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函数的概念与表示
【知识要点】
1.函数概念
一般地，设是___的数集，如果对于集合的_____一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有____的数和它对应，那么就是为从集合到集合的一个函数，记为：.
2.函数三要素：
（1）一般地，对于函数，则称为函数的________，称集合________为函数的值域.
（2）函数三要素指：____________，____________，_____________.
3.区间
（1）闭区间：；开区间；
半开半闭区间：；，其中.
（2）无穷区间：，，
，；.
【公式概念应用】
1. 用列表法将函数表示如下：
x 0
y 0
则（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由表格可得答案.
【详解】由表格可得，
故选：A.
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可
【详解】解：当时，，
由，得，，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
3. 下列图形中，不可能是函数图象的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义依次讨论各选项即可得答案.
【详解】根据函数的定义，一个自变量对应唯一的函数值，
表现在图像上，用一条垂直于轴的直线交函数图像，至多有一个交点．
所以D不是函数图像．
故选：D
4. 已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据分式及偶次根式成立的条件可得，，解不等式可求函数的定义域
（2）直接把代入到函数解析式中可求
【详解】解：（1）由题意可得，
解不等式可得，且
故函数的定义域为且
（2）.
参考答案：
【知识要点】
1.函数的概念 非空，任意，唯一
2.函数三要素：（1）定义域，；（2）定义域、对应法则、值域.
3.区间
（1）；；，.
（2），，，，.
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函数的概念
学习目标：
1. 理解函数的定义，解构成函数的三要素，
2.掌握两个函数相同的判断方法；
3.会求简单函数的定义域和
知识要点：
1.函数的概念
一般地，设是___的数集，如果对于集合的_____一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有____的数和它对应，那么就是为从集合到集合的一个函数，记为：.
2函数三要素：
（1）一般地，对于函数，则称为函数的________，称集合________为函数的值域.
（2）函数的三要素指：____________，____________，_____________.
（3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同.
3区间
（1）闭区间：；开区间；
半开半闭区间：；，其中.
（2）无穷区间：，，
，；.
1. 下列选项中，可表示为的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】对于选项A：令，没有的值与之对应，不满足任何一个的值都有唯一确定的与他对应，故选项A错误，
对于选项B：令，可以取，不满足一个只能对应一个，故选项B错误，
对于选项C：，是一一对应的关系，符合函数的定义，故选项C正确，
对于选项D：对于，对应不满足一个只能对应一个，不是函数故选项D错误，
故选：C.
2. 下列图形中，不可能是函数图象的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义依次讨论各选项即可得答案.
【详解】根据函数的定义，一个自变量对应唯一的函数值，
表现在图像上，用一条垂直于轴的直线交函数图像，至多有一个交点．
所以D不是函数图像．
故选：D
3. 下列各组函数与的图象相同的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】若两个函数图象相同则是相等函数，分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由可得，所以 的定义域为，由可得：或，所以的定义域为或，定义域不同不是相等函数，函数图象不相同，故选项A不正确；
对于B：的定义域为，的定义域为，定义域不同不是相等函数，函数图象不相同，故选项B不正确；
对于C：的定义域为，的定义域为，定义域不同不是相等函数，函数图象不相同，故选项C不正确；
对于D：对去绝对值可得，所以，所以与函数图象相同，故选项D正确；
故选：D.
4. 已知四组函数：① ，；② ，；③；④ .其中表示同一函数的是___________.
【答案】②③④
【解析】
【分析】求每组函数的定义域和对应关系，根据相等函数的定义逐一判断每组函数，即可得正确答案.
【详解】对于①：定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一函数；
对于② ：定义域为，定义域为；定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；
对于③ 定义域为，定义域为，定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；
对于④ ：定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；
故答案为：②③④.
5. 求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）().
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.
【解析】
【分析】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可.
【详解】（1）， 解得：或
所以函数的定义域为；
故答案为：.
（2）， 解得： ，
所以函数的定义域为；
故答案为：.
（3）
解得：或
所以函数的定义域为；
故答案为：.
（4）；
解得：，
所以函数的定义域为；
故答案为：.
（5）
解得：或
所以函数的定义域为；
故答案为：.
（6）
解得：或
所以函数的定义域为；
故答案为： .
（7）().
解得：
所以函数()的定义域为；
故答案为：.
【点睛】求函数的定义域一般要考虑以下方面：
⒈分式的分母不能为零；
⒉非负数开偶次方根才有意义；
⒊对数的真数要大于零，底数要大于零且不等于1；
⒋中；
⒌正切函数中 等；
6. 若函数对于一切恒成立，则求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为在实数集上恒成立，由此得到，从而求解出的取值范围.
【详解】由条件可知：函数定义域为，即对恒成立，
所以，解得，
所以的取值范围是.
7. （1）已知的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】利用抽象函数的定义域求解.
【详解】（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．
∴，
∴，
即的定义域为．
（2）由题意知中的，
∴.
又中的取值范围与中的x的取值范围相同，
∴的定义域为．
（3）∵函数的定义域为，
由，得，
∴的定义域为．
又，即，
∴函数的定义域为.
8. 已知函数满足．若，则（ ）
A. 2 B. 1 C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意知时，即得结果.
【详解】满足，且，则时，故.
故选：C.
9. 若函数，那么______．
【答案】15
【解析】
【分析】由得，，把代入表达式可求出的值.
【详解】令，则.
当时，，即.
故答案为：15.
10. 求下列函数的值域
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .
【解析】
【分析】（1）函数可化为，由最简分式的性质即可求值域；
（2）（3）由解析式求函数的定义域，将函数转化为方程，即方程在上有解，结合判别式即可求值域；
（4）函数可化为，讨论、，结合基本不等式求值域即可；
（5）利用根式、二次函数的性质求值域.
【详解】（1），定义域为，所以其值域为；
（2）由解析式知：定义域为，函数可转化为在上有解，
∴当，即时，显然成立；
当时，，整理得，解得且；
∴综上，函数的值域为.
（3）由解析式知：定义域为，函数可转化为在上有解，
∴当时，显然成立；
当时，，整理得，解得且；
∴综上，函数的值域为.
（4）由解析式知：定义域为，而，
∴当时，当且仅当时等号成立；
当时，当且仅当时等号成立；
∴综上，函数的值域为.
（5）由，知函数的定义域为，而
∴，函数的值域是.
11. 求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）用换元法、配方法，求该函数的值域；
（2）用平方法、配方法，求该函数的值域.
【详解】（1）函数，定义域为，
令，则，
所以，
对称轴方程为，
所以时，函数，
故值域为；
（2）由题意得，解得，
则，
由可得，
，
由y的非负性知，，
故函数的值域为.
12. 下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别判断四个答案中与的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，即可得到答案.
【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项D：，的定义域均为，对应法则相同，故两个函数是同一个函数；
故选：D.
【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数.属于容易题.
13. 函数的定义域为（ ）
A. B. 或
C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据具体函数的形式，列不等式求定义域.
【详解】有题意可知
，
解得且
定义域是且.
故选：D
【点睛】本题考查具体函数定义域的求法，主要考查计算能力，属于简单题型.
14. 函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抽象函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，即，
则函数满足，即，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A．
15. 已知函数，若，则实数的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，进而可解得实数的值.
【详解】已知函数，若，则，解得.
故答案为：.
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函数的概念
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 函数的定义域是（ ）
A. 或 B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式即可得定义域.
【详解】解不等式，
与，同解，
所以或.
故选：C
2. 已知函数，则等于（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】令，求得得值，代入，即可得出答案.
【详解】解：令，则，
所以.
故选：A.
3. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义域与对应法则判断．
【详解】A中定义域是，定义域是，定义域不相同，不是同一函数；
B中两个函数定义域都是，对应法则都是取绝对值，是同一函数；
C中定义域是，定义域是，定义域不相同，不是同一函数；
D中定义域是，定义域是或，定义域不相同，不是同一函数．
故选：B．
4. 已知函数，则的值是____．
【答案】0
【解析】
【分析】利用自变量的和为1时函数值的和为0即可获解.
【详解】因为，
所以原式
故答案为：0
5. （1）已知函数的定义域为，求函数的定义域;
（2）已知函数的定义域为，求的定义域;
（3）已知函数的定义域为，求的定义域.
【答案】（1）或；（2）；（3）或.
【解析】
【分析】求抽象函数的定义域时，注意括号内范围等同即可求出答案，比如若已知函数函数的定义域为，则符合函数的定义域由求出．
【详解】解：（1）的定义域为，
要使有意义，需使，即或，
的定义域为；
（2）的定义域为，即其自变量的取值范围是，
令，则，
即关于的函数的定义域为，
从而函数的定义域为；
（3）的定义域为，即其自变量的取值范围是，
若令，则，
即关于的函数的定义域为，
从而要使函数有意义，
只需，解得或，
的定义域为或．
【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域，注意括号内范围等同，比如已知函数函数的定义域为，则符合函数的定义域由求出，属于中档题．
能力提升
6. 求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
【答案】（1）；（2）；（3）且；（4）.
【解析】
【分析】（1）化简函数为，根据，即可求得函数的值域；
（2）由函数，令，结合二次函数的性质，即可求解；
（3）化简函数，根据且，即可求解；
（4）由函数，，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数可化为，可得定义域为，所以，可得，所以值域为.
（2）由函数，令，
则，所以函数值域为.
（3）由函数，
因为，可得且，所以且
所以函数的值域为且.
（4）由题意，函数，令，
解得，即函数的定义域为，
又由函数，
因为，，所以，
可得，即，所以函数的值域为.
7. 已知函数的定义域为求函数的定义域.
【答案】
【解析】
【分析】解不等式组可得．
【详解】因为函数的定义域为，所以，又，故解得．
故答案为：．
8. 已知函数的定义域为集合A，关于x的不等式的解集为集合B.
（1）求集合A和集合B；
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）A=，B=；（2）或.
【解析】
【分析】（1）由偶次根式大于等于0，解出的取值范围，即为集合.根据写出集合.
（2）利用等价于，即可解出答案.
【详解】（1）集合A：
所以.
集合：.因为
所以.
（2）因为，即,
则或.
解得：或.
挑战创新
9. 已知函数．
（1）求，的值；
（2）求证：是定值；
（3）求的值．
【答案】（1），1；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）直接根据函数解析式代入求值即可；
（2）首先求出，从而计算可得；
（3）利用（2）的结论利用结合律计算可得；
【详解】解：（1）；
，，
所以
（2），
所以，为定值.
（3）由（2）知，
所以
.
【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
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