中小学教育资源及组卷应用平台
函数的表示方法
学习目标：
1.掌握函数的三种表示方法，会正确表示函数；
2.会求不同问题背景下的函数的解析式，理解解析式求法蕴含的数学思想；
3.理解分段函数和复合函数，会求处理简单的分段函数与复合函数问题.
知识要点：
1.函数的表示方法
（1）解析法：用______表示两个变量之间的对应关系；
（2）列表法：列出____来表示两个变量之间的对应关系；
（3）图象法：用____图象表示两个变量之间的对应关系.
2.分段函数：函数在定义域的不同范围上有不同的_____即.
3.复合函数：形如形式的函数称为复合函数，其中称为____，称为内函数，
典型例题：
题组一 列表法及其应用
例1. 2015年以来，我国的年度数据如下表：
时间（年） 2015 2016 2017 2018 2019
GDP（万亿元） 68.5506 74.4127 82.7121 91.9281 99.0865
设时间为，与其对应的年度GDP为，那么（ ）
A.68.5506 B.74.4127 C.82.7121 D.91.9281
变式：对于函数，部分x与y的对应关系如下表：
x … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
y … 3 7 5 9 6 1 8 2 4 …
数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（ ）
A.7576 B.7575 C.7569 D.7564
题组二 图象法及其应用
例2. 图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是（ ）
A. B.
C. D.
变式：如图所示是一个无水游泳池，是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的.现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注入的水量不变），水面与的交点为，则的高度随时间变化的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
题组三 函数解析式的求法
例3. （1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知，求；
变式：（1）；
（2）已知，求.
题组四 分段函数及其应用
例4. 函数的图象如图所示，曲线为抛物线的一部分.
（Ⅰ）求解析式；
（Ⅱ）若，求的值；
变式：已知函数（）.
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）画出该函数的图象；
（3）写出该函数的值域.
题组五 实际问题中的函数表示
例5.如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为cm，面积为cm2，把表示成的函数，并指出自变量的范围.
变式：如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.试求函数的解析式，并画出函数的图象.
当堂检测：
1. 一个变量y随另一变量x变化．对应关系是“2倍加1”：
（1）填表．
x … 1 2 3 4 …
y … …
（2）根据表格填空：时，y=_______．
（3）写出解析式：y=_______．
【答案】（1）填表见解析；（2）；（3）y=2x+1．
【解析】
【分析】（1）根据对应关系“2倍加1”直接计算即可；
（2）根据对应关系将进行“2倍加1”，直接计算即可；
（3）根据对应关系直接列关系即可.
【详解】解：（1）因为变量y随另一变量x变化，对应关系是“2倍加1”：
完整的表格如表所示：
x … 1 2 3 4 …
y … 3 5 7 9 …
（2）根据表格填空：时，；
（3）根据题意，函数的解析式：y=2x+1．
故答案为：（1）填表见解析；（2）；（3）2x+1.
2. 已知函数则_____________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据分段函数的表达式，先求的值，再求值.
【详解】∵，∴，又∵，∴，∴.
故答案为：4.
3. 关于直线与函数的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（ ）
A. 不论为何值时都有交点 B. 当时，有两个交点
C. 当时，有一个交点 D. 当时，没有交点
【答案】BCD
【解析】
【分析】化简函数表达式即为，作出直线与函数的图象，通过数形结合直接判断即可.
【详解】由题意得，，作此函数图像如下图折线所示；即平行于轴的直线，作图像如下图直线所示.
对于A，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故A错误；
对于B，由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故B正确；
对于C，由图可知，当时，直线与函数的图象，有一个交点，故C正确；
对于D，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故D正确.
故选:BCD
4. （1）已知是一次函数，且满足，求的解析式.
（2）已知，求的解析式，
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）设，带入已知条件，对应系数相等，求出即可；
（2）换元法求函数的解析式.
【详解】（1）因为是一次函数，所以设，又因为，所以，整理得，故，解得，所以;
（2）令，则，所以，即.
5. 已知函数．
（1）试比较与的大小；
（2）画出函数的图象；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）图象见解析；（3）-1或3．
【解析】
【分析】
（1）根据分段函数的性质，分别代入值求出即可，
（2）依次绘制出原函数在每一个区间上的图象即可；
（3）令，然后分类讨论，解方程即可．
【详解】解：（1）∵，∴，
又∵，∴，
∵，∴，
∴，
所以.
（2）图象如图所示，
（3）当时，有，解得；
当时，有，解得
或，
但，故舍去，所以的值为3，
综上所述：的值为或3．
【点睛】本题主要考查分段函数求值问题及分段函数图象的画法，较简单.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
函数的表示方法
【知识要点】
1.函数表示方法有：（1）________；（2）__________；（3）________.
2.分段函数：函数在定义域的不同范围上有不同的_____即.
3.复合函数：形如形式函数称为复合函数，其中称为____，称为内函数,
【公式概念应用】
1. 函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将函数图像在轴下方的翻到上方即可得答案.
【详解】解：由于函数图像过点，且当时，，时，
所以将函数图像在轴下方的翻到上方即可得函数的图像.
故选：A
2. 用列表法将函数表示如下：
x 0
y 0
则（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由表格可得答案.
【详解】由表格可得，
故选：A.
3. （1）已知f=x2+，求f(x)；
（2）已知一次函数f(x)满足f(f(x))=4x-1，求f(x)；
【答案】（1）f(x)=x2+2；（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用配凑法可求函数的解析式.
（2）利用待定系数法可求函数的解析式.
【详解】（1）(配凑法)∵，
∴.
（2）(待定系数法)∵f(x)是一次函数，∴设f(x)=ax+b(a≠0)，
则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
∵f(f(x))=4x-1，∴，
解得或，
.
【点睛】本题考查函数的解析式的求法，常用的方法有待定系数法、配凑法、函数方程组法等，注意根据题设的特征选择合适的方法，本题属于基础题.
4. 设，求的值．
【答案】0
【解析】
【分析】根据，先求得即可.
【详解】∵，
∴.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
函数的表示方法
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，，利用换元法求函数解析式.
【详解】令，，则，
由得，，，
即，.
故选：C.
2. 设，又记，，，2，3，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意计算可知，数列是一个周期为的周期数列，即可解出．
【详解】根据题意，，则，，
，则，故，
故选：．
3. 如图，中，，，，点P是斜边上任意一点，过点P作，垂足为，交边（或边）于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先过点作于点，由中，，，可求得的度数与的长度，再分别从当与当时，去分析求解即可求得y与x之间的函数关系式，进一步选出图象.
【详解】过点作于点，因为，，，
所以，，.
如图1，当时，，，
所以，
如图2：当时，，
所以，
所以，
故选：D
【点睛】此题考查了动点问题，注意掌握含直角三角形的性质与二次函数的性质；注意掌握分类讨论的思想.属于中档题.
4. 已知函数的定义域为，且自变量x与函数值的关系对应如下表：
x 1 2 3 4
3 2 1 2
（1）_______．
（2）不等式的解集为_______．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】
（1）利用自变量x与函数值的关系表求解.
（2）根据的定义域为，利用自变量x与函数值的关系表求解.
【详解】（1）由自变量x与函数值的关系得：,
所以.
（2）因为，
由自变量x与函数值的关系得，
所以不等式的解集是 ，
故答案为：1，
5. 已知满足下列条件，分别求的解析式．
（1）已知是一次函数且，求的解析式；
（2）已知，对任意的实数，，都有，求的解析式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）运用待定系数法，设，代入，运用恒等式的思想建立方程组，可求得的解析式．
（2）运用赋值法，令，可得，从而求得函数的解析式．
【详解】（1）（待定系数法）因为是一次函数，可设，
．即，
因此应有，解得．故的解析式是．
（2）令，得，，即．
【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法：
一、换元法：已知复合函数的解析式，求原函数的解析式，把 看成一个整体t，进行换元，从而求出的方法，注意所换元的定义域的变化.
二、配凑法：使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.
三、待定系数法：己知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据己知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法.
四、消去法(方程组法)：方程组法求解析式的关键是根据己知方程中式子的特点，构造另一个方程.
五、特殊值法：根据抽象函数的解析式的特征，进行对变量赋特殊值.
能力提升
6. 已知函数满足：.
（1）求的解析式
（2）若，解不等式.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】(1) 在条件中，用代替，得到返程组，解出即可.
(2) 根据条件可得，则由可得且解出即可得到答案.
【详解】（1）
（2）
当时，， 在单调递增；
当时，
且
综上：.
7. 已知函数，，．
（1）在图中画出函数，的图象；
（2）定义：，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）
【答案】（1）图象见解析；（2）；图象见解析.
【解析】
【分析】（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；
（2）根据定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.
【详解】（1），的图象如下图所示：
（2）当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
综上所述：.
图象如下图所示：
8. 近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）．
（1）求及定义域；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
【答案】（1）；（2）甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.
【解析】
【分析】（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资万元，，即可求出答案．
（2）令，则．．利用二次函数的单调性即可得出答案．
【详解】解：（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120-x万元．
∴，
依题意得，解得．
故．
（2）令，则．
∴．
当，即万元时，y的最大值为44万元
∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．
【点睛】本题考查了函数模型、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
挑战创新
9. 已知函数，.
（1）在平面直角坐标系里作出、的图象.
（2），用表示、中的较小者，记作，请用图象法和解析法表示；
（3）求满足的的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）化简函数、的解析式，由此可作出这两个函数的图象；
（2）根据函数的意义可作出该函数的图象，并结合图象可求出函数的解析式；
（3）根据图象可得出不等式的解集.
【详解】（1），.
则对应的图象如图：
（2）函数的图象如图：
解析式为；
（3）若，
则由图象知在点左侧，点右侧满足条件，此时对应的满足或，
即不等式的解集为.
【点睛】方法点睛：当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难时，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
