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二次函数、一元二次方程与不等式
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 已知集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式可得集合，即可求交集.
【详解】由，
，
所以，
故选：C.
2. 若且的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可得，且，所以，不等式可变为
，求解即可
【详解】由的解集为，
可得，且，所以，
不等式可变为，
即，
解得或，
所以的解集为，
故选：D
3. 若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围为（ ）
A. (0，1] B. (-∞，1]
C. [0，1] D. [1，+∞)
【答案】C
【解析】
【分析】分和两种情况讨论恒成立的情况，列式求实数的取值范围.
【详解】当时，恒成立，
当时，由条件可知，即，解得：.
综上可知，.
故选：C
4. 下列选项中，关于的不等式有实数解的充分条件有（ ）．
A. B.
C. 或 D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意进行分类讨论，然后求出或，结合充分条件的概念以及选项即可求出结果.
【详解】关于的不等式有实数解，
若，则，即，符合题意；
若，则，符合题意；
若，则，则需满足，即或，故或；
综上：或；
结合充分条件的概念以及选项可知选AD，
故选：AD
5. （Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）解不等式．
【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果；
（Ⅱ）先移项通分，进而可求出结果.
【详解】（Ⅰ）由得，即，
解得或，
所以不等式的解集为或；
（Ⅱ）由得，即，即，
解得，即不等式的解集为；
能力提升
6. 若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是___________
【答案】或
【解析】
【分析】令，依题意可得时恒成立，则，即可得到关于的一元二次不等式组，解得即可；
【详解】解：因为，所以
令，即在恒成立，即时恒成立，所以，即，解得或；解得或，所以原不等式组的解集为
故答案为：
7. 解下列关于x的不等式：
（1）.
（2）.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）对不等式因式分解，对a分成，，，，等五种情况，根据一元二次不等式对应一元二次方程的根的情况，求得不等式的解集.
（2）将原不等式转化为右边为零的形式，对a分成，，三种情况，由此求得不等式的解集.
【详解】（1）由得.
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（2）由得.
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集.
【点睛】本小题主要考查含有参数的一元二次不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
8. 在①，
②，
③
这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，求实数a的取值范围.
已知，_________，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】先解出p对应的x的范围即为集合A,把q对应的x的范围即为集合B.根据题意分析只需B A.分别在选条件①②③时，根据B A列不等式组，求出a的取值范围.
【详解】由命题，得到，规定集合.设q对应的x的范围即为集合B.
因为p是q的必要不充分条件，所以B A.
选条件①.
由可解得：.
因为B A，只需解得：，
当时，，有B A；
当时，，有B A；
即实数a的取值范围为.
选条件②，
由可解得：.
因为B A，只需解得：，
当时，，有B A；
当时，，有B A；
即实数a的取值范围为.
选条件③.
由可解得：.
因为B A，只需解得：，
当时，，有B A；
即实数a的取值范围为.
挑战创新
9. 已知关于x的不等式，其中.
（1）当时，求不等式的解集A；
（2）当时，求不等式的解集A；
（3）对于时，不等式的解集A，若满足（其中为整数集）.试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由.
【答案】（1）（2）答案见解析（3）能，
【解析】
【分析】
（1）直接解一元二次不等式即得；
（2）根据k的正负，两根的大小分类讨论求解不等式即可；
（3）对分类讨论，若，则中会有无穷个数，当时，不等式的解集是一区间，从而有有限个数．
【详解】（1）当时，不等式为，
即，
∴，
即解集为；
（2）当时，由原不等式可得，
，
，
当k >0且k≠2时，
由得或，
当k<0时，，由可得，
.
（3）由(1)(2)知：当k≥0时，集合B中的元素的个数无限;
当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集.
因为，当且仅当时取等号，
所以当k=―2时，集合B的元素个数最少.
此时，
故集合.
【点睛】关键点点睛：本题考查解一元二次不等式，解一元二次不等式通常要掌握“三个二次”之间的关系．要注意分类讨论二次项系数的正负，要利用判别式讨论相应的二次方程是否有实数解，在有实数解的情况下还要讨论两根的大小，这样才能得出正确的结论．
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二次函数、一元二次方程与不等式
学习目标：
1．掌握一元二次不等式的一般形式，理解二次函数的零点；
2．理解三个二次之间的关系，掌握一元二次不等式的解法，
3．理解一元二次不等式求解过程蕴含的分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想．
知识要点：
1．一元二次不等式的一般形式为_________或___________，其中为常数且．
2．一般地，对于二次函数，我们把使得____________的实数叫做二次函数的零点．
3．完成下面的表格：
的图象
的根 有两个不同相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
的解集 或
的解集
4．三个二次之间的关系：_______________________________________________________．
典型例题：
题组一 不含参数的一元二次不等式的解法
例1．
1. 求下列不等式的解集：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与二次函数的图象可解得所求的一元二次不等式的解集.
【详解】（1）令，解得：，，
又二次函数的图象开口方向向上，
的解集为.
（2）令，解得：，，
又二次函数的图象开口方向向下，
的解集为.
（3）令，解得：，，
又二次函数的图象开口方向向上，
的解集为.
（4）令，解得：，
又二次函数的图象开口方向向下，
的解集为.
变式：
2. 解下列不等式(组)：
（1）
（2）.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）分别求解不等式和的解集，然后求交集得到不等式组的解集；
（2）分别求解和的解集，然后求交集得到不等式组的解集.
【详解】（1）由，解得或,
解得,
∴原不等式的解集为或；
（2）即，即,解得或;
即，即,解得,
或或，
所以不等式的解集为或
【点睛】本题考查不等式组的求解，利用分解因式方法转化求解二次不等式，然后求交集得到不等式组的解集.
题组二 含参数的一元二次不等式的解法
例2．
3. 已知函数．
（1）若的解集是，求不等式的解集；
（2）若，，解关于x的不等式．
【答案】（1） ；（2） 答案不唯一，具体见解析．
【解析】
【分析】（1）根据-1,2是方程的两根，利用根与系数的关系得到bc，再利用一元二次不等式的解法求解；
（2）由，，得到不等式，再分，，讨论求解.
【详解】（1）由题意知：-1,2是方程的两根，
由根与系数的关系，得，
解得，，代入不等式，
可得：，化简得，解得，
故所求不等式的解集为：．
（2）若，，则不等式化为，
，
当时，不等式化为，则不等式的解集为，
当时，两根为，
当时，，则不等式的解集为或，
当时，，则不等式的解集为或，
综上：时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为或，
时，则不等式的解集为或.
4. 解关于x的不等式.
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】对分、、、 和五种情况讨论得解.
【详解】当时，不等式的解为；
当时，不等式对应方程的根为或2，
①当时，不等式即 的解集为；
②当时，不等式的解集为 ；
③当时，不等式的解集为 ；
④当时，不等式的解集为 .
综上所述，当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【点睛】易错点睛：解答本题有两个易错点：（1）漏掉这一种情况，因为不确定不等式是不是一元二次不等式，所以要讨论；（2）当时，分类出现错误或遗漏.
题组三 不等式的恒成立问题与有解问题
例3．
5. 已知关于的不等式的解集为R，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】按照两种情况讨论：①当时，可得符合；②当时，根据图象的开口方向和判别式列式可解得结果.
【详解】根据题意，分两种情况
①当时，即或时，
若，不等式变为，成立，符合条件；
若，不等式变为，解集为，不符合题意.
②当时，不等式为一元二次不等式，要使解集为R，
则对应二次函数的图象开口只能向上，且，
即且，
则或，且，
所以或，且，
即，
综上，实数的取值范围.
【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.
变式：
6. 若不等式对一切实数x均成立，求实数a的范围．
【答案】
【解析】
【分析】判断出分母恒大于，化简已知不等式，转化为一元二次不等式在实数范围内的恒成立问题，利用判别式列出不等式解出实数a的范围．
【详解】，则恒成立，
，即．
整理得:．
该式对一切实数x均成立，，即，
解得：
【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，考查学生对二次函数图象的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
题组四 其他不等式的解法
例4．
7. 解下列不等式：
（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】（1）原不等式等价于，由一元二次不等式的解法可得解集.
（2）不等式等价于且x－≠0，由一元二次不等式的解法可得解集.
【详解】解（1）等价于，解得，
∴原不等式的解集为.
（2）∵，∴，∴，即.
此不等式等价于且x－≠0，
解得或，
∴原不等式的解集为或.
【点睛】本题考查分式不等式的解法，常常将分式不等式等价于一元二次不等式，属于基础题.
变式：
8. 解下列关于x的不等式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）整理化简，对一元二次不等式分解因式，求解即可；
（2）将不等式移项，根据分子恒为负数，则只需求的解集即可.
【详解】（1）原不等式可化为，即，
解得或，
所以原不等式的解集为.
（2）原不等式可化为，整理得，
由于
其恒为负值，故只要，
即，解之得.
所以原不等式的解集为.
【点睛】本题考查一元二次不等式以及分式不等式的求解，属综合基础题.
当堂检测：
9. 解关于x的不等式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）答案见解析；
【解析】
【分析】
（1）利用分式不等式的解法，求解集即可；（2）讨论、、，结合判别式求不等式的解集.
【详解】（1）知：，
∴，又，
∴，解得或；
∴解集为.
（2），当时，不成立，解集为空集，
若，则：当，即时，；当，即时，解集为空集；
若，则且，有或；
∴综上知：时，或；时，；时，；
【点睛】本题考查了分式不等式的解法，分类讨论参数解一元二次不等式，属于中档题.
10. 关于的不等式的解集为.
（1）求的值；
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可；
（2）代入参数，解一元二次不等式即可.
【详解】解：（1）关于的不等式的解集为，
∴，且﹣1和2是方程的两实数根，
由根与系数的关系知，，解得；
（2）由（1）知，时，
不等式为，
∴不等式的解集是或.
11. 若不等式的解集为．
（1）解不等式；
（2）的解集为，求取值范围，
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】利用二次不等式和二次方程的关系，通过韦达定理求出的值，
（1）代入的值，直接解二次不等式即可；
（2）代入的值，利用判别式即可求解.
【详解】解：若不等式的解集为，
则的根为，
，解得，
（1）代入，不等式为，
解得或，
即不等式的解集为；
（2）代入，不等式为，
的解集为，
，
解得.
【点睛】本题考查二次不等式，二次方程，二次函数的关系应用，清楚三个二次的关系的关键，是基础题.
12. 已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集为，求；
（2）当时，解此不等式．
【答案】（1）2（2）时，，时，，时，不等式的解集为空集，时，，时，.
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集和韦达定理，可列出关于a的方程组，解得a；（2）不等式化为，讨论a的取值，从而求得不等式的解集。
【详解】（1）由题得，，解集为，则有，解得；（2）由题，：当时，不等式化为，解得；当时，不等式等价于，若，解得；若，解得，若，解得；当时，不等式等价于，解得或.综上，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为空集，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用，以及通过讨论参数取值求不等式的解集，有一定的难度。
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集合的概念与表示
【知识要点】
1.一元二次不等式的一般形式为_________或___________，其中为常数且.
2.一般地，对于二次函数，我们把使得____________的实数叫做二次函数的零点.
3.完成下面的表格：
的图象
根 有两个不同相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
的解集 或
的解集
【公式概念应用】
1. 若关于的一元二次不等式的解集为，则实数________
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用判别式求出的值，再判断是否满足题意即可.
【详解】关于的一元二次不等式的解集为，
所以，
解得或；
当时，不等式为，解集为；
当时，不等式为，解集为，不合题意；
综上知，实数，
故答案为：.
2. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是______________.
【答案】
【解析】
【分析】
分类讨论二次项系数，当，符合题意；当，由解得结果即可得解.
【详解】当，即时，不等式化为，其解集为，符合题意；
当，即时，由不等式的解集为得，解得，
综上所述：的取值范围是.
故答案为：
【点睛】易错点点睛：本题容易漏掉的情况.
3. 若关于的不等式的解集是，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】由题意可得是方程的两个根，所以，从而可求得结果
【详解】解：因为关于的不等式的解集是，
所以是方程的两个根，
所以由根与系数的关系可得，得，
故答案为：1
4. 若不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】首先分和两种情况讨论，利用函数图象的特征列出式子求得结果．
【详解】当时，恒成立，
当时，利用二次函数图象知，则
解得，
所以实数a的取值范围是．
【点晴】思路点睛：解题时一定注意对的分类讨论，不能忘记的情况，同时，要结合二次函数图象及方程根的情况，应该开口向下，判别式小于零，列出满足的条件求解．
【知识要点】
1. 或，.
2. ，零点.
3.完成下面的表格：
的图象
的根 有两个不同相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
解集 或
的解集
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