2)化简,再利用基本不等式求解.
【详解】(1)因为,所以,
当且仅当即时等号成立,函数取最小值5;
(2)
当且仅当即时等号成立,函数取最小值.
5. 已知都是正数,且,
(1)求的最小值;
(2)求的最小值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】(1) 利用1的代换将式子变形,再用基本不等式求最小值;
(2) 先将式子中的1用代换,展开整理,再用基本不等式求最小值.
【详解】(1) .
因为都是正数,所以由基本不等式得,
,
所以,当且仅当 , 时等号成立.
所以的最小值为 .
(2) .
因为都是正数,所以由基本不等式得,
,
所以,当且仅当 , 时等号成立.
所以的最小值为.
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